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A2 - Analysis

Aufgaben
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Eine Gärtnerei vertreibt ein tunnelförmiges Foliengewächshaus, dessen Bodenfläche 12 m lang und 7 m breit ist und dessen Höhe 3 m beträgt (Material 1).
1.   Ermittle die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion $p$, deren Graph die parabelförmige Berandung der vorderen Abschlussfläche des Gewächshauses beschreibt.
$\left[ \text{Zur Kontrolle:}\; p(x)=-\dfrac{12}{49}\cdot x^2 + 3, \;\;\; x\in[-3,5; 3,5] \;\;\;\; \text{(x in Metern)}\right]$
(6P)
2.1 Berechne das gesamte Volumen des Gewächshauses unter der Annahme, dass die vordere und hintere Abschlussfläche senkrecht auf der Bodenfläche stehen.
(8P)
2.2 Um eine geeignete Arbeitshöhe für die Gärtner zu bekommen, wird in einer Hälfte des Gewächshauses in 1 Meter Höhe über die gesamte Länge des Gewächshauses ein Zwischenboden eingefügt (Material 2).
Ermittle den Flächeninhalt des Zwischenbodens.
Berechne, um wie viel Prozent der Zwischenboden kleiner ist als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.
(6P)
3.   Im Zusammenhang mit dem Gewächshaus wird der folgende Term aufgestellt:
$12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24\cdot x^2}\;\mathrm dx$
Erläutere mithilfe der Information im untenstehenden Kasten den Aufbau dieses Terms und seine Bedeutung im Sachzusammenhang.

Die Länge des Graphen einer differenzierbaren Funktion $f$ zwischen den Punkten $A(a\mid f(a))$ und $B(b\mid f(b))$ wird durch folgende Formel berechnet:
$L=\displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx, \; a\leq b$

(6P)
4.   Mehrere Kunden reklamieren, dass das Gewächshaus im oberen Bereich zu eng gebaut sei. Die Firma möchte mit einer elliptischen Form Abhilfe schaffen (Material 3).
4.1 Die ursprüngliche Höhe und die Breite der Bodenfläche des Gewächshauses sollen zunächst beibehalten werden.
Bestimme eine entsprechende Funktion $g$ für das Profil des Gewächshauses und skizziere sie in Material 2.
(4P)
4.2 Allerdings wird der Verbrauch an Folie für die Bedachung jetzt größer. Die Firma möchte den Mehrverbrauch auf $5\,\%$ gegenüber der parabelförmigen Bedachung beschränken und dafür die Höhe des Gewächshauses bei gleichbleibender Länge und Breite der Bodenfläche reduzieren. (Die vordere und hintere Abschlussfläche werden nicht betrachtet.)
Ermittle die dafür notwendige Höhenreduzierung unter Verwendung der in Aufgabe 3 gegebenen Formel.
(10P)

Material 1

A2 -  Analysis
A2 -  Analysis

Material 2

A2 -  Analysis
A2 -  Analysis

Material 3

Information: Die Gleichung $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ beschreibt eine Ellipse, deren Mittelpunkt im Nullpunkt des Koordinatensystems liegt und deren große Halbachse mit $a$, die kleine Halbachse mit $b$ bezeichnet wird.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Löst man die Gleichung nach $y$ auf, erhält man für die Funktion des oberen Ellipsenbogens die Funktionsgleichung: $y(x)=\dfrac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$
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1. $\blacktriangleright$ Gesuchte parabelförmige Funktionsgleichung ermitteln
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermittlen, kannst du zuächst eine beliebige quadratische Funktion $p$ mit der Funktionsgleichung $p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c$ betrachten.
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Daten kannst du dann die benötigten Parameter bestimmen. Dazu kannst du das Koordinatensystem zwar beliebig legen, es bietet sich aber an, die $x$-Achse als den Boden zu betrachten und anzunehmen, dass die $y$-Achse in der Mitte des Foliengewächshauses als Symmetrieachse der Parabel liegt. Nutze dabei folgenden Maßstab: $1$ Einheit $\mathrel{\widehat{=}}$ $1$ m.
Der höchste Punkt ist dann der Scheitelpunkt und liegt auf der $y$-Achse. Damit wird die Höhe des Gebäudes gerade durch den Funktionswert an der Stelle $x=0$ beschrieben. Die beiden äußeren Punkte der Abschlussfläche berühren den Boden, sind also die Nullstellen der Funktionsgleichung $p$.
Es ergeben sich folgende drei Gleichungen für die gesuchte Funktionsgleichung von $p$:
$\begin{array}{rll} p(-3,5)=&0 \\[5pt] p(3,5)=&0 \\[5pt] p(0)=&3 \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumen des Foliengewächshauses berechnen
Da die Abschlussflächen senkrecht auf der Bodenfläche stehen, berechnest du das gesamte Volumen des Gewächshauses durch Multiplikation des Flächeninhalts der Vorderfläche mit der Länge des Gewächshauses. Die Länge von $12 \text{ m}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben, also kannst du direkt den Inhalt der Vorderfläche berechnen. Dieser entspricht der Fläche, die der Graph von $p$ mit der $x$-Achse einschließt.
Berechne also das Integral der ermittelten Parabelfunktion $p$ im Intervall $[-3,5  3,5]$.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung ermitteln
Berechne zunächst den geforderten Flächeninhalt des Zwischenbodens. Anschließend berechnest du den Flächeninhalt der gesamten Bodenfläche und kannst anhand dieser beiden Werte die prozentuale Abweichung ermitteln. Nutze dabei zur besseren Vorstellung die Skizze in Material 2.
Dabei ergibt sich die Breite des Zwischenbodens, wie in Material 2 zu erkennen ist, als Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel.
3. $\blacktriangleright$ Term erläutern
Hier sollst du den Aufbau und die Bedeutung von folgendem Term erklären:
$12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$
Zusätzlich weißt du, dass die Länge $L$ eines Graphen einer differenzierbaren Funktion zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ mit dieser Formel berechnet wird:
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Betrachte diesen Formel und überlege dir, in welchem Zusammenhang dieser mit dem Term steht.
4.
4.1 $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Das Gewächshaus soll nun eine elliptische Form erhalten. Die Höhe und Breite des Gewächshauses bleiben dabei unverändert.
Eine Funktion des oberen Ellipsenbogens hat folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2} \end{array}$
Dabei entspricht das $b$ der Höhe des Gewächshauses und das $a$ der Breite.
Um eine Funktion $g$ für das Profil des Gewächshauses zu bestimmen, setzt du die Höhe $b=3\,\text{m}$ und die Breite $a=3,5\,\text{m}$ in die Gleichung für den oberen Ellipsenbogen ein.
$\blacktriangleright$  Funktion $\boldsymbol{g}$ skizzieren
Um die Funktion $g$ im Material 2 skizzieren zu können, kannst du dir mit dem CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen.
4.2 $\blacktriangleright$ Höhenreduzierung ermitteln
Damit der Mehrverbrauch an Folie auf $5\,\%$ mit der neuen Bedachung beschränkt wird, soll die Höhe des Gewächshauses reduziert werden. Die Länge und Breite bleiben gleich.
Damit du dies berechnen kannst, musst du zunächst wissen wie groß die Fläche des neues Daches werden darf. Die neue Fläche darf um $5\,\%$ größer sein als die alte. Die Fläche des alten Daches kannst du mit dem Term aus Aufgabe 3 berechnen.
Um die Fläche des neuen Daches zu berechnen, brauchst du eine Gleichung, die den oberen Ellipsenbogen in Abhängigkeit der Höhe $b$. Diese hast du in Material 3 gegeben. Da die Breite $a$ unverändert bleibt, kannst du diese in die Gleichung einsetzen. Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2}\\[5pt] &=& \dfrac{b}{3,5}\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}\\[5pt] &=& \dfrac{b}{3,5}\cdot\sqrt{12,25-x^2} \end{array}$
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne wie groß die neue Fläche sein darf
  2. Setze die Formel zur Berechung der neuen Fläche mit diesem Wert gleich und löse nach der Höhe $b$ auf
  3. Berechne die Höhendifferenz
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1. $\blacktriangleright$ Gesuchte parabelförmige Funktionsgleichung ermitteln
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermittlen, kannst du zuächst eine beliebige quadratische Funktion $p$ mit der Funktionsgleichung $p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c$ betrachten.
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Daten kannst du dann die benötigten Parameter bestimmen. Dazu kannst du das Koordinatensystem zwar beliebig legen, es bietet sich aber an, die $x$-Achse als den Boden zu betrachten und anzunehmen, dass die $y$-Achse in der Mitte des Foliengewächshauses als Symmetrieachse der Parabel liegt. Nutze dabei folgenden Maßstab: $1$ Einheit $\mathrel{\widehat{=}}$ $1$ m.
Der höchste Punkt ist dann der Scheitelpunkt und liegt auf der $y$-Achse. Damit wird die Höhe des Gebäudes gerade durch den Funktionswert an der Stelle $x=0$ beschrieben. Die beiden äußeren Punkte der Abschlussfläche berühren den Boden, sind also die Nullstellen der Funktionsgleichung $p$.
Es ergeben sich folgende drei Gleichungen für die gesuchte Funktionsgleichung von $p$:
$\begin{array}{rll} p(-3,5)=&0 \\[5pt] p(3,5)=&0 \\[5pt] p(0)=&3 \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&p(-3,5)=& \left(-\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a- \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 \\[5pt] Ⅱ& p(3,5)=& \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a + \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 \\[5pt] Ⅲ& p(0)=&0^2 \cdot a + 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=3 \end{array}$
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Nun hast du alle gesuchten Parameter berechnet und kannst die Funktionsgleichung von $p$ aufstellen:
$p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c=-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3$.
Also lautet die Funktionsgleichung $p(x)=-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3$, wobei $x$ nach unseren Annahmen in $[-3,5  3,5]$ liegt und in Metern angegeben ist.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumen des Foliengewächshauses berechnen
Da die Abschlussflächen senkrecht auf der Bodenfläche stehen, berechnest du das gesamte Volumen des Gewächshauses durch Multiplikation des Flächeninhalts der Vorderfläche mit der Länge des Gewächshauses. Die Länge von $12 \text{ m}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben, also kannst du direkt den Inhalt der Vorderfläche berechnen. Dieser entspricht der Fläche, die der Graph von $p$ mit der $x$-Achse einschließt.
Berechne also das Integral der ermittelten Parabelfunktion $p$ im Intervall $[-3,5  3,5]$.
1. Schritt: Parabelfläche berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Definiere dazu den Funktionsterm von $p$ und berechne im Menü des Calc-Modus das Integral mit folgendem Befehl:
4: Analysis $\to$ 3: Integral
Gib für die untere Grenze $x=-3,5$ und für die obere Grenze $x=3,5$ ein.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Damit beträgt die parabelförmige Abschlussfläche $14 \text{ m}^2$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Nutze den Hauptsatz der Integralrechnung. Damit ergibt sich für das gesuchte Integral:
$\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x)\; \mathrm dx=& \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} \left(-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3 \right) \mathrm dx \\[5pt] =& \left[-\dfrac{4}{49} \cdot x^3 +3 \cdot x \right]_{-3,5}^{3,5} \\[5pt] =& -\dfrac{4}{49} \cdot (3,5)^3 +3 \cdot (3,5) - \left( -\dfrac{4}{49} \cdot (-3,5)^3 +3 \cdot (-3,5) \right) \\[5pt] =& -\dfrac{8}{49} \cdot (3,5)^3 +6 \cdot (3,5) \\[5pt] =& 14 \end{array}$
Damit beträgt die parabelförmige Abschlussfläche $14 \text{ m}^2$.
2. Schritt: Gesamtes Volumen berechnen
Das gesamte Volumen ergibt sich nun als Produkt aus der Parabelfläche und der Länge des Foliengewächshauses. Beachte hierbei, dass du die Parabelfläche in $\text{ m}^2$ berechnet hast.
$\begin{array}{rll} V_{\text{gesamt}}=& 12 \text{ m} \cdot \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x) \,\mathrm dx \text{ m}^2 \\[5pt] =& 12 \text{ m} \cdot 14 \text{ m}^2 \\[5pt] =& 168 \text{ m}^3 \end{array}$
Das gesamte Volumen beträgt $168 \text{ m}^3$.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung ermitteln
Berechne zunächst den geforderten Flächeninhalt des Zwischenbodens. Anschließend berechnest du den Flächeninhalt der gesamten Bodenfläche und kannst anhand dieser beiden Werte die prozentuale Abweichung ermitteln. Nutze dabei zur besseren Vorstellung die Skizze in Material 2.
Dabei ergibt sich die Breite des Zwischenbodens, wie in Material 2 zu erkennen ist, als Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel.
1. Schritt: Flächeninhalt des Zwischenbodens berechnen
Die Fläche des Zwischenbodens hat die Form eines Rechtecks. Also benötigst du die Breite und die Länge.
Die Breite erhälst du wie oben beschrieben, indem du den Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel ermittelst.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Um die Schnittstelle der Geraden $y=1$ mit der Funktion $p$ zu bestimmen, setzt du die zwei Funktionsterme gleich. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl lösen.
Beachte, dass der Zwischenboden in der Skizze in der rechten Hälfte liegt, also der Schnittpunkt mit positiver $x$-Koordinate gesucht ist.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Somit ist $x_1 \approx 2,86$ die gesuchte $x$-Koordinate. Die Breite erhältst du nun durch
$2,86 \text{ m} - 0 \text{ m} = 2,86 \text{ m}$.
Da die Länge des Foliengewächshauses und damit auch des Zwischenbodens in der Aufgabenstellung mit $12 \text{ m}$ angegeben ist, folgt für den Flächeninhalt des Zwischenbodens:
$A_{\text{Zwischenboden}} = 2,86 \text{ m} \cdot 12 \text{ m} \approx 34,3 \text{ m}^2$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Bestimme die Schnittstelle von der Parabel und der Gerade $y=1$:
$\begin{array}{rll} p(x) \stackrel{!}=& 1 \\[5pt] -\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3 &= 1 &\scriptsize \mid \ -1 \\[5pt] -\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +2 &= 0 &\scriptsize \mid \ \cdot \left( -\dfrac{49}{12}\right) \\[5pt] x^2 -\dfrac{49}{6} &= 0 &\scriptsize \mid \ \text{pq-Formel} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \sqrt{\dfrac{49}{6}} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \dfrac{7}{\sqrt{6}} \end{array}$
Da der Zwischenboden in der Skizze in der rechten Hälfte liegt, ist $x_1 = \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ die gesuchte $x$-Koordinate. Die Breite erhältst du nun durch
$\dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} - 0 \text{ m} = \dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} \approx 2,86 \text{ m}$.
Da die Länge des Foliengewächshauses und damit auch des Zwischenbodens in der Aufgabenstellung mit $12 \text{ m}$ angegeben ist, folgt für den Flächeninhalt des Zwischenbodens:
$A_{\text{Zwischenboden}} = \dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} \cdot 12 \text{ m} = \dfrac{7 \cdot 2 \cdot 6}{\sqrt{6}} \text{ m}^2 = 14 \cdot \sqrt{6} \text{ m}^2 \approx 34,3 \text{ m}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalt der Bodenfläche der Gewächshaushälfte berechnen
Du hast sowohl die Länge $12 \text{ m}$ als auch die Breite $3,5 \text{ m}$ der Bodenfläche gegeben.
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt:
$A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}=12 \text{ m} \cdot 3,5 \text{ m} = 42 \text{ m}^2$
3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen
Setze zunächst $A_{\text{Zwischenboden}}$ in Verhältnis zu $A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}$:
$\dfrac{A_{\text{Zwischenboden}}}{A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}} = \dfrac{34,3 \text{ m}^2}{42 \text{ m}^2} \approx 0,82$
Somit weißt du nun, dass der Zwischenbodenflächeninhalt nur ca. $82 \text{ %}$ der Hälfte der Bodenfläche misst. Also ist der Zwischenboden etwa $100\text{ %} - 82\text{ %} = 18 \text{ %}$ kleiner als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.
3. $\blacktriangleright$ Term erläutern
Hier sollst du den Aufbau und die Bedeutung von folgendem Term erklären:
$12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$
Zusätzlich weißt du, dass die Länge $L$ eines Graphen einer differenzierbaren Funktion zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ mit dieser Formel berechnet wird:
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Betrachte diesen Formel und überlege dir, in welchem Zusammenhang dieser mit dem Term steht.
Das Integral entspricht dabei der Formel zur Berechnung der Länge der Graphen zwischen dem Maxima an der Stelle $x=0$ und der Nullstelle $x=3,5$. Dies erkennst du, wenn du die Ableitung $p'$ in die Formel einsetzt.
Ableitung $\boldsymbol{p'}$
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&-\dfrac{12}{49}x^2+3 \\[5pt] p'(x)&=&-\dfrac{12}{49}x\cdot 2\\[5pt] p'(x)&=&-\dfrac{24}{49}x \end{array}$
Einsetzen in die Formel zur Berechnung von $L$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+\left(-\dfrac{24}{49}x\right)^2}\;\mathrm dx &=&\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Die $12$ in dem Term entspricht der Länge des Gewächshauses. Multipliziert du diese mit dem Integral, so erhältst du die halbe Fläche des Gewächshausdaches.
Damit du die komplette Fläche des Daches erhältst, wird noch mit $2$ multipliziert.
Mit dem Term kann du also die Fläche des Gewächshausdaches berechnen.
4.
4.1 $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Das Gewächshaus soll nun eine elliptische Form erhalten. Die Höhe und Breite des Gewächshauses bleiben dabei unverändert.
Eine Funktion des oberen Ellipsenbogens hat folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2} \end{array}$
Dabei entspricht das $b$ der Höhe des Gewächshauses und das $a$ der Breite.
Um eine Funktion $g$ für das Profil des Gewächshauses zu bestimmen, setzt du die Höhe $b=3\,\text{m}$ und die Breite $a=3,5\,\text{m}$ in die Gleichung für den oberen Ellipsenbogen ein.
$\begin{array}[t]{rll} y(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2} \\[5pt] g(x)&=&\dfrac{3}{3,5}\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}\\[5pt] g(x)&=&\dfrac{6}{7}\cdot\sqrt{12,25-x^2} \end{array}$
Die Funktion $g$ lautet: $g(x)=\dfrac{6}{7}\cdot\sqrt{12,25-x^2}$
$\blacktriangleright$  Funktion $\boldsymbol{g}$ skizzieren
Um die Funktion $g$ im Material 2 skizzieren zu können, kannst du dir mit dem CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Nun kannst du den Graphen von $g$ skizzieren.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
4.2 $\blacktriangleright$ Höhenreduzierung ermitteln
Damit der Mehrverbrauch an Folie auf $5\,\%$ mit der neuen Bedachung beschränkt wird, soll die Höhe des Gewächshauses reduziert werden. Die Länge und Breite bleiben gleich.
Damit du dies berechnen kannst, musst du zunächst wissen wie groß die Fläche des neues Daches werden darf. Die neue Fläche darf um $5\,\%$ größer sein als die alte. Die Fläche des alten Daches kannst du mit dem Term aus Aufgabe 3 berechnen.
Um die Fläche des neuen Daches zu berechnen, brauchst du eine Gleichung, die den oberen Ellipsenbogen in Abhängigkeit der Höhe $b$. Diese hast du in Material 3 gegeben. Da die Breite $a$ unverändert bleibt, kannst du diese in die Gleichung einsetzen. Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2}\\[5pt] &=& \dfrac{b}{3,5}\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}\\[5pt] &=& \dfrac{b}{3,5}\cdot\sqrt{12,25-x^2} \end{array}$
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne wie groß die neue Fläche sein darf
  2. Setze die Formel zur Berechung der neuen Fläche mit diesem Wert gleich und löse nach der Höhe $b$ auf
  3. Berechne die Höhendifferenz
1. Schritt: Größe der neuen Fläche
Berechne mit dem Term aus Aufgabe 3 die alte Fläche. Da die neue Fläche um $5\,\%$ größer sein darf, multiplizierst du dann den Wert mit $1,05$.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Die neue Fläche darf etwa $121\,\text{m}$ groß sein.
2. Schritt: Gleichsetzen
Die neue Fläche berechnest du so:
$\begin{array}[t]{rll} \text{neue Fläche}&=&12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Setze diesen Term mit der neuen Fläche gleich und löse nach $b$ auf. Dies kannst du mit deinem CAS berechnen. Definiere zunächst die Funktion $g$ und bilde die erste Ableitung $g'$. Löse dann die Gleichung $12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx=121$ mit dem solve-Befehl.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Die neue Höhe darf etwa $2,9\,\text{m}$ hoch sein, damit der Mehrverbrauch nur $5\,\%$ beträgt.
3. Schritt: Höhendifferenz berechnen
Bilde nun die Differenz der alten und neuen Höhe.
$3\,\text{m}-2,9\,\text{m}=0,1\,\text{m}$
Die notwendige Höhenreduzierung beträgt etwa $0,1\,\text{m}$.
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1. $\blacktriangleright$ Gesuchte parabelförmige Funktionsgleichung ermitteln
Um die gesuchte quadratische Funktionsgleichung zu ermittlen, kannst du zuächst eine beliebige quadratische Funktion $p$ mit der Funktionsgleichung $p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c$ betrachten.
Anhand in der Aufgabenstellung gegebener Daten kannst du dann die benötigten Parameter bestimmen. Dazu kannst du das Koordinatensystem zwar beliebig legen, es bietet sich aber an, die $x$-Achse als den Boden zu betrachten und anzunehmen, dass die $y$-Achse in der Mitte des Foliengewächshauses als Symmetrieachse der Parabel liegt. Nutze dabei folgenden Maßstab: $1$ Einheit $\mathrel{\widehat{=}}$ $1$ m.
Der höchste Punkt ist dann der Scheitelpunkt und liegt auf der $y$-Achse. Damit wird die Höhe des Gebäudes gerade durch den Funktionswert an der Stelle $x=0$ beschrieben. Die beiden äußeren Punkte der Abschlussfläche berühren den Boden, sind also die Nullstellen der Funktionsgleichung $p$.
Es ergeben sich folgende drei Gleichungen für die gesuchte Funktionsgleichung von $p$:
$\begin{array}{rll} p(-3,5)=&0 \\[5pt] p(3,5)=&0 \\[5pt] p(0)=&3 \end{array}$
Berechne die gesuchten Parameter nun mit einem linearen Gleichungssystem und deinem CAS.
$\begin{array}{lrll} Ⅰ&p(-3,5)=& \left(-\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a- \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 \\[5pt] Ⅱ& p(3,5)=& \left(\dfrac{7}{2} \right)^2 \cdot a + \dfrac{7}{2} \cdot b + c &\stackrel{!}=0 \\[5pt] Ⅲ& p(0)=&0^2 \cdot a + 0 \cdot b + c &\stackrel{!}=3 \end{array}$
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Nun hast du alle gesuchten Parameter berechnet und kannst die Funktionsgleichung von $p$ aufstellen:
$p(x)=a \cdot x^2 + b\cdot x +c=-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3$.
Also lautet die Funktionsgleichung $p(x)=-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3$, wobei $x$ nach unseren Annahmen in $[-3,5  3,5]$ liegt und in Metern angegeben ist.
2.
2.1 $\blacktriangleright$ Volumen des Foliengewächshauses berechnen
Da die Abschlussflächen senkrecht auf der Bodenfläche stehen, berechnest du das gesamte Volumen des Gewächshauses durch Multiplikation des Flächeninhalts der Vorderfläche mit der Länge des Gewächshauses. Die Länge von $12 \text{ m}$ ist in der Aufgabenstellung gegeben, also kannst du direkt den Inhalt der Vorderfläche berechnen. Dieser entspricht der Fläche, die der Graph von $p$ mit der $x$-Achse einschließt.
Berechne also das Integral der ermittelten Parabelfunktion $p$ im Intervall $[-3,5  3,5]$.
1. Schritt: Parabelfläche berechnen
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Das Integral kannst du mit deinem CAS berechnen. Definiere dazu den Funktionsterm von $p$ und berechne im Menü des Main-Modus das Integral mit folgendem Befehl:
Interactive $\to$ Calculation $\to$ $\displaystyle\int$
Gib für die untere Grenze $x=-3,5$ und für die obere Grenze $x=3,5$ ein.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Damit beträgt die parabelförmige Abschlussfläche $14 \text{ m}^2$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Nutze den Hauptsatz der Integralrechnung. Damit ergibt sich für das gesuchte Integral:
$\begin{array}{rll} \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x)\; \mathrm dx=& \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} \left(-\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3 \right) \mathrm dx \\[5pt] =& \left[-\dfrac{4}{49} \cdot x^3 +3 \cdot x \right]_{-3,5}^{3,5} \\[5pt] =& -\dfrac{4}{49} \cdot (3,5)^3 +3 \cdot (3,5) - \left( -\dfrac{4}{49} \cdot (-3,5)^3 +3 \cdot (-3,5) \right) \\[5pt] =& -\dfrac{8}{49} \cdot (3,5)^3 +6 \cdot (3,5) \\[5pt] =& 14 \end{array}$
Damit beträgt die parabelförmige Abschlussfläche $14 \text{ m}^2$.
2. Schritt: Gesamtes Volumen berechnen
Das gesamte Volumen ergibt sich nun als Produkt aus der Parabelfläche und der Länge des Foliengewächshauses. Beachte hierbei, dass du die Parabelfläche in $\text{ m}^2$ berechnet hast.
$\begin{array}{rll} V_{\text{gesamt}}=& 12 \text{ m} \cdot \displaystyle \int_{-3,5}^{3,5} p(x) \,\mathrm dx \text{ m}^2 \\[5pt] =& 12 \text{ m} \cdot 14 \text{ m}^2 \\[5pt] =& 168 \text{ m}^3 \end{array}$
Das gesamte Volumen beträgt $168 \text{ m}^3$.
2.2 $\blacktriangleright$ Prozentuale Abweichung ermitteln
Berechne zunächst den geforderten Flächeninhalt des Zwischenbodens. Anschließend berechnest du den Flächeninhalt der gesamten Bodenfläche und kannst anhand dieser beiden Werte die prozentuale Abweichung ermitteln. Nutze dabei zur besseren Vorstellung die Skizze in Material 2.
Dabei ergibt sich die Breite des Zwischenbodens, wie in Material 2 zu erkennen ist, als Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel.
1. Schritt: Flächeninhalt des Zwischenbodens berechnen
Die Fläche des Zwischenbodens hat die Form eines Rechtecks. Also benötigst du die Breite und die Länge.
Die Breite erhälst du wie oben beschrieben, indem du den Betrag der Schnittstelle der Gerade $y=1$ mit der Parabel ermittelst.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Um die Schnittstelle der Geraden $y=1$ mit der Funktion $p$ zu bestimmen, setzt du die zwei Funktionsterme gleich. Die Gleichung kannst du mit dem solve-Befehl lösen.
Beachte, dass der Zwischenboden in der Skizze in der rechten Hälfte liegt, also der Schnittpunkt mit positiver $x$-Koordinate gesucht ist.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Somit ist $x_1 \approx 2,86$ die gesuchte $x$-Koordinate. Die Breite erhältst du nun durch
$2,86 \text{ m} - 0 \text{ m} = 2,86 \text{ m}$.
Da die Länge des Foliengewächshauses und damit auch des Zwischenbodens in der Aufgabenstellung mit $12 \text{ m}$ angegeben ist, folgt für den Flächeninhalt des Zwischenbodens:
$A_{\text{Zwischenboden}} = 2,86 \text{ m} \cdot 12 \text{ m} \approx 34,3 \text{ m}^2$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Bestimme die Schnittstelle von der Parabel und der Gerade $y=1$:
$\begin{array}{rll} p(x) \stackrel{!}=& 1 \\[5pt] -\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +3 &= 1 &\scriptsize \mid \ -1 \\[5pt] -\dfrac{12}{49} \cdot x^2 +2 &= 0 &\scriptsize \mid \ \cdot \left( -\dfrac{49}{12}\right) \\[5pt] x^2 -\dfrac{49}{6} &= 0 &\scriptsize \mid \ \text{pq-Formel} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \sqrt{\dfrac{49}{6}} \\[5pt] x_{1,2} &= \pm \dfrac{7}{\sqrt{6}} \end{array}$
Da der Zwischenboden in der Skizze in der rechten Hälfte liegt, ist $x_1 = \dfrac{7}{\sqrt{6}}$ die gesuchte $x$-Koordinate. Die Breite erhältst du nun durch
$\dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} - 0 \text{ m} = \dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} \approx 2,86 \text{ m}$.
Da die Länge des Foliengewächshauses und damit auch des Zwischenbodens in der Aufgabenstellung mit $12 \text{ m}$ angegeben ist, folgt für den Flächeninhalt des Zwischenbodens:
$A_{\text{Zwischenboden}} = \dfrac{7}{\sqrt{6}} \text{ m} \cdot 12 \text{ m} = \dfrac{7 \cdot 2 \cdot 6}{\sqrt{6}} \text{ m}^2 = 14 \cdot \sqrt{6} \text{ m}^2 \approx 34,3 \text{ m}^2$.
2. Schritt: Flächeninhalt der Bodenfläche der Gewächshaushälfte berechnen
Du hast sowohl die Länge $12 \text{ m}$ als auch die Breite $3,5 \text{ m}$ der Bodenfläche gegeben.
Damit ergibt sich für den Flächeninhalt:
$A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}=12 \text{ m} \cdot 3,5 \text{ m} = 42 \text{ m}^2$
3. Schritt: Prozentuale Abweichung berechnen
Setze zunächst $A_{\text{Zwischenboden}}$ in Verhältnis zu $A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}$:
$\dfrac{A_{\text{Zwischenboden}}}{A_{\text{Bodenfläche der Gewächshaushälfte}}} = \dfrac{34,3 \text{ m}^2}{42 \text{ m}^2} \approx 0,82$
Somit weißt du nun, dass der Zwischenbodenflächeninhalt nur ca. $82 \text{ %}$ der Hälfte der Bodenfläche misst. Also ist der Zwischenboden etwa $100\text{ %} - 82\text{ %} = 18 \text{ %}$ kleiner als die Bodenfläche dieser Gewächshaushälfte.
3. $\blacktriangleright$ Term erläutern
Hier sollst du den Aufbau und die Bedeutung von folgendem Term erklären:
$12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx$
Zusätzlich weißt du, dass die Länge $L$ eines Graphen einer differenzierbaren Funktion zwischen zwei Punkten $A$ und $B$ mit dieser Formel berechnet wird:
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Betrachte diesen Formel und überlege dir, in welchem Zusammenhang dieser mit dem Term steht.
Das Integral entspricht dabei der Formel zur Berechnung der Länge der Graphen zwischen dem Maxima an der Stelle $x=0$ und der Nullstelle $x=3,5$. Dies erkennst du, wenn du die Ableitung $p'$ in die Formel einsetzt.
Ableitung $\boldsymbol{p'}$
$\begin{array}[t]{rll} p(x)&=&-\dfrac{12}{49}x^2+3 \\[5pt] p'(x)&=&-\dfrac{12}{49}x\cdot 2\\[5pt] p'(x)&=&-\dfrac{24}{49}x \end{array}$
Einsetzen in die Formel zur Berechnung von $L$ ergibt:
$\begin{array}[t]{rll} L&=& \displaystyle\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\;\mathrm dx \\[5pt] &=&\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+\left(-\dfrac{24}{49}x\right)^2}\;\mathrm dx &=&\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+0,24x^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Die $12$ in dem Term entspricht der Länge des Gewächshauses. Multipliziert du diese mit dem Integral, so erhältst du die halbe Fläche des Gewächshausdaches.
Damit du die komplette Fläche des Daches erhältst, wird noch mit $2$ multipliziert.
Mit dem Term kann du also die Fläche des Gewächshausdaches berechnen.
4.
4.1 $\blacktriangleright$ Funktion $\boldsymbol{g}$ bestimmen
Das Gewächshaus soll nun eine elliptische Form erhalten. Die Höhe und Breite des Gewächshauses bleiben dabei unverändert.
Eine Funktion des oberen Ellipsenbogens hat folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} y(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2} \end{array}$
Dabei entspricht das $b$ der Höhe des Gewächshauses und das $a$ der Breite.
Um eine Funktion $g$ für das Profil des Gewächshauses zu bestimmen, setzt du die Höhe $b=3\,\text{m}$ und die Breite $a=3,5\,\text{m}$ in die Gleichung für den oberen Ellipsenbogen ein.
$\begin{array}[t]{rll} y(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2} \\[5pt] g(x)&=&\dfrac{3}{3,5}\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}\\[5pt] g(x)&=&\dfrac{6}{7}\cdot\sqrt{12,25-x^2} \end{array}$
Die Funktion $g$ lautet: $g(x)=\dfrac{6}{7}\cdot\sqrt{12,25-x^2}$
$\blacktriangleright$  Funktion $\boldsymbol{g}$ skizzieren
Um die Funktion $g$ im Material 2 skizzieren zu können, kannst du dir mit dem CAS eine Wertetabelle anzeigen lassen.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Nun kannst du den Graphen von $g$ skizzieren.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
4.2 $\blacktriangleright$ Höhenreduzierung ermitteln
Damit der Mehrverbrauch an Folie auf $5\,\%$ mit der neuen Bedachung beschränkt wird, soll die Höhe des Gewächshauses reduziert werden. Die Länge und Breite bleiben gleich.
Damit du dies berechnen kannst, musst du zunächst wissen wie groß die Fläche des neues Daches werden darf. Die neue Fläche darf um $5\,\%$ größer sein als die alte. Die Fläche des alten Daches kannst du mit dem Term aus Aufgabe 3 berechnen.
Um die Fläche des neuen Daches zu berechnen, brauchst du eine Gleichung, die den oberen Ellipsenbogen in Abhängigkeit der Höhe $b$. Diese hast du in Material 3 gegeben. Da die Breite $a$ unverändert bleibt, kannst du diese in die Gleichung einsetzen. Du erhältst folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&\dfrac{b}{a}\cdot\sqrt{a^2-x^2}\\[5pt] &=& \dfrac{b}{3,5}\cdot\sqrt{3,5^2-x^2}\\[5pt] &=& \dfrac{b}{3,5}\cdot\sqrt{12,25-x^2} \end{array}$
Du kannst nun so vorgehen:
  1. Berechne wie groß die neue Fläche sein darf
  2. Setze die Formel zur Berechung der neuen Fläche mit diesem Wert gleich und löse nach der Höhe $b$ auf
  3. Berechne die Höhendifferenz
1. Schritt: Größe der neuen Fläche
Berechne mit dem Term aus Aufgabe 3 die alte Fläche. Da die neue Fläche um $5\,\%$ größer sein darf, multiplizierst du dann den Wert mit $1,05$.
A2 -  Analysis
A2 -  Analysis
Die neue Fläche darf etwa $121\,\text{m}$ groß sein.
2. Schritt: Gleichsetzen
Die neue Fläche berechnest du so:
$\begin{array}[t]{rll} \text{neue Fläche}&=&12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx \end{array}$
Setze diesen Term mit der neuen Fläche gleich und löse nach $b$ auf. Dies kannst du mit deinem CAS berechnen. Definiere zunächst die Funktion $g$ und bilde die erste Ableitung $g'$. Löse dann die Gleichung $12\cdot2\cdot\displaystyle\int_{0}^{3,5}\sqrt{1+(g'(x))^2}\;\mathrm dx=121$.
Dein CAS liefert dir das Ergebnis $b=2,9$.
Die neue Höhe darf etwa $2,9\,\text{m}$ hoch sein, damit der Mehrverbrauch nur $5\,\%$ beträgt.
3. Schritt: Höhendifferenz berechnen
Bilde nun die Differenz der alten und neuen Höhe.
$3\,\text{m}-2,9\,\text{m}=0,1\,\text{m}$
Die notwendige Höhenreduzierung beträgt etwa $0,1\,\text{m}$.
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