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B1 - Analytische Geometrie

Aufgaben
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In einem dreidimensionalen Koordinatensystem beschreibt die $x$-$y$-Ebene eine flache Landschaft. Eine Einheit entspricht dabei einem Kilometer. Ein Sportflugzeug befindet sich im Punkt $P(-9\mid 25\mid 2)$ und fliegt in Richtung des Punktes $Q(-1\mid 9\mid 2)$ auf eine Nebelwand zu. Für die Strecke $\overline{PQ}$ benötigt es genau sechs Minuten. Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene $E$ der Nebelwand enthält die Punkte $A(1\mid 3\mid 1)$, $B(5\mid2\mid 0)$ und $C(3\mid 0\mid 3)$.
1.
Begründe, dass
$\overrightarrow{x} = \pmatrix{-9\\25\\2} + t\cdot \pmatrix{1\\-2\\0}$
eine Parametergleichung der Geraden $g$ ist, in der die Flugroute liegt.
Berechne die mittlere Geschwindigkeit des Flugzeugs auf dem Weg von $P$ nach $Q$ in $\frac{\text{km}}{\text{h}}.$
(6 BE)
#parameterform
2.
Bestimme für die Ebene $E$ eine Gleichung in Koordinatenform.
[Zur Kontrolle: Eine mögliche Koordinatengleichung von $E$ ist $x+2y+2z = 9$.]
(5 BE)
#ebenengleichung#koordinatenform
3.
Berechne die Koordinaten des Punktes $S$, in dem das Flugzeug bei gleichbleibender Flugrichtung die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand durchstoßen würde.
[Zur Kontrolle: $S(3\mid 1\mid 2)$]
(4 BE)
4.
Erläutere die Zeilen $\text{(I)}$ bis $\text{(V)}$ im Sachzusammenhang.
$\text{(I)}$$S(3\mid 1\mid 2)\quad T(-9+t\mid 25-2t \mid 2)$
$\text{(II)}$$\begin{array}[t]{rll} d&=&\sqrt{(-9+t-3)^2 + (25-2t -1)^2 + (2-2)^2 } \\[5pt] &=&\sqrt{5t^2 -120 t +720} \end{array}$
$\text{(III)}$$\sqrt{5t^2 -120t +720}= 5\,\text{(km)} $
also ist $ t_1 = 12+\sqrt{5} \approx 14,2 \text{ und } t_2 = 12-\sqrt{5}\approx 9,8 $
$\text{(IV)}$$t_2 < t_1$, also ist $ t_2$ die gesuchte Lösung
$\text{(V)}$Ergebnis: $\quad T_2\left(3-\sqrt{5} \mid 1+2\sqrt{5} \mid 2 \right)$
$\text{(I)}$$S(3\mid 1\mid 2)\; …$
$\text{(II)}$$\begin{array}[t]{rll} d&=&… \\[5pt] \end{array}$
$\text{(III)}$$ \sqrt{…} $
$\text{(IV)}$$t_2 <…$
$\text{(V)}$Ergebnis: …
(7 BE)
5.
Aufgrund des Nebels ändert der Pilot rechtzeitig seine Flugroute und fliegt in gleichbleibender Höhe parallel zur Ebene $E$ weiter.
Erläutere, warum $\overrightarrow{u} = \pmatrix{2\\-1\\0}$ ein möglicher Richtungsvektor der Geraden ist, die die neue Flugroute enthält.
Berechne den Winkel, um den die neue Flugroute in Richtung des Vektors $\overrightarrow{u}$ gegenüber der alten Flugroute abweicht.
(8 BE)
#richtungsvektor
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Tipps
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1.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung begründen
Du sollst begründen, dass die gegebene Parametergleichung die Gerade beschreibt, in der die Flugroute des Flugzeugs liegt.
Dazu müssen die Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden liegen. Damit dies der Fall ist, muss der Richtungsvektor entweder der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ oder ein Vielfaches von diesem sein. Zudem muss der Stützpunkt entweder $P$, $Q$ oder ein Punkt sein, der auf einer Geraden mit $P$ und $Q$ liegt.
$\blacktriangleright$  Mittlere Geschwindigkeit berechnen
Für die Strecke $\overline{PQ}$ benötigt das Flugzeug $6$ Minuten. Berechne die Länge der Strecke über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$.
2.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Gegeben sind dir die Koordinaten von drei Punkten, die in der Ebene liegen sollen:
$A(1\mid 3\mid 1)$, $B(5\mid 2\mid 0)$ und $C(3\mid 0 \mid 3)$
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform hat allgemein folgende Form:
$E: \; n_1x+n_2y+n_3z = d$
$E: \; n_1x+n_2y+n_3z = d$
Gehe also wie folgt vor:
  1. Bestimme einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$, indem du das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte berechnest.
  2. Setze diesen Verbindungsvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punktes in die Ebenengleichung ein, um den Parameter $d$ zu bestimmen.
[Hinweis: Hier gibt es mehrere mögliche Lösungen. Wichtig ist, dass deine Ebenengleichung ein Vielfaches des Kontrollergebnisses ist.]
3.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Durchstoßpunkts berechnen
Die Flugroute des Flugzeugs verläuft entlang der Gerade $g$. Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand liegt in der Ebene $E$.
Gesucht ist also der Durchstoßpunkt $S$ von $g$ und $E$. Die Koordinaten kannst du wie folgt berechnen:
  1. Lies aus der Geradengleichung die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden ab.
  2. Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $t$.
  3. Setze den berechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Durchstoßpunkts zu berechnen.
4.
$\blacktriangleright$  Zeilen im Sachzusammenhang erläutern
Betrachte die Zeilen jeweils einzeln und verwende Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben.
5.
$\blacktriangleright$  Wahl des Richtungsvektors erläutern
Überlege dir zunächst, welche Kriterien ein Richtungsvektor für die Gerade mit der neuen Flugroute erfüllen muss. Überprüfe diese anschließend.
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Gerade $g$ und der Gerade, in der die neue Flugroute liegt. Diese berechnest du über die beiden Richtungsvektoren mit folgender Formel:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{q} \right| }{\left|\overrightarrow{r} \right| \cdot \left|\overrightarrow{q}\right|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{q} \right| }{\left|\overrightarrow{r} \right| \cdot \left|\overrightarrow{q}\right|}$
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Lösungen TI
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1.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung begründen
Du sollst begründen, dass die gegebene Parametergleichung die Gerade beschreibt, in der die Flugroute des Flugzeugs liegt.
Dazu müssen die Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden liegen. Damit dies der Fall ist, muss der Richtungsvektor entweder der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ oder ein Vielfaches von diesem sein. Zudem muss der Stützpunkt entweder $P$, $Q$ oder ein Punkt sein, der auf einer Geraden mit $P$ und $Q$ liegt.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}&=& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt] &=&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{PQ}\\[5pt] =& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt] =& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt] =&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \end{array}$
Der Richtungsvektor ist also ein Vielfaches von $\overrightarrow{PQ}$.
Es gilt $\overrightarrow{p} = \pmatrix{-9\\ 25\\ 2}$. Also ist der Stützpunkt $P$.
Insgesamt liegen also $P$ und $Q$ auf der Geraden, die von der angegebenen Parametergleichung beschrieben wird. Damit ist dies eine Gleichung der Geraden $g$, in der die Flugroute liegt.
$\blacktriangleright$  Mittlere Geschwindigkeit berechnen
Für die Strecke $\overline{PQ}$ benötigt das Flugzeug $6$ Minuten. Berechne die Länge der Strecke über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$. Diesen kannst du auch mit deinem CAS berechnen. Einen Vektor kannst du wie folgt eingeben:
menu $\to$ 7: Matrix u. Vektor $\to$ 1: Erstellen $\to$ 1: Matrix
menu $\to$ 7: Matrix u. Vektor $\to$ 1: Erstellen $\to$ 1: Matrix
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Vektorbetrag berechnen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Vektorbetrag berechnen
Die Strecke zwischen $P$ und $Q$ ist also $8\sqrt{5}\,\text{km} \approx 17,889\,\text{km}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt] &=&\dfrac{8\cdot\sqrt{5} \,\text{km}}{6\,\text{min}} \\[5pt] &=& 80\sqrt{5} \,\frac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt] &\approx& 179 \,\frac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt] \end{array}$
Den Weg von $P$ nach $Q$ legt das Flugzeug mit einer mittleren Geschwindigkeit von ca. $179\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zurück.
2.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Gegeben sind dir die Koordinaten von drei Punkten, die in der Ebene liegen sollen:
$A(1\mid 3\mid 1)$, $B(5\mid 2\mid 0)$ und $C(3\mid 0 \mid 3)$
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform hat allgemein folgende Form:
$E: \; n_1x+n_2y+n_3z = d$
$E: \; n_1x+n_2y+n_3z = d$
Gehe also wie folgt vor:
  1. Bestimme einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$, indem du das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte berechnest.
  2. Setze diesen Verbindungsvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punktes in die Ebenengleichung ein, um den Parameter $d$ zu bestimmen.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Wähle für die Verbindungsvektoren zum Beispiel $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4\\ -1\\-1}$
$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{2\\-3\\2}$
Das Kreuzprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Kreuzprodukt berechnen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Kreuzprodukt berechnen
2. Schritt: Parameter berechnen
Setze den Normalenvektor, sowie die Koordinaten eines Punktes, beispielsweise $A$, in die Ebenengleichung ein. Du kannst dafür den ursprünglichen Normalenvektor oder auch den gekürzten Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\2\\2}$ verwenden, da der Faktor $-5$ nur die Länge beeinflusst, nicht aber die Richtung.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& n_1x+n_2y+n_3z \\[5pt] &=& 1\cdot 1 + 2\cdot 3 +2\cdot 1 \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
Eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform lautet demnach:
$E:\; x +2y+2z = 9$
[Hinweis: Hier gibt es mehrere mögliche Lösungen. Wichtig ist, dass deine Ebenengleichung ein Vielfaches des Kontrollergebnisses ist.]
#normalenvektor
3.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Durchstoßpunkts berechnen
Die Flugroute des Flugzeugs verläuft entlang der Gerade $g$. Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand liegt in der Ebene $E$.
Gesucht ist also der Durchstoßpunkt $S$ von $g$ und $E$. Die Koordinaten kannst du wie folgt berechnen:
  1. Lies aus der Geradengleichung die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden ab.
  2. Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $t$.
  3. Setze den berechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Durchstoßpunkts zu berechnen.
Die allgemeinen Koordinaten der Punkte $P_t$ auf der Geraden $g$ lauten:
$P_t(-9 +t \mid 25-2t \mid 2)$
Setze diese nun in die Ebenengleichung ein. Zum Lösen kannst du den solve-Befehl deines CAS verwenden.
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 3: Gleichung lösen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 3: Gleichung lösen
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{s}&=& \pmatrix{-9\\ 25\\ 2} +12\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\ 1\\ 2} \end{array}$
$ \overrightarrow{s} = \pmatrix{3\\ 1\\ 2}$
Bei gleichbleibender Flugrichtung würde das Flugzeug die ihm zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand im Punkt $S(3\mid 1\mid 2)$ durchstoßen.
#durchstoßpunkt
4.
$\blacktriangleright$  Zeilen im Sachzusammenhang erläutern
Betrachte die Zeilen jeweils einzeln und verwende Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben.
$\text{(I)}$Hier sind die Koordinate von $S$ und $T$ angegeben, wobei $T$ von $t$ abhängt.
$S$ ist der Punkt, dessen Koordinaten in Aufgabe 3 berechnet wurden, also der Punkt, an dem das Flugzeug die ihm zugewandte Seite der Nebelwand bei gleichbleibender Flugrichtung durchstoßen würde.
$T$ ist ein allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$, also auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\text{(II)}$Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors zwischen $S$ und $T$ berechnet. Dieser entspricht dem Abstand von $S$ und $T$, also dem Abstand vom Durchstoßpunkt $S$ zu einem beliebigen Punkt $T$ auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\text{(III)}$Der Term aus Zeile $\text{(II)}$ wird mit $5\,\text{(km)}$ gleichgesetzt und die Gleichung nach $t$ gelöst. Damit werden die $t$ berechnet, für die der Punkt $T$ auf der Flugroute vom Durchstoßpunkt einen Abstand von $5\,\text{km}$ hat. Es gibt zwei Ergebnisse.
$\text{(IV)}$ Von den beiden Punkten $T_1$ und $T_2$, die sich aus den Werten $t_1$ und $t_2$ aus Zeile $\text{(III)}$ ergeben, muss einer aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand liegen und einer dahinter. Da sich das Flugzeug und der Stützvektor der Gerade $g$ vor dieser Ebene befinden, liegt der Punkt mit dem kleineren Wert für $t$ vor der Ebene.
Da $t_2 < t_1$ ist, liegt $T_2$ aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand und $T_1$ dahinter.
$\text{(V)}$ Hier sind die Koordinaten von $T_2$ als Ergebnis angegeben. Es wurden also die Koordinaten des Punkts auf der Flugroute berechnet, an dem das Flugzeug noch $5\,\text{km}$ vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.
$\boldsymbol{\text{(I)}}$
Hier sind die Koordinate von $S$ und $T$ angegeben, wobei $T$ von $t$ abhängt.
$S$ ist der Punkt, dessen Koordinaten in Aufgabe 3 berechnet wurden, also der Punkt, an dem das Flugzeug die ihm zugewandte Seite der Nebelwand bei gleichbleibender Flugrichtung durchstoßen würde.
$T$ ist ein allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$, also auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\boldsymbol{\text{(II)}}$
Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors zwischen $\overrightarrow{ST}$ berechnet. Dieser entspricht dem Abstand von $S$ und $T$, also dem Abstand vom Durchstoßpunkt zu einem beliebigen Punkt $T$ auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\boldsymbol{\text{(III)}}$
Der Term aus Zeile $\text{(II)}$ wird mit $5\,\text{(km)}$ gleichgesetzt und die Gleichung nach $t$ gelöst. Damit werden die $t$ berechnet, für die der Punkt $T$ auf der Flugroute vom Durchstoßpunkt einen Abstand von $5\,\text{km}$ hat. Es gibt zwei Ergebnisse.
$\boldsymbol{\text{(IV)}}$
Von den beiden Punkten $T_1$ und $T_2$, die sich aus den Werten $t_1$ und $t_2$ aus Zeile $\text{(III)}$ ergeben, muss einer aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand liegen und einer dahinter. Da sich das Flugzeug und der Stützvektor der Gerade $g$ vor dieser Ebene befinden, liegt der Punkt mit dem kleineren Wert für $t$ vor der Ebene.
Da $t_2 < t_1$ ist, liegt $T_2$ aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand und $T_1$ dahinter.
$\boldsymbol{\text{(V)}}$
Hier sind die Koordinaten von $T_2$ als Ergebnis angegeben. Es wurden also die Koordinaten des Punkts auf der Flugroute berechnet, an dem das Flugzeug noch $5\,\text{km}$ vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.
5.
$\blacktriangleright$  Wahl des Richtungsvektors erläutern
Überlege dir zunächst, welche Kriterien ein Richtungsvektor für die Gerade mit der neuen Flugroute erfüllen muss. Überprüfe diese anschließend.
  1. Das Flugzeug fliegt in gleichbleibender Höhe weiter, das heißt, dass sich die $z$-Koordinate der Punkte auf der Flugroute nicht verändert. Der Richtungsvektor beschreibt die Veränderung der Koordinaten entlang der Gerade. Der dritte Eintrag im Richtungsvektor muss also null sein.
  2. Das Flugzeug fliegt parallel zur Ebene $E$. Da der Normalenvektor orthogonal zur Ebene $E$ verläuft, muss er auch orthogonal zum Richtungsvektor sein.
Die erste Bedingung erfüllt $\overrightarrow{u}$. Überprüfe die zweite Bedingung, indem du das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ berechnest. Ist dieses null, sind sie orthogonal zueinander.
Das Skalarprodukt kannst du auch mit dem dotP-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} &=& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt] &=& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} \\[5pt] =& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt] =& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt] =& 0 \end{array}$
Die zweite Bedingung ist also auch erfüllt. Daher ist $\overrightarrow{u}$ ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, die die neue Flugroute enthält.
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Gerade $g$ und der Gerade, in der die neue Flugroute liegt. Diese berechnest du über die beiden Richtungsvektoren mit folgender Formel:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{q} \right| }{\left|\overrightarrow{r} \right| \cdot \left|\overrightarrow{q}\right|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{q} \right| }{\left|\overrightarrow{r} \right| \cdot \left|\overrightarrow{q}\right|}$
Setze also ein. Die Vektorbeträge kannst du mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen, das Skalarprodukt mit dem dotP-Befehl.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{PQ}\circ \overrightarrow{u} \right| }{\left|\overrightarrow{PQ} \right| \cdot \left|\overrightarrow{u}\right|} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\pmatrix{8\\-16\\0}\circ \pmatrix{2\\-1\\0} \right| }{\left|\pmatrix{8\\-16\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{2\\-1\\0} \right|}\\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{32}{40} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 36,87^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 36,87^{\circ} $
Die neue Flugroute weicht um ca. $36,87^{\circ}$ von der alten ab.
#schnittwinkel#richtungsvektor#normalenvektor
Bildnachweise [nach oben]
[1]-[3]
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1.
$\blacktriangleright$  Geradengleichung begründen
Du sollst begründen, dass die gegebene Parametergleichung die Gerade beschreibt, in der die Flugroute des Flugzeugs liegt.
Dazu müssen die Punkte $P$ und $Q$ auf der Geraden liegen. Damit dies der Fall ist, muss der Richtungsvektor entweder der Verbindungsvektor $\overrightarrow{PQ}$ oder ein Vielfaches von diesem sein. Zudem muss der Stützpunkt entweder $P$, $Q$ oder ein Punkt sein, der auf einer Geraden mit $P$ und $Q$ liegt.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{PQ}&=& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt] &=& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt] &=&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{PQ}\\[5pt] =& \pmatrix{-1\\9\\2} -\pmatrix{-9\\25\\2} \\[5pt] =& \pmatrix{8\\-16\\0} \\[5pt] =&8\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \end{array}$
Der Richtungsvektor ist also ein Vielfaches von $\overrightarrow{PQ}$.
Es gilt $\overrightarrow{p} = \pmatrix{-9\\ 25\\ 2}$. Also ist der Stützpunkt $P$.
Insgesamt liegen also $P$ und $Q$ auf der Geraden, die von der angegebenen Parametergleichung beschrieben wird. Damit ist dies eine Gleichung der Geraden $g$, in der die Flugroute liegt.
$\blacktriangleright$  Mittlere Geschwindigkeit berechnen
Für die Strecke $\overline{PQ}$ benötigt das Flugzeug $6$ Minuten. Berechne die Länge der Strecke über den Betrag des Verbindungsvektors $\overrightarrow{PQ}$. Diesen kannst du auch mit deinem CAS berechnen. Einen Vektor kannst du wie folgt eingeben:
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Vektorbetrag berechnen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 1: Vektorbetrag berechnen
Die Strecke zwischen $P$ und $Q$ ist also $8\sqrt{5}\,\text{km} \approx 17,889\,\text{km}$ lang.
$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} \\[5pt] &=&\dfrac{8\cdot\sqrt{5} \,\text{km}}{6\,\text{min}} \\[5pt] &=& 80\sqrt{5} \,\frac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt] &\approx& 179 \,\frac{\text{km}}{\text{h}}\\[5pt] \end{array}$
Den Weg von $P$ nach $Q$ legt das Flugzeug mit einer mittleren Geschwindigkeit von ca. $179\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ zurück.
2.
$\blacktriangleright$  Ebenengleichung in Koordinatenform bestimmen
Gegeben sind dir die Koordinaten von drei Punkten, die in der Ebene liegen sollen:
$A(1\mid 3\mid 1)$, $B(5\mid 2\mid 0)$ und $C(3\mid 0 \mid 3)$
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform hat allgemein folgende Form:
$E: \; n_1x+n_2y+n_3z = d$
$E: \; n_1x+n_2y+n_3z = d$
Gehe also wie folgt vor:
  1. Bestimme einen Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$, indem du das Kreuzprodukt zweier Verbindungsvektoren der drei Punkte berechnest.
  2. Setze diesen Verbindungsvektor gemeinsam mit den Koordinaten eines Punktes in die Ebenengleichung ein, um den Parameter $d$ zu bestimmen.
1. Schritt: Normalenvektor bestimmen
Wähle für die Verbindungsvektoren zum Beispiel $\overrightarrow{AB}$ und $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{AB} = \pmatrix{4\\ -1\\-1}$
$\overrightarrow{AC} = \pmatrix{2\\-3\\2}$
Das Kreuzprodukt kannst du mit dem crossP-Befehl deines CAS berechnen.
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Kreuzprodukt berechnen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 2: Kreuzprodukt berechnen
2. Schritt: Parameter berechnen
Setze den Normalenvektor, sowie die Koordinaten eines Punktes, beispielsweise $A$, in die Ebenengleichung ein. Du kannst dafür den ursprünglichen Normalenvektor oder auch den gekürzten Normalenvektor $\overrightarrow{n} = \pmatrix{1\\2\\2}$ verwenden, da der Faktor $-5$ nur die Länge beeinflusst, nicht aber die Richtung.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& n_1x+n_2y+n_3z \\[5pt] &=& 1\cdot 1 + 2\cdot 3 +2\cdot 1 \\[5pt] &=& 9 \end{array}$
Eine Gleichung der Ebene $E$ in Koordinatenform lautet demnach:
$E:\; x +2y+2z = 9$
[Hinweis: Hier gibt es mehrere mögliche Lösungen. Wichtig ist, dass deine Ebenengleichung ein Vielfaches des Kontrollergebnisses ist.]
#normalenvektor
3.
$\blacktriangleright$  Koordinaten des Durchstoßpunkts berechnen
Die Flugroute des Flugzeugs verläuft entlang der Gerade $g$. Die dem Flugzeug zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand liegt in der Ebene $E$.
Gesucht ist also der Durchstoßpunkt $S$ von $g$ und $E$. Die Koordinaten kannst du wie folgt berechnen:
  1. Lies aus der Geradengleichung die allgemeinen Koordinaten der Punkte auf der Geraden ab.
  2. Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse die Gleichung nach $t$.
  3. Setze den berechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung ein, um den Ortsvektor des Durchstoßpunkts zu berechnen.
Die allgemeinen Koordinaten der Punkte $P_t$ auf der Geraden $g$ lauten:
$P_t(-9 +t \mid 25-2t \mid 2)$
Setze diese nun in die Ebenengleichung ein. Zum Lösen kannst du den solve-Befehl deines CAS verwenden.
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 3: Gleichung lösen
B1 - Analytische Geometrie
Abb. 3: Gleichung lösen
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{s}&=& \pmatrix{-9\\ 25\\ 2} +12\cdot \pmatrix{1\\-2\\0} \\[5pt] &=&\pmatrix{3\\ 1\\ 2} \end{array}$
$ \overrightarrow{s} = \pmatrix{3\\ 1\\ 2}$
Bei gleichbleibender Flugrichtung würde das Flugzeug die ihm zugewandte Begrenzungsebene der Nebelwand im Punkt $S(3\mid 1\mid 2)$ durchstoßen.
#durchstoßpunkt
4.
$\blacktriangleright$  Zeilen im Sachzusammenhang erläutern
Betrachte die Zeilen jeweils einzeln und verwende Ergebnisse aus vorherigen Aufgaben.
$\text{(I)}$Hier sind die Koordinate von $S$ und $T$ angegeben, wobei $T$ von $t$ abhängt.
$S$ ist der Punkt, dessen Koordinaten in Aufgabe 3 berechnet wurden, also der Punkt, an dem das Flugzeug die ihm zugewandte Seite der Nebelwand bei gleichbleibender Flugrichtung durchstoßen würde.
$T$ ist ein allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$, also auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\text{(II)}$Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors zwischen $S$ und $T$ berechnet. Dieser entspricht dem Abstand von $S$ und $T$, also dem Abstand vom Durchstoßpunkt $S$ zu einem beliebigen Punkt $T$ auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\text{(III)}$Der Term aus Zeile $\text{(II)}$ wird mit $5\,\text{(km)}$ gleichgesetzt und die Gleichung nach $t$ gelöst. Damit werden die $t$ berechnet, für die der Punkt $T$ auf der Flugroute vom Durchstoßpunkt einen Abstand von $5\,\text{km}$ hat. Es gibt zwei Ergebnisse.
$\text{(IV)}$ Von den beiden Punkten $T_1$ und $T_2$, die sich aus den Werten $t_1$ und $t_2$ aus Zeile $\text{(III)}$ ergeben, muss einer aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand liegen und einer dahinter. Da sich das Flugzeug und der Stützvektor der Gerade $g$ vor dieser Ebene befinden, liegt der Punkt mit dem kleineren Wert für $t$ vor der Ebene.
Da $t_2 < t_1$ ist, liegt $T_2$ aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand und $T_1$ dahinter.
$\text{(V)}$ Hier sind die Koordinaten von $T_2$ als Ergebnis angegeben. Es wurden also die Koordinaten des Punkts auf der Flugroute berechnet, an dem das Flugzeug noch $5\,\text{km}$ vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.
$\boldsymbol{\text{(I)}}$
Hier sind die Koordinate von $S$ und $T$ angegeben, wobei $T$ von $t$ abhängt.
$S$ ist der Punkt, dessen Koordinaten in Aufgabe 3 berechnet wurden, also der Punkt, an dem das Flugzeug die ihm zugewandte Seite der Nebelwand bei gleichbleibender Flugrichtung durchstoßen würde.
$T$ ist ein allgemeiner Punkt auf der Geraden $g$, also auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\boldsymbol{\text{(II)}}$
Hier wird der Betrag des Verbindungsvektors zwischen $\overrightarrow{ST}$ berechnet. Dieser entspricht dem Abstand von $S$ und $T$, also dem Abstand vom Durchstoßpunkt zu einem beliebigen Punkt $T$ auf der Flugroute des Flugzeugs.
$\boldsymbol{\text{(III)}}$
Der Term aus Zeile $\text{(II)}$ wird mit $5\,\text{(km)}$ gleichgesetzt und die Gleichung nach $t$ gelöst. Damit werden die $t$ berechnet, für die der Punkt $T$ auf der Flugroute vom Durchstoßpunkt einen Abstand von $5\,\text{km}$ hat. Es gibt zwei Ergebnisse.
$\boldsymbol{\text{(IV)}}$
Von den beiden Punkten $T_1$ und $T_2$, die sich aus den Werten $t_1$ und $t_2$ aus Zeile $\text{(III)}$ ergeben, muss einer aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand liegen und einer dahinter. Da sich das Flugzeug und der Stützvektor der Gerade $g$ vor dieser Ebene befinden, liegt der Punkt mit dem kleineren Wert für $t$ vor der Ebene.
Da $t_2 < t_1$ ist, liegt $T_2$ aus Sicht des Flugzeugs vor der ihm zugewandten Begrenzungsebene der Nebelwand und $T_1$ dahinter.
$\boldsymbol{\text{(V)}}$
Hier sind die Koordinaten von $T_2$ als Ergebnis angegeben. Es wurden also die Koordinaten des Punkts auf der Flugroute berechnet, an dem das Flugzeug noch $5\,\text{km}$ vom Eintritt in die Nebelwand entfernt ist.
5.
$\blacktriangleright$  Wahl des Richtungsvektors erläutern
Überlege dir zunächst, welche Kriterien ein Richtungsvektor für die Gerade mit der neuen Flugroute erfüllen muss. Überprüfe diese anschließend.
  1. Das Flugzeug fliegt in gleichbleibender Höhe weiter, das heißt, dass sich die $z$-Koordinate der Punkte auf der Flugroute nicht verändert. Der Richtungsvektor beschreibt die Veränderung der Koordinaten entlang der Gerade. Der dritte Eintrag im Richtungsvektor muss also null sein.
  2. Das Flugzeug fliegt parallel zur Ebene $E$. Da der Normalenvektor orthogonal zur Ebene $E$ verläuft, muss er auch orthogonal zum Richtungsvektor sein.
Die erste Bedingung erfüllt $\overrightarrow{u}$. Überprüfe die zweite Bedingung, indem du das Skalarprodukt aus dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ von $E$ und dem Richtungsvektor $\overrightarrow{u}$ berechnest. Ist dieses null, sind sie orthogonal zueinander.
Das Skalarprodukt kannst du auch mit dem dotP-Befehl deines CAS berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} &=& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt] &=& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt] &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\overrightarrow{n} \circ \overrightarrow{u} \\[5pt] =& \pmatrix{1\\2\\2} \circ \pmatrix{2\\-1\\0} \\[5pt] =& 1\cdot 2 +2\cdot (-1) + 2\cdot 0 \\[5pt] =& 0 \end{array}$
Die zweite Bedingung ist also auch erfüllt. Daher ist $\overrightarrow{u}$ ein möglicher Richtungsvektor der Geraden, die die neue Flugroute enthält.
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
Der gesuchte Winkel ist der Schnittwinkel $\alpha$ zwischen der Gerade $g$ und der Gerade, in der die neue Flugroute liegt. Diese berechnest du über die beiden Richtungsvektoren mit folgender Formel:
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{q} \right| }{\left|\overrightarrow{r} \right| \cdot \left|\overrightarrow{q}\right|}$
$\cos(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{q} \right| }{\left|\overrightarrow{r} \right| \cdot \left|\overrightarrow{q}\right|}$
Setze also ein. Die Vektorbeträge kannst du mit dem norm-Befehl deines CAS berechnen, das Skalarprodukt mit dem dotP-Befehl.
$\begin{array}[t]{rll} \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\overrightarrow{PQ}\circ \overrightarrow{u} \right| }{\left|\overrightarrow{PQ} \right| \cdot \left|\overrightarrow{u}\right|} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{\left|\pmatrix{8\\-16\\0}\circ \pmatrix{2\\-1\\0} \right| }{\left|\pmatrix{8\\-16\\0} \right| \cdot \left|\pmatrix{2\\-1\\0} \right|}\\[5pt] \cos(\alpha)&=& \dfrac{32}{40} \\[5pt] \cos(\alpha)&=& 0,8 &\quad \scriptsize \mid\; \cos^{-1}\\[5pt] \alpha &\approx& 36,87^{\circ} \end{array}$
$ \alpha \approx 36,87^{\circ} $
Die neue Flugroute weicht um ca. $36,87^{\circ}$ von der alten ab.
#richtungsvektor#schnittwinkel#normalenvektor
Bildnachweise [nach oben]
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