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Aufgaben
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Eine Großbäckerei stellt Toastbrote mit einem (auf ganze Gramm gerundeten) Sollgewicht von $500\,\text{g}$ her. Bei $2\,\%$ aller Brote tritt eine Abweichung vom Sollgewicht auf.
1.
Ein Einzelhändler im Gießener Umland erhält eine Lieferung von $50$ Toastbroten.
1.1
Berechne, wie viele Brote mit einer Abweichung vom Sollgewicht der Einzelhändler erwarten kann, und erläutere, warum man die Prüfung der Toastbrote auf Abweichung vom Sollgewicht als Bernoullikette auffassen kann.
(3P)
#bernoullikette
$ $
1.2
Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A: In der Lieferung weisen mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht auf.
B: In der Lieferung weisen mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht auf.
(5P)
#wahrscheinlichkeit
2.
Ein Hersteller von Teigportioniermaschinen möchte der Großbäckerei eine neue Maschine verkaufen. Um festzustellen, ob die neue Maschine zuverlässiger ist als die alte, werden beide Maschinen empirisch überprüft. Die Verteilungen für das tatsächliche (auf ganze Gramm gerundete) Brotgewicht $Y$ sind im Material zu sehen. Bei der alten Maschine betragen der Erwartungswert $\mu=E(Y)=500$ und die Standardabweichung $\sigma\approx0,26$.
Berechne für die neue Maschine den Erwartungswert und die Standardabweichung von $Y$ und beurteile aufgrund dieser Ereignisse, ob die Anschaffung der neuen Maschine eine Verbesserung in Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde.
(7P)
#standardabweichung#erwartungswert
3.
Bei der Überprüfung der Verpackungsmaschine stellt sich heraus, dass $2\,\%$ der Brote nicht ordnungsgemäß verpackt werden. Die Warenausgangskontrolle lässt mit einer Wahrscheinlichkeit von $3\,\%$ ein fehlerhaft verpacktes Brot passieren und sortiert mit einer Wahrscheinlichkeit von $4\,\%$ ein ordnungsgemäß verpacktes Brot fälschlicherweise aus.
3.1
Stelle diesen Sachverhalt in einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel dar.
(4P)
#baumdiagramm#vierfeldertafel
$ $
3.2
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes tatsächlich fehlerhaft ist.
(4P)
$ $
3.3
Seit einiger Zeit häufen sich die Reklamationen wegen fehlerhafter Verpackungen. Daraufhin lässt die Großbäckerei die Verpackungsmaschine genauer untersuchen und testet die Nullhypothese $H_0:\ p\leq0,02$. Bei einer Stichprobe von $100$ Broten werden vier fehlerhaft verpackte Brote gefunden. Die Nullhypothese wird daraufhin nicht verworfen.
Prüfe auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$, ob diese Entscheidung gerechtfertigt ist.
(7P)

Material

alte Maschine
Gewicht in g497498499500501502503
Anteil Brote$0,2\,\%$$0,3\,\%$$0,5\,\%$$98\,\%$$0,4\,\%$$0,5\,\%$$0,1\,\%$
Gewicht in gAnteil Brote
497$0,2\,\%$
498$0,3\,\%$
499$0,5\,\%$
500$98\,\%$
501$0,4\,\%$
502$0,5\,\%$
503$0,1\,\%$%
neue Maschine
Gewicht in g497498499500501502503
Anteil Brote$0,1\,\%$$0,0\,\%$$1,0\,\%$$98\,\%$$0,5\,\%$$0,4\,\%$$0,0\,\%$
Gewicht in gAnteil Brote
497$0,1\,\%$
498$0,0\,\%$
499$1,0\,\%$
500$98\,\%$
501$0,5\,\%$
502$0,4\,\%$
503$0,0\,\%$
#signifikanzniveau#hypothesentest
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$  Erwartungswert der abweichenden Toastbrote berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Erwartungswert der abweichenden Toastbrote für eine Lieferung von $50$ Toastbroten berechnen. Hierbei hast du bereits gegeben, dass $2 \,\%$ aller Toastbrote von ihrem Sollgewicht abweichen. Das bedeutet, dass du den Erwartungswert $\mu$ wie folgt bestimmen kannst:
$\mu = p \cdot n$
$\mu = p \cdot n$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der gelieferten Toastbrote ($n=50$) und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot von seinem Sollgewicht abweicht ($p = 2 \,\%$).
$\blacktriangleright$  Darstellung als Bernoullikette erläutern
In dieser Teilaufgabe sollst du erläutern, wieso man die Prüfung der Toastbrote auf Abweichung vom Sollgewicht als Bernoullikette auffassen kann. Bei einer Bernoullikette gibt es nur zwei möglichen Ereignisse.
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: In der Lieferung weisen mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht auf.
$B$: In der Lieferung weisen mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht auf.
Aus Teilaufgabe 1.1 weißt du bereits, dass man die Prüfung der Toastbrote als Bernoullikette auffassen kann. Somit kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten mit der folgenden Formel berechnen:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versuche, also die Anzahl der Toastbrote ($n=50$), $X$ die Anzahl der Toastbrote, die vom Sollgewicht abweichen und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot vom Sollgewicht abweicht ($p = 2 \,\%$).
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignnisse $A$ und $B$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$
Da Ereignis $A$ beschreibt, dass in der Lieferung mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=P(X>4)$ gesucht. $P(X>4)$ kannst du umschreiben in
$P(X>4)=1- P(X\leq 4)$
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Da Ereignis $B$ beschreibt, dass in der Lieferung mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X\leq3)$ gesucht.
2.
$\blacktriangleright$  Neue Maschine beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung, durch das beliegende Material, für die neue Maschine berechnen. Anschließend sollst du aufgrund dieser Ergebnisse beurteilen, ob die neue Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde.
Erwartungswert bestimmen
Zuerst sollst du also den Erwartungswert der neuen Maschine $E_{Neu}(Y)$ durch die Verteilung des Brotgewichts $Y$ aus dem Material bestimmen. Für den Erwartungswert gilt somit folgende Formel:
$E(Y) = Y_1 \cdot P(X=Y_1) +Y_2\cdot P(X=Y_2) + … + Y_n \cdot P(X=Y_n)$
$E(Y) = Y_1 \cdot P(X=Y_1) + …$
Standardabweichung bestimmen
Mit dem berechneten Erwartungswert lässt sich zuerst die Varianz $V(Y)$ und anschließend die Standardabweichung $\sigma_{Neu}(Y)=\sqrt{V(Y)}$ bestimmen. $V(Y)$ kannst du mit folgender Formel bestimmen:
$V(Y) = (Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) +(Y_2-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_2) + … + (Y_n-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_n)$
$V(Y) = (Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) + …$
Neue Maschine beurteilen
Nun sollst du aufgrund dieser Ergebnisse beurteilen, ob die Anschaffung der neuen Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde. Du musst somit die berechneten Werte der neuen Maschine mit den Werten der alten Maschine vergleichen.
3.1
$\blacktriangleright$  Sachverhalt darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du den gegeben Sachverhalt in einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel darstellen. Bezeichne hierbei für eine erleichterte Darstellung eine ordnungsgemäße Verpackung als Ereignis $V$ und somit eine nicht ordnungsgemäße Verpackung mit $\overline{V}$. Dass ein Brot die Warenausgangskontrolle passiert kannst du hierbei mit $S$ bezeichnen. Das Ereignis $\overline{S}$ beschreibt dann, dass ein Brot aussortiert wird.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Baumdiagramm
Trage zunächst alle bekannten Werte in das Baumdiagramm ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Pfadregeln. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in das Baumdiagramm einzeichnen:
Abb. 4: Baumdiagramm
Abb. 4: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Trage wieder zunächst alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Somit erhälst du folgende Werte:
$\overline{S}$$S$
$V$$0,98$
$\overline{V}$$0,02$
$1$
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes fehlerhaft ist. Das bedeutet, du suchst die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V})$.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit kann man mit dem Satz von Bayes folgendermaßen bestimmen:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
3.3
$\blacktriangleright$  Nullhypothese prüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du prüfen, ob es bei einer Stichprobe von $100$ Broten gerechtfertigt war die Nullhypothese aufgrund von $4$ fehlerhaft verpackten Brote nicht zu verwerfen. Diese Entscheidung sollst du nun auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ prüfen. Bezeichne hierbei die Anzahl der fehlerhaft verpackten Brote mit der Zufallsvariable $X$. Da es sich um eine Stichprobe mit $100$ Broten handeln soll gilt $n=100$.
Führe beispielsweise einen rechtsseitigen Hypothesentest mit der folgenden Nullhypothese durch:
$H_0: p\leq 0,02$
In Worten lautet die Nullhypothese: Es sind maximal $2\, \%$ der Verpackungen fehlerhaft.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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1.1
$\blacktriangleright$  Erwartungswert der abweichenden Toastbrote berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Erwartungswert der abweichenden Toastbrote für eine Lieferung von $50$ Toastbroten berechnen. Hierbei hast du bereits gegeben, dass $2 \,\%$ aller Toastbrote von ihrem Sollgewicht abweichen. Das bedeutet, dass du den Erwartungswert $\mu$ wie folgt bestimmen kannst:
$\mu = p \cdot n$
$\mu = p \cdot n$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der gelieferten Toastbrote ($n=50$) und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot von seinem Sollgewicht abweicht ($p = 2 \,\%$).
Somit gilt für den Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,02 \cdot 50 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Der Einzelhändler kann erwarten, dass von den $50$ gelieferten Toastbrote $1$ Toastbrot vom Sollgewicht abweicht.
$\blacktriangleright$  Darstellung als Bernoullikette erläutern
In dieser Teilaufgabe sollst du erläutern, wieso man die Prüfung der Toastbrote auf Abweichung vom Sollgewicht als Bernoullikette auffassen kann. Bei einer Bernoullikette gibt es nur zwei möglichen Ereignisse. Dies ist bei der Prüfung der Toastbrote auch der Fall, da ein Toastbrot entweder dem Sollgewicht entspricht oder davon abweicht. Außerdem gilt, dass die einzelnen Ereignisse stochastisch unabhängig voneinenander sind und sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot dem Sollgewicht entspricht nicht ändert.
Somit handelt es sich bei der Prüfung der Toastbrote, um eine Bernoullikette.
#erwartungswert
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: In der Lieferung weisen mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht auf.
$B$: In der Lieferung weisen mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht auf.
Aus Teilaufgabe 1.1 weißt du bereits, dass man die Prüfung der Toastbrote als Bernoullikette auffassen kann. Somit kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten mit der folgenden Formel berechnen:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versuche, also die Anzahl der Toastbrote ($n=50$), $X$ die Anzahl der Toastbrote, die vom Sollgewicht abweichen und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot vom Sollgewicht abweicht ($p = 2 \,\%$).
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignnisse $A$ und $B$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$
Da Ereignis $A$ beschreibt, dass in der Lieferung mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=P(X>4)$ gesucht. $P(X>4)$ kannst du umschreiben in
$P(X>4)=1- P(X\leq 4)$
$P(X \leq 4)$ kannst du nun mit deinem CAS berechnen. Gehe hierbei an deinem CAS wie folgt vor:
5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ D: Binomial Cdf
5: Wahrscheinlichkeit $\to$ 5: Verteilungen $\to$ D: Binomial Cdf
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Dadurch ist $P(X>4)$ gegeben durch:
$\begin{array}[t]{rll} P(X > 4) &=& 1- P(X \leq 4)\\[5pt] &=& 1- 0,9968\\[5pt] &\approx& 0,0032 \\[5pt] &=& 0,32 \,\% \end{array}$
$P(X > 4) = … $
Somit tritt das Ereignis $A$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,32\,\%$ auf.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Da Ereignis $B$ beschreibt, dass in der Lieferung mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X\leq3)$ gesucht. $P(X\leq 3)$ kannst du nun mit dem Befehl aus der oberen Aufgabe berechnen. Für $P(X\leq 3)$ folgt somit:
Abb. 3: Ergebnis
Abb. 3: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $98,22\,\%$ auf.
#binomialverteilung
2.
$\blacktriangleright$  Neue Maschine beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung, durch das beliegende Material, für die neue Maschine berechnen. Anschließend sollst du aufgrund dieser Ergebnisse beurteilen, ob die neue Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde.
Erwartungswert bestimmen
Zuerst sollst du also den Erwartungswert der neuen Maschine $E_{Neu}(Y)$ durch die Verteilung des Brotgewichts $Y$ aus dem Material bestimmen. Für den Erwartungswert gilt somit folgende Formel:
$E(Y) = Y_1 \cdot P(X=Y_1) +Y_2\cdot P(X=Y_2) + … + Y_n \cdot P(X=Y_n)$
$E(Y) = Y_1 \cdot P(X=Y_1) + …$
Für den Erwartungswert des Brotgewichts mit der neuen Maschine gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} E_{Neu}(Y) &=& Y_1 \cdot P(X=Y_1) +Y_2\cdot P(X=Y_2) + Y_3 \cdot P(X=Y_3) +Y_4\cdot P(X=Y_4) \\[5pt] &&+Y_5\cdot P(X=Y_5) + Y_6 \cdot P(X=Y_6) +Y_7\cdot P(X=Y_7) \\[5pt] &=& 497 \text{g} \cdot 0,001 +498 \text{g} \cdot 0 +499 \text{g} \cdot 0,01 +500 \text{g} \cdot 0,98 +501 \text{g} \cdot 0,005\\[5pt] &&+502 \text{g} \cdot 0,004 + 503 \text{g} \cdot 0\\[5pt] &=& 497 \text{g} \cdot 0,001 +499 \text{g} \cdot 0,01 +500 \text{g} \cdot 0,98 +501 \text{g} \cdot 0,005 +502 \text{g} \cdot 0,004 \\[5pt] &=& 500\text{g}\\[5pt] \end{array}$
$E_{Neu}(Y)= 500\text{g}$
Der Erwartungswert der neuen Maschine beträgt somit $500\text{g}$.
Standardabweichung bestimmen
Mit dem berechneten Erwartungswert lässt sich zuerst die Varianz $V(Y)$ und anschließend die Standardabweichung $\sigma_{Neu}(Y)=\sqrt{V(Y)}$ bestimmen. $V(Y)$ kannst du mit folgender Formel bestimmen:
$V(Y) = (Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) +(Y_2-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_2) + … + (Y_n-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_n)$
$V(Y) = (Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) + …$
Für die Varianz $V(Y)$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} V(Y) &=&(Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) +(Y_2-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_2) + (Y_3-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_3) \\[5pt] &&+(Y_4-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_4)+(Y_5-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_5) +(Y_6-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_6)\\[5pt] &&+(Y_7-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_7)\\[5pt] &=& (497\text{g}-500\text{g})^2 \cdot 0,001 +(498\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0 + (499\text{g}-500\text{g})^2 \cdot 0,001 \\[5pt] &&+(500\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0,98+(501\text{g}-500\text{g})^2 \cdot 0,005 +(502\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0,004\\[5pt] &&+(503\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0 \\[5pt] &=& 0,04 \text{g}^2 \end{array}$
$V(Y)=0,04 \text{g}^2$
Nun kannst du durch die Varianz die Standardabweichung $\sigma_{Neu}(Y)$ folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma_{Neu}(Y)&=&\sqrt{V(Y)} \\[5pt] &=& \sqrt{0,04\text{ g}^2} \\[5pt] &=& 0,2 \text{g} \end{array}$
Somit beträgt die Standardabweichung für die neue Maschine $0,2$ g.
Neue Maschine beurteilen
Nun sollst du aufgrund dieser Ergebnisse beurteilen, ob die Anschaffung der neuen Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde. Du musst somit die berechneten Werte der neuen Maschine mit den Werten der alten Maschine vergleichen. Der Erwartungswert der beiden Maschinen ist identisch und liegt bei $E(Y)=500$. Bei Betrachtung der Standardabweichung fällt dir auf, dass sich die beiden Werte unterscheiden. Die Standardabweichung beträgt bei der alten Maschine $\sigma_{ALt}(Y)\approx 0,26$ und bei der neuen Maschine $\sigma_{Neu}(Y)= 0,2$. Somit ist die Standardabweichung bei der neuen Maschinen geringen als bei der alten Maschine. Somit wäre die Anschaffung einer neuen Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts, da das Gewicht des Toastbrots nich mehr so stark vom Sollgewicht abweichen würde.
3.1
$\blacktriangleright$  Sachverhalt darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du den gegeben Sachverhalt in einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel darstellen. Bezeichne hierbei für eine erleichterte Darstellung eine ordnungsgemäße Verpackung als Ereignis $V$ und somit eine nicht ordnungsgemäße Verpackung mit $\overline{V}$. Dass ein Brot die Warenausgangskontrolle passiert kannst du hierbei mit $S$ bezeichnen. Das Ereignis \overline{S} beschreibt dann, dass ein Brot aussortiert wird.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Baumdiagramm
Trage zunächst alle bekannten Werte in das Baumdiagramm ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Pfadregeln. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in das Baumdiagramm einzeichnen:
Abb. 4: Baumdiagramm
Abb. 4: Baumdiagramm
Durch die Gegenereginisse kannst du nun folgende Wahrscheinlichkeiten wie folgt ermitteln:
$P(V) = 1 - P (\overline{V}) = 1 - 0,02 = 0,98$.
Analog ergeben sich für die weiteren Wahrscheinlichkeiten folgende Werte:
$P_{V}(S) $$= 1 - P_{V} (\overline{S}) $$= 1 - 0,04 $$= 0,96$.
$P_{\overline{V}}(\overline{P}) $$= 1 - P_{\overline{V}} (S) $$= 1 - 0,03 $$= 0,97$.
Damit kannst du dein Baumdiagramm vervollständigen:
Abb. 5: Vollständiges Baumdiagramm
Abb. 5: Vollständiges Baumdiagramm
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Trage wieder zunächst alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Somit erhälst du folgende Werte:
$\overline{S}$$S$
$V$$0,98$
$\overline{V}$$0,02$
$1$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot nicht ordnungsgemäß verpackt wurde und die Warenausgabe passiert, berechnet sich wie folgt:
$\begin{array}[t]{rl} P (\overline{V} \cap S)=& P (\overline{V}) \cdot P_{\overline{V}} (S) \\[5pt] =& 0,02 \cdot 0,03 \\[5pt] =&0,0006 \end{array}$
Nun kannst du noch die Wahrscheinlichkeit wie folgt bestimmen, dass die Verpackung ordnungsgemäß war und die Warenausgabe passiert hat:
$\begin{array}[t]{rl} P (V \cap \overline{S})=& P (V) \cdot P_{V} (\overline{S}) \\[5pt] =& (1-0,02) \cdot 0,04 \\[5pt] =&0,0392 \end{array}$
Mit den Rechenregeln für die Vierfeldertafel kannst du nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P (V \cap S)=& P (V) -P (V \cap \overline{S}) \\[5pt] =& 0,98 - 0,0392 \\[5pt] =&0,9408 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{V} \cap \overline{S})=& P (\overline{V}) -P (\overline{V} \cap S) \\[5pt] =& 0,02 - 0,0006 \\[5pt] =&0,0194 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{S})=& P (\overline{V} \cap \overline{S}) +P (V \cap \overline{S}) \\[5pt] =& 0,0194 + 0,0392 \\[5pt] =&0,0586 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (S)=& P (\overline{V} \cap S) +P (V \cap S) \\[5pt] =& 0,0006 + 0,9408 \\[5pt] =&0,9414 \end{array}$
Eintragen liefert die vollständige Vierfeldertafel:
$\overline{S}$$S$
$V$$0,0392$$0,09408$$0,98$
$\overline{V}$$0,0195$$0,0006$$0,02$
$0,0586$$0,9414$$1$
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes fehlerhaft ist. Das bedeutet, du suchst die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V})$.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit kann man mit dem Satz von Bayes folgendermaßen bestimmen:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Somit kann man die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V})$ folgendermaßen bestimmen:
$P_{\overline{S}}(\overline{V})=\dfrac{P_{\overline{V}}(\overline{S})\cdot \overline{V}}{\overline{S}})$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V}$ mit den Wahrscheinlichkeiten aus der oberen Teilaufgabe folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{S}}(\overline{V})=& \dfrac{P_{\overline{V}}(\overline{S})\cdot \overline{V}}{\overline{S}} \\[5pt] =&\dfrac{0,97 \cdot 0,02}{0,02 \cdot 0,97 + 0,98 \cdot 0,04} \\[5pt] \approx&0,3311 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{S}}(\overline{V})\approx&0,3311 \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes tatsächlich fehlerhaft ist $33,11\,\%$.
#satzvonbayes
3.3
$\blacktriangleright$  Nullhypothese prüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du prüfen, ob es bei einer Stichprobe von $100$ Broten gerechtfertigt war die Nullhypothese aufgrund von $4$ fehlerhaft verpackten Brote nicht zu verwerfen. Diese Entscheidung sollst du nun auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ prüfen. Bezeichne hierbei die Anzahl der fehlerhaft verpackten Brote mit der Zufallsvariable $X$. Da es sich um eine Stichprobe mit $100$ Broten handeln soll gilt $n=100$.
Führe beispielsweise einen rechtsseitigen Hypothesentest mit der folgenden Nullhypothese durch:
$H_0: p\leq 0,02$
In Worten lautet die Nullhypothese: Es sind maximal $2\, \%$ der Verpackungen fehlerhaft.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:
$\overline{A}={k,\dotsc ,100}$
Deshalb muss gelten:
$P(X\geq k)=1- P(X\leq k-1) \leq 5 \,\%$
Aus der Tabelle folgt:
$P(X\leq 4)=0,9492$ und $P(X\leq 5)=0,9845$.
Somit folgt für den Ablehungsbereich:
$\overline{A}={5+1,\dotsc ,100}={6,\dotsc ,100}$
Da nur $4$ fehlerhafte Verpackungen vorliegen, wird die Nullhypothese nicht verworfen und die Entscheidung ist gerechtfertigt.
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$  Erwartungswert der abweichenden Toastbrote berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du den Erwartungswert der abweichenden Toastbrote für eine Lieferung von $50$ Toastbroten berechnen. Hierbei hast du bereits gegeben, dass $2 \,\%$ aller Toastbrote von ihrem Sollgewicht abweichen. Das bedeutet, dass du den Erwartungswert $\mu$ wie folgt bestimmen kannst:
$\mu = p \cdot n$
$\mu = p \cdot n$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der gelieferten Toastbrote ($n=50$) und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot von seinem Sollgewicht abweicht ($p = 2 \,\%$).
Somit gilt für den Erwartungswert:
$\begin{array}[t]{rll} \mu&=& p \cdot n \\[5pt] &=& 0,02 \cdot 50 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Der Einzelhändler kann erwarten, dass von den $50$ gelieferten Toastbrote $1$ Toastbrot vom Sollgewicht abweicht.
$\blacktriangleright$  Darstellung als Bernoullikette erläutern
In dieser Teilaufgabe sollst du erläutern, wieso man die Prüfung der Toastbrote auf Abweichung vom Sollgewicht als Bernoullikette auffassen kann. Bei einer Bernoullikette gibt es nur zwei möglichen Ereignisse. Dies ist bei der Prüfung der Toastbrote auch der Fall, da ein Toastbrot entweder dem Sollgewicht entspricht oder davon abweicht. Außerdem gilt, dass die einzelnen Ereignisse stochastisch unabhängig voneinenander sind und sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot dem Sollgewicht entspricht nicht ändert.
Somit handelt es sich bei der Prüfung der Toastbrote, um eine Bernoullikette.
#erwartungswert
1.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse bestimmen:
$A$: In der Lieferung weisen mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht auf.
$B$: In der Lieferung weisen mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht auf.
Aus Teilaufgabe 1.1 weißt du bereits, dass man die Prüfung der Toastbrote als Bernoullikette auffassen kann. Somit kannst du nun die Wahrscheinlichkeiten mit der folgenden Formel berechnen:
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
$P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}.$
In diesem Fall ist $n$ die Anzahl der Versuche, also die Anzahl der Toastbrote ($n=50$), $X$ die Anzahl der Toastbrote, die vom Sollgewicht abweichen und $p$ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot vom Sollgewicht abweicht ($p = 2 \,\%$).
Nun sind die Wahrscheinlichkeiten für die Ereignnisse $A$ und $B$ gesucht.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $A$
Da Ereignis $A$ beschreibt, dass in der Lieferung mehr als $4$ Brote eine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen ist die Wahrscheinlichkeit $P(A)=P(X>4)$ gesucht. $P(X>4)$ kannst du umschreiben in
$P(X>4)=1- P(X\leq 4)$
$P(X \leq 4)$ kannst du nun mit deinem CAS berechnen. Gehe hierbei an deinem CAS wie folgt vor:
Aktion $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Aktion $\to$ Verteilungsfunktionen $\to$ Diskret $\to$ binomialCDf
Abb. 1: Ergebnis
Abb. 1: Ergebnis
Dadurch ist $P(X>4)$ gegeben durch:
$\begin{array}[t]{rll} P(X > 4) &=& 1- P(X \leq 4)\\[5pt] &=& 1- 0,9968\\[5pt] &\approx& 0,0032 \\[5pt] &=& 0,32 \,\% \end{array}$
$P(X > 4) = … $
Somit tritt das Ereignis $A$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $0,32\,\%$ auf.
Wahrscheinlichkeit für Ereignis $B$
Da Ereignis $B$ beschreibt, dass in der Lieferung mindestens $47$ Brote keine Abweichung vom Sollgewicht aufweisen, ist die Wahrscheinlichkeit $P(B)=P(X\leq3)$ gesucht. $P(X\leq 3)$ kannst du nun mit dem Befehl aus der oberen Aufgabe berechnen. Für $P(X\leq 3)$ folgt somit:
Abb. 2: Ergebnis
Abb. 2: Ergebnis
Somit tritt Ereignis $B$ mit einer Wahrscheinlichkeit von $98,22\,\%$ auf.
#binomialverteilung
2.
$\blacktriangleright$  Neue Maschine beurteilen
In dieser Aufgabe sollst du zuerst den Erwartungswert und die Standardabweichung, durch das beliegende Material, für die neue Maschine berechnen. Anschließend sollst du aufgrund dieser Ergebnisse beurteilen, ob die neue Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde.
Erwartungswert bestimmen
Zuerst sollst du also den Erwartungswert der neuen Maschine $E_{Neu}(Y)$ durch die Verteilung des Brotgewichts $Y$ aus dem Material bestimmen. Für den Erwartungswert gilt somit folgende Formel:
$E(Y) = Y_1 \cdot P(X=Y_1) +Y_2\cdot P(X=Y_2) + … + Y_n \cdot P(X=Y_n)$
$E(Y) = Y_1 \cdot P(X=Y_1) + …$
Für den Erwartungswert des Brotgewichts mit der neuen Maschine gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} E_{Neu}(Y) &=& Y_1 \cdot P(X=Y_1) +Y_2\cdot P(X=Y_2) + Y_3 \cdot P(X=Y_3) +Y_4\cdot P(X=Y_4) \\[5pt] &&+Y_5\cdot P(X=Y_5) + Y_6 \cdot P(X=Y_6) +Y_7\cdot P(X=Y_7) \\[5pt] &=& 497 \text{g} \cdot 0,001 +498 \text{g} \cdot 0 +499 \text{g} \cdot 0,01 +500 \text{g} \cdot 0,98 +501 \text{g} \cdot 0,005\\[5pt] &&+502 \text{g} \cdot 0,004 + 503 \text{g} \cdot 0\\[5pt] &=& 497 \text{g} \cdot 0,001 +499 \text{g} \cdot 0,01 +500 \text{g} \cdot 0,98 +501 \text{g} \cdot 0,005 +502 \text{g} \cdot 0,004 \\[5pt] &=& 500\text{g}\\[5pt] \end{array}$
$E_{Neu}(Y)= 500\text{g}$
Der Erwartungswert der neuen Maschine beträgt somit $500\text{g}$.
Standardabweichung bestimmen
Mit dem berechneten Erwartungswert lässt sich zuerst die Varianz $V(Y)$ und anschließend die Standardabweichung $\sigma_{Neu}(Y)=\sqrt{V(Y)}$ bestimmen. $V(Y)$ kannst du mit folgender Formel bestimmen:
$V(Y) = (Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) +(Y_2-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_2) + … + (Y_n-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_n)$
$V(Y) = (Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) + …$
Für die Varianz $V(Y)$ gilt somit:
$\begin{array}[t]{rll} V(Y) &=&(Y_1-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_1) +(Y_2-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_2) + (Y_3-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_3) \\[5pt] &&+(Y_4-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_4)+(Y_5-E_{Neu}(Y))^2 \cdot P(Y_5) +(Y_6-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_6)\\[5pt] &&+(Y_7-E_{Neu}(Y))^2\cdot P(Y_7)\\[5pt] &=& (497\text{g}-500\text{g})^2 \cdot 0,001 +(498\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0 + (499\text{g}-500\text{g})^2 \cdot 0,001 \\[5pt] &&+(500\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0,98+(501\text{g}-500\text{g})^2 \cdot 0,005 +(502\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0,004\\[5pt] &&+(503\text{g}-500\text{g})^2\cdot 0 \\[5pt] &=& 0,04 \text{g}^2 \end{array}$
$V(Y)=0,04 \text{g}^2$
Nun kannst du durch die Varianz die Standardabweichung $\sigma_{Neu}(Y)$ folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \sigma_{Neu}(Y)&=&\sqrt{V(Y)} \\[5pt] &=& \sqrt{0,04\text{ g}^2} \\[5pt] &=& 0,2 \text{g} \end{array}$
Somit beträgt die Standardabweichung für die neue Maschine $0,2$ g.
Neue Maschine beurteilen
Nun sollst du aufgrund dieser Ergebnisse beurteilen, ob die Anschaffung der neuen Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts bewirken würde. Du musst somit die berechneten Werte der neuen Maschine mit den Werten der alten Maschine vergleichen. Der Erwartungswert der beiden Maschinen ist identisch und liegt bei $E(Y)=500$. Bei Betrachtung der Standardabweichung fällt dir auf, dass sich die beiden Werte unterscheiden. Die Standardabweichung beträgt bei der alten Maschine $\sigma_{ALt}(Y)\approx 0,26$ und bei der neuen Maschine $\sigma_{Neu}(Y)= 0,2$. Somit ist die Standardabweichung bei der neuen Maschinen geringen als bei der alten Maschine. Somit wäre die Anschaffung einer neuen Maschine eine Verbesserung im Bezug auf die Einhaltung des Sollgewichts, da das Gewicht des Toastbrots nich mehr so stark vom Sollgewicht abweichen würde.
3.1
$\blacktriangleright$  Sachverhalt darstellen
In dieser Teilaufgabe sollst du den gegeben Sachverhalt in einem Baumdiagramm oder einer Vierfeldertafel darstellen. Bezeichne hierbei für eine erleichterte Darstellung eine ordnungsgemäße Verpackung als Ereignis $V$ und somit eine nicht ordnungsgemäße Verpackung mit $\overline{V}$. Dass ein Brot die Warenausgangskontrolle passiert kannst du hierbei mit $S$ bezeichnen. Das Ereignis \overline{S} beschreibt dann, dass ein Brot aussortiert wird.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Baumdiagramm
Trage zunächst alle bekannten Werte in das Baumdiagramm ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Pfadregeln. Folgende Werte kannst du direkt aus der Aufgabenstellung in das Baumdiagramm einzeichnen:
Abb. 3: Baumdiagramm
Abb. 3: Baumdiagramm
Durch die Gegenereginisse kannst du nun folgende Wahrscheinlichkeiten wie folgt ermitteln:
$P(V) = 1 - P (\overline{V}) = 1 - 0,02 = 0,98$.
Analog ergeben sich für die weiteren Wahrscheinlichkeiten folgende Werte:
$P_{V}(S) $$= 1 - P_{V} (\overline{S}) $$= 1 - 0,04 = 0,96$.
$P_{\overline{V}}(\overline{P}) $$= 1 - P_{\overline{V}} (S) $$= 1 - 0,03 = 0,97$.
Damit kannst du dein Baumdiagramm vervollständigen:
Abb. 4: Vollständiges Baumdiagramm
Abb. 4: Vollständiges Baumdiagramm
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Vierfeldertafel
Trage wieder zunächst alle bekannten Werte in die Vierfeldertafel ein und vervollständige nach und nach mit dem Prinzip des Gegenereignisses und den Rechenregeln für die Vierfeldertafel. Somit erhälst du folgende Werte:
$\overline{S}$$S$
$V$$0,98$
$\overline{V}$$0,02$
$1$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Toastbrot nicht ordnungsgemäß verpackt wurde und die Warenausgabe passiert, berechnet sich wie folgt:
$\begin{array}[t]{rl} P (\overline{V} \cap S)=& P (\overline{V}) \cdot P_{\overline{V}} (S) \\[5pt] =& 0,02 \cdot 0,03 \\[5pt] =&0,0006 \end{array}$
Nun kannst du noch die Wahrscheinlichkeit wie folgt bestimmen, dass die Verpackung ordnungsgemäß war und die Warenausgabe passiert hat:
$\begin{array}[t]{rl} P (V \cap \overline{S})=& P (V) \cdot P_{V} (\overline{S}) \\[5pt] =& (1-0,02) \cdot 0,04 \\[5pt] =&0,0392 \end{array}$
Mit den Rechenregeln für die Vierfeldertafel kannst du nun die noch fehlenden Wahrscheinlichkeiten berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P (V \cap S)=& P (V) -P (V \cap \overline{S}) \\[5pt] =& 0,98 - 0,0392 \\[5pt] =&0,9408 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{V} \cap \overline{S})=& P (\overline{V}) -P (\overline{V} \cap S) \\[5pt] =& 0,02 - 0,0006 \\[5pt] =&0,0194 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (\overline{S})=& P (\overline{V} \cap \overline{S}) +P (V \cap \overline{S}) \\[5pt] =& 0,0194 + 0,0392 \\[5pt] =&0,0586 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P (S)=& P (\overline{V} \cap S) +P (V \cap S) \\[5pt] =& 0,0006 + 0,9408 \\[5pt] =&0,9414 \end{array}$
Eintragen liefert die vollständige Vierfeldertafel:
$\overline{S}$$S$
$V$$0,0392$$0,09408$$0,98$
$\overline{V}$$0,0195$$0,0006$$0,02$
$0,0586$$0,9414$$1$
3.2
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit berechnen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes fehlerhaft ist. Das bedeutet, du suchst die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V})$.
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit kann man mit dem Satz von Bayes folgendermaßen bestimmen:
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
$P_B(A) = \dfrac{P_A(B)\cdot P(A)}{P(B)}$
Somit kann man die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V})$ folgendermaßen bestimmen:
$P_{\overline{S}}(\overline{V})=\dfrac{P_{\overline{V}}(\overline{S})\cdot \overline{V}}{\overline{S}})$
Nun kannst du die Wahrscheinlichkeit $P_{\overline{S}}(\overline{V}$ mit den Wahrscheinlichkeiten aus der oberen Teilaufgabe folgendermaßen bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{S}}(\overline{V})=& \dfrac{P_{\overline{V}}(\overline{S})\cdot \overline{V}}{\overline{S}} \\[5pt] =&\dfrac{0,97 \cdot 0,02}{0,02 \cdot 0,97 + 0,98 \cdot 0,04} \\[5pt] \approx&0,3311 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} P_{\overline{S}}(\overline{V})\approx&0,3311 \end{array}$
Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verpackung eines aussortierten Brotes tatsächlich fehlerhaft ist $33,11\,\%$.
#satzvonbayes
3.3
$\blacktriangleright$  Nullhypothese prüfen
In dieser Teilaufgabe sollst du prüfen, ob es bei einer Stichprobe von $100$ Broten gerechtfertigt war die Nullhypothese aufgrund von $4$ fehlerhaft verpackten Brote nicht zu verwerfen. Diese Entscheidung sollst du nun auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ prüfen. Bezeichne hierbei die Anzahl der fehlerhaft verpackten Brote mit der Zufallsvariable $X$. Da es sich um eine Stichprobe mit $100$ Broten handeln soll gilt $n=100$.
Führe beispielsweise einen rechtsseitigen Hypothesentest mit der folgenden Nullhypothese durch:
$H_0: p\leq 0,02$
In Worten lautet die Nullhypothese: Es sind maximal $2\, \%$ der Verpackungen fehlerhaft.
Der Ablehnungsbereich $\overline{A}$ lautet:
$\overline{A}={k,\dotsc ,100}$
Deshalb muss gelten:
$P(X\geq k)=1- P(X\leq k-1) \leq 5 \,\%$
Aus der Tabelle folgt:
$P(X\leq 4)=0,9492$ und $P(X\leq 5)=0,9845$.
Somit folgt für den Ablehungsbereich:
$\overline{A}={5+1,\dotsc ,100}={6,\dotsc ,100}$
Da nur $4$ fehlerhafte Verpackungen vorliegen, wird die Nullhypothese nicht verworfen und die Entscheidung ist gerechtfertigt.
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