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A1 - Analysis

Aufgaben
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1.
Gegeben sind die Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)=k\cdot t\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{k}\cdot t}$ mit $k\geq1$.
1.1
Beschreibe den Einfluss des Parameters $k$ auf die Kurvenverläufe.
(5P)
#exponentialfunktion
$\,$
1.2
Bestimme die Hochpunkte und Wendepunkte der Graphen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$ und begründe anhand der entsprechenden Ableitungsterme, dass alle Graphen jeweils nur einen Hochpunkt und einen Wendepunkt besitzen.
Hinweis: Für die Bestimmung der Wendepunkte ist die Überprüfung der notwendigen Bedingung ausreichend.
(7P)
#wendepunkt#extrempunkt
$\,$
1.3
In einem Fachgeschäft wird eine Werbeaktion für ein spezielles Smartphone durchgeführt. Die täglichen Verkaufszahlen lassen sich näherungsweise durch die Funktion $f_{15}$ mit $f_{15}(t)=15\cdot t\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t}$ beschreiben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Tagen nach Beginn der Werbeaktion und $f_{15}(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Bestimme den Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones (pro Tag) verkauft werden, sowie die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an diesem Tag. Erläutere die Bedeutung der Wendestelle von $f_{15}$ im Sachzusammenhang.
(4P)
#exponentialfunktion
Im Folgenden werden die jährlichen Verkaufszahlen von Smartphones in einem Land mit 80 Millionen Einwohnern in den Jahren 2008 bis 2013 betrachtet. Hierzu wird das Jahr 2008 als Startzeitpunkt $(t=0)$ angenommen. Der Wert $t$ beschreibt die Zeit in Jahren nach 2008. Für das Jahr 2012 gilt beispielsweise $t=4$.
2.
Die Entwicklung der Verkaufszahlen von Smartphones in den Jahren 2008 bis 2013 ist in Material 1 angegeben.
2.1
Zeige, dass die Entwicklung der Verkaufszahlen von Smartphones in diesem Zeitraum annähernd exponentiell verlief.
(2P)
#exponentielleswachstum
$\,$
2.2
Ermittle durch Regression die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $v$ der Form $v(t)=a\cdot b^t$ , welche die Verkaufszahlen von Smartphones modelliert ($t$: Zeit in Jahren nach 2008, $v(t)$ : Anzahl verkaufter Smartphones in Millionen Stück pro Jahr).
(3P)
#regression
3.
Im Folgenden wird die Entwicklung der jährlichen Verkaufszahlen der Smartphones durch die Funktion $g$ mit $g(t)=5\cdot\mathrm e^{0,347\cdot t}$ modelliert ($t$ : Zeit in Jahren nach 2008, $g(t)$ : Anzahl verkaufter Smartphones in Millionen Stück pro Jahr).
3.1
Skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$ im Intervall $[-0,5;\;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2.
(3P)
#graph
$\,$
3.2
Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[0;\;5]$ einschließt, und deute den Wert im Sachzusammenhang.
(4P)
$\,$
3.3
Bestimme unter Verwendung von Material 1 die Gesamtzahl der in den Jahren 2008 bis einschließlich 2013 tatsächlich verkauften Smartphones. Vergleiche diesen Wert mit dem Ergebnis aus Aufgabe 3.2 und erkläre die Abweichung. Erläutere, wie durch Modifikation des Integrals aus Aufgabe 3.2 ein besseres Ergebnis erzielt werden kann, und gib eine Modifikation an.
(7P)
#integral
$\,$
3.4
Bestimme mithilfe der Modellierungsfunktion $g$ die zu erwartenden Verkaufszahlen von Smartphones im Jahr 2030 in diesem Land.
Beurteile diesen Wert sowie die Güte der Modellierung.
(5P)

Material

Jahr200820092010201120122013
$t$ in Jahren
nach 2008
012345
Verkaufszahlen
in Millionen
Stück pro Jahr
5,007,1010,014,220,128,6
Material 1
$t$ in Jahren
nach 2008
Verkaufszahlen
in Millionen
Stück pro Jahr
200805,00
200917,10
2010210,0
2011314,2
2012420,1
2013528,6
Material 1
Bildnachweise [nach oben]
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Tipps
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1.1
$\blacktriangleright$ Den Einfluss des Parameters $k$ auf Kurvenverläufe beschreiben
Bei dieser Aufgabe hast du eine Funktionenschar gegeben. Dabei ist $t$ die veränderlichen Variable und $k$ eine Zahl $\geq 1$.
Deine Aufgabe ist es nun verschiedene Werte für $k$ in die Funktion einzusetzen, die sich ergebenden Graphen zu betrachten und zu beschreiben, wie sich die Funktionen mit sich veränderndem $k$ verhalten. Achte dabei darauf für $k$ keine Werte $<1$ einzusetzen.
1.2
$\blacktriangleright$ Hochpunkte in Abhängigkeit von $k$ bestimmen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du die Hochpunkte in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmen.
Um den Hochpunkt $\left(t_H \mid f_k(t_H)\right)$ des Graphen der Funktion $f_k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_k'(t_H) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k''(t_H) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $k$ an der Stelle $t_H$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Definiere in deinem CAS den Funktionsterm von $f_k$ und die erste Ableitung. Überprüfe dann die notwendige Bedingung mit dem solve-Befehl.
Überprüfe nun mit der hinreichenden Bedingung, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Definiere dazu die zweite Ableitung $f_k''$ in deinem CAS und berechne sie an der potentiellen Extremstelle.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Um einen Hochpunkt $\left(t_H \mid k(t_H)\right)$ einer Funktion $f_k$ per Hand zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendiges Kriterium: $f_k'(t_H) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k''(t_H) < 0$ $\Rightarrow$ Hochpunkt des Graphen von $f_k$ an der Stelle $t_H$.
Überprüfe also, ob die erste Ableitung $f_k'$ eine Nullstelle besitzt (Notwendiges Kriterium) und welches Vorzeichen die zweite Ableitung $f_k''$ an der Nullstelle besitzt (Hinreichende Bedingung).
$\blacktriangleright$ Wendepunkte bestimmen
Um einen Wendepunkt $\left(t_W \mid f_k(t_W)\right)$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_k''(t_W) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k'''(t_W) \neq 0$
In der Aufgabenstellung wird nur die Überprüfung der notwendigen Bedingung gefordert. Es reicht also aus zu prüfen, ob die zweite Ableitung $f_k''$ eine Nullstelle besitzt (Notwendige Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Die zweite Ableitung $f_k''$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze diese gleich Null und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.
Da die Überprüfung der hinreichenden Bedingung nicht gefordert wird, kannst du den Wert direkt in den Funktionsterm von $f_k$ einsetzen, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes des Graphen zu erhalten.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Die zweite Ableitung $f_k''$ hast du bereits berechnet. Um diese nun auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du die Funktionsgleichung gleich Null.
In der Aufgabenstellung wird das Überprüfen der hinreichenden Bedingung für die Bestimmung des Wendepunktes nicht gefordert. Du kannst nun direkt die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$ des Graphen von $f_k$ bestimmen.
$\blacktriangleright$ Erklären warum es nur einen Hoch- und Wendepunkt gibt
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du mithilfe der entsprechenden Ableitungsterme erklären warum alle Graphen jeweils nur einen Hoch- und Wendepunkt haben. Zur Berechnung des Hochpunkts, hast du die erste Ableitung $f_k'=\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t)$ gebildet und gleich Null gesetzt, um die $t_H$-Koordinate zu berechnen. Dabei hast du den Satz vom Nullpunkt verwendet, der besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Überlege dir nun wie viele Nullstellen unter diesen Umständen möglich sind und baue darauf deine Erklärung auf.
Analog lautet die Begründung für die Existenz nur eines Wendepunktes. Zur Berechnung des Wendepunkts hast du die zweite Ableitung $f_k''(t)=(\frac{t}{k}-2) \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ gleich Null gesetzt und mit Hilfe des Satzes vom Nullpunkt die Nullstelle berechnet. Überlege dir nun wie viele Nullstellen unter diesen Umständen möglich sind und baue darauf deine Erklärung auf.
1.3
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der maximalen Verkaufszahl bestimmen
Im ersten Teil dieser Aufgabe wird der Tag nach Beginn der Werbeaktion gesucht, an dem die meisten Smartphones verkauft werden. Dabei wird die tägliche Entwicklung der Verkaufszahlen durch die Funktion
$f_{15}(t)=15 \cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15} \cdot t}$
beschrieben, wobei $t$ für die Anzahl der Tage steht, die seit Beginn der Werbeaktion vergangen sind und $f_{15}(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $f_{15}(t)$.
$\blacktriangleright$ Anzahl der verkauften Smartphones berechnen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an dem Tag bestimmen, an dem die meisten Geräte verkauft werden. Aus dem ersten Teil weißt du bereits, dass es sich dabei um den 15. Verkaufstag nach Start der Werbeaktion handelt, indem du den Parameter $k$ in den Koordinaten des Hochpunkts durch $15$ ersetzt hast. Es ist also der Funktionswert von $f_{15}$ an der Stelle $t=15$ gesucht.
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Wendestelle von $f_{\text{15}}$ im Sachzusammenhang erklären
Die Wendestelle ist die Stelle, an der die Steigung der Funktion am größten oder kleinsten ist.
2.1
$\blacktriangleright$ Exponentiellen Verlauf der Verkaufszahlen zeigen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du zeigen, dass die Verkaufszahlen der Smartphones im Zeitraum von 2008 bis 2013 exponentiell wachsen. Das Wachstum soll sich also durch eine Exponentialgleichung beschreiben lassen. Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor. Bilde die Quotienten von jeweils zwei aufeinander folgenden Jahren, um diesen Faktor zu bestimmen und damit zu zeigen, dass er überall gleich ist.
2.2
$\blacktriangleright$ Exponentialgleichung durch Regression bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du eine Gleichung aufstellen, die das Wachstum der Verkaufszahlen zwischen den Jahren 2008 und 2013 beschreibt. Da es sich um ein exponentielles Wachstum handelt, muss diese Gleichung eine Exponentialgleichung der Form
$v(t)=a\cdot b^{t}$
sein. Dabei steht $v(t)$ für den Bestand nach $t$ Zeitschritten, $a$ für den Anfangsbestand (also den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$), $b$ für den Wachstumsfaktor und $t$ für den jeweils betrachteten Zeitschritt. Diese Parameter kannst du mithilfe deines CAS bestimmen. Gebe dazu die Werte aus Material 1 in eine Tabelle ein und führe eine exponentielle Regression durch. Anschließend erhältst du die Werte der Parameter $a$ und $b$. Setze diese in die allgemeine Form der Exponentialgleichung ein.
3.1
$\blacktriangleright$ Verlauf des Funktionsgraphen $g$ zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$ im Intervall $[-0,5;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2 skizzieren.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Erstelle mithilfe deines CAS eine Wertetabelle und lese die zu den $x$-Werten zwischen $-0,5$ und $5,5$ gehörenden $y$-Werte ab. Indem du einige dieser Punkte in das Material 2 einträgst und sie verbindest, erhältst du den Funktionsgraphen von $g$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Bestimme dazu einige Punkte der Funktion, indem du ausreichend viele Zeitpunkte $t$ in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert $g(t)$ berechnest. Danach verbindest du diese Punkte miteinander und erhältst so den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$.
3.2
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche zwischen $g$ und $t$-Achse bestimmen
Zunächst sollst du den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[0;5]$ einschließt, bestimmen. Dazu musst du die Funktion $g(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Gebe den Funktionsterm von $g$ in deinen CAS ein. Bestimme dann das geforderte Integral mithilfe deines CAS.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Integriere die Funktion $g(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$.
$\blacktriangleright$ Wert des Integrals im Sachzusammenhang deuten
Jetzt sollst du noch erklären, was das Integral im vorliegenden Fall konkret zu bedeuten hat.
3.3
$\blacktriangleright$ Gesamtzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen
Im ersten Teil sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die Anzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen. Dazu summierst du alle Verkaufszahlen in diesen Jahren auf.
$\blacktriangleright$ Diesen Wert mit dem Ergebnis aus 3.2 vergleichen und Abweichung erklären
In Aufgabe 3.2 hast du allerdings mittels des Integrals einen anderen Wert ausgerechnet. Deshalb sollst du im zweiten Teil erklären, warum es diesen Unterschied gibt.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals erklären
Um ein wahrheitsgetreueres Ergebnis zu erhalten, musst du also das Integral modifizieren. Entsprechend sollst du im letzten Teil der Aufgabe erklären, wie es durch eine Anpassung des Integrals zu einem besseren Ergebnis kommt und dieses angeben.
3.4
$\blacktriangleright$ Mithilfe von $\boldsymbol{g}$ die zu erwartenden Verkaufszahlen im Jahr 2030 berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst die im Jahr 2030 zu erwartenden Verkaufszahlen mit Hilfe der Funktion $g(t)$ berechnen. Dazu musst du bestimmen, welchem Zeitschritt $t$ das Jahr 2030 entspricht und danach das erhaltene $t$ in $f(t)$ einsetzen.
$\blacktriangleright$ Wert und die Güte der Modellierung beurteilen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du diesen Wert und die Güte der Modellierung beurteilen. Damit ist gemeint, dass du beurteilen sollst, wie realistisch das Ergebnis ist und wie gut die Funktion $g$ die tatsächliche Verkaufszahlenentwicklung beschreibt.
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1.1
$\blacktriangleright$ Den Einfluss des Parameters $k$ auf Kurvenverläufe beschreiben
Bei dieser Aufgabe hast du eine Funktionenschar gegeben. Dabei ist $t$ die veränderliche Variable und $k$ eine Zahl $\geq 1$.
Deine Aufgabe ist es nun verschiedene Werte für $k$ in die Funktion einzusetzen, die sich ergebenden Graphen zu betrachten und zu beschreiben, wie sich die Funktionen mit sich veränderndem $k$ verhalten. Achte dabei darauf für $k$ keine Werte $<1$ einzusetzen.
Speichere zunächst die gegebene Funktion $f_k$ in deinem CAS ab:
A1 - Analysis
Abb. 1: Definition Funktionenschar
A1 - Analysis
Abb. 1: Definition Funktionenschar
Lass dir danach die Graphen einiger Funktionen mit verschiedenen Werten für $k$ auf dem CAS zeichnen
A1 - Analysis
Abb. 2: Graphen der Funktionenschar
A1 - Analysis
Abb. 2: Graphen der Funktionenschar
und beschreibe, was du siehst.
In diesem Fall werden die Kurven mit wachsendem $k$ bis zum Hochpunkt höher und steiler. Je größer $k$ wird, desto langsamer nähern sich die Graphen asymptotisch an die $x$-Achse an.
#funktionenschar
1.2
$\blacktriangleright$ Hochpunkte in Abhängigkeit von $k$ bestimmen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du die Hochpunkte in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmen.
Um den Hochpunkt $\left(t_H \mid f_k (t_H)\right)$ des Graphen der Funktion $f_k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_k'(t_H) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k''(t_H) < 0$
Bilde die ersten beiden Ableitungen von $f_k$ umd prüfe ob $f_k'$ eine Nullstelle besitzt (notwendige Bedingung). Prüfe anschließend welches Vorzeichen $f_k''$ besitzt (hinreichende Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Definiere in deinem CAS den Funktionsterm von $f_k$ und die erste Ableitung. Überprüfe dann die notwendige Bedingung mit dem solve-Befehl.
A1 - Analysis
Abb. 3: 1. Ableitung
A1 - Analysis
Abb. 3: 1. Ableitung
Du erhältst eine potentielle Extremstelle bei $t=k$.
Überprüfe nun mit der hinreichenden Bedingung, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Definiere dazu die zweite Ableitung $f_k''$ in deinem CAS und berechne $f_k''(k)$.
A1 - Analysis
Abb. 4: 2. Ableitung an der Stelle $t=k$
A1 - Analysis
Abb. 4: 2. Ableitung an der Stelle $t=k$
Da $-e^{-1}<0$ ist, handelt es sich um eine Maximalstelle. Setze nun den Wert $t=k$ in den Funktionsterm von $f_k$ ein, um die $y$-Koordinate des Hochpunkts des Graphen zu berechnen.
A1 - Analysis
Abb. 5: $y$-Koordinate des Hochpunkts
A1 - Analysis
Abb. 5: $y$-Koordinate des Hochpunkts
Der Graph von $f_k$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(k \mid k^2 \cdot e^{-1})$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: 1. und 2. Ableitung von $f_k$ bilden
Die ersten beiden Ableitungen $f_k'$ und $f_k''$ kannst du mithilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_k'&=& k \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} - \frac{1}{k} \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot k \cdot t &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t) \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k'&=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t)\\ \end{array} $
$\begin{array}[t]{rll} f_k''&=& -\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} - \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} + \frac{t}{k} \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& -2 \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} + \frac{t}{k} \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (\frac{t}{k}-2) \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k''&=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (\frac{t}{k}-2) \end{array} $
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(t)&=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_k'(t)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \mathrm{e^{\frac{-t}{k}} }\cdot (k-t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{\frac{-t}{k}} > 0 \text{ ist, betrachte noch }(k-t)\; \\[5pt] (k-t)&=& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] t&=& k \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k'(t)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] t&=& k \end{array} $
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze nun $t=k$ in $f_k''(t)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(k)&=& (\frac{k}{k}-2) \cdot \mathrm{e^{\frac{-k}{k}}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& (1-2) \cdot \mathrm{e^{-1}}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& -\mathrm{e^{-1}} < 0 \end{array}$
Damit besitzt die Funktion $k$ an der Stelle $t=k$ ein Maximum.
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts $H$ des Graphen von $f_k$ zu bestimmen, setzt du $t=k$ in $f_k$ ein:
$f_k(k)=k \cdot k \cdot \mathrm{e^{\frac{-k}{k}}} = k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}}$
Der Graph von $k$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(k \mid k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$.
$\blacktriangleright$ Wendepunkte bestimmen
Um einen Wendepunkt $W(t_W \mid f_k(t_W))$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_k''(t_{\text{W}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k'''(t_{\text{W}}) \neq 0$
In der Aufgabenstellung wird nur die Überprüfung der notwendigen Bedingung gefordert. Es reicht also aus zu prüfen, ob die zweite Ableitung $f_\mbox{k}''$ eine Nullstelle besitzt (Notwendige Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Die zweite Ableitung $f_k''$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze diese gleich Null und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.
A1 - Analysis
Abb. 6: Nullsetzen der 2. Ableitung
A1 - Analysis
Abb. 6: Nullsetzen der 2. Ableitung
Da die Überprüfung der hinreichenden Bedingung nicht gefordert wird, kannst du den Wert $t=2k$ direkt in den Funktionsterm von $f_k$ einsetzen, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes des Graphen zu erhalten.
A1 - Analysis
Abb. 7: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
A1 - Analysis
Abb. 7: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
Der Graph von $f_k$ hat einen Wendepunkt $W$ mit den Koordinaten $W(2k\mid 2k^2 \cdot \mathrm{e^2})$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die zweite Ableitung $f_\mbox{k}''$ hast du bereits berechnet. Um diese nun auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du den Funktionsterm gleich Null.
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(t)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot \left( \frac{t}{k} - 2 \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{\frac{-t}{k}} > 0 \text{ ist, betrachte noch } \left( \frac{t}{k}-2 \right). \scriptsize \; \\[5pt] \frac{t}{k}-2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \frac{t}{k}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] t&=& 2k \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k''(t)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot \left( \frac{t}{k} - 2 \right)&=& 0 \\[5pt] t&=& 2k \end{array} $
2. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes berechnen
In der Aufgabenstellung wird das Überprüfen der hinreichenden Bedingung für die Bestimmung des Wendepunktes nicht gefordert. Du kannst nun direkt die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$ des Graphen von $f_\mbox{k}$ bestimmen. Dazu setzt du $t=2k$ in $f_\mbox{k}$ ein:
$f_k (2k)=k \cdot 2k \cdot \mathrm{e^{\frac{-2k}{k}}} = 2k^2 \cdot \mathrm{e^{-2}}$
Der Graph von $f_k$ besitzt also im Punkt $W \left( 2k \mid 2k^2 \cdot \mathrm{e^{-2}} \right)$ einen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$ Erklären warum es nur einen Hoch- und Wendepunkt gibt
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du mithilfe der entsprechenden Ableitungsterme erklären, warum alle Graphen jeweils nur einen Hoch- und Wendepunkt haben. Zur Berechnung der Koordinaten des Hochpunkts, hast du die erste Ableitung $f_k'=\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t)$ gebildet und gleich Null gesetzt, um die Nullstellen zu bestimmen und damit die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums zu prüfen. Dabei hast du den Satz vom Nullpunkt verwendet, der besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Da der Faktor $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ mit $k\geq 1$ für jedes $t$ größer als Null ist, kann nur noch der Faktor $(k-t)$ Null werden. Somit gibt es genau eine Nullstelle, die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums bei $t=k$ ist erfüllt.
Analog lautet die Begründung für die Existenz nur eines Wendepunktes. Zur Berechnung des Wendepunkts hast du die zweite Ableitung $f_k''(t)= \left( \frac{t}{k}-2 \right) \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ gleich Null gesetzt und mit Hilfe des Satzes vom Nullpunkt die Nullstelle berechnet. Da der Faktor $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ mit $k\geq 1$ für jedes $t$ größer Null ist, kann nur noch der Faktor $\left( \frac{t}{k}-2 \right)$ Null werden. Dieser Faktor hat ebenfalls nur eine Nullstelle (die notwendige Bedingung ist also auch hier erfüllt). Somit kann es nur jeweils einen Wendepunkt geben.
#ableitung#extrempunkt#wendepunkt
1.3
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der maximalen Verkaufszahl bestimmen
Im ersten Teil dieser Aufgabe wird der Tag nach Beginn der Werbeaktion gesucht, an dem die meisten Smartphones verkauft werden. Dabei wird die tägliche Entwicklung der Verkaufszahlen durch die Funktion
$f_{15}(t)=15 \cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15} \cdot t}$
beschrieben, wobei $t$ für die Anzahl der Tage steht, die seit Beginn der Werbeaktion vergangen sind und $f_{15}(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $f_{15}(t)$.
In Aufgabe 1.2 hast du bereits den Hochpunkt der Funktion $f_k$ in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmt. Die im Aufgabenteil 1.3 gegebene Funktion $f_{15}$ entspricht $f_k$ mit $k=15$. Die Koordinaten des Hochpunkts von $f_k$ hast du zu $H(k\mid k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$ berechnet. Um das gesuchte Maximum zu erhalten, musst du den Paramter $k$ durch $15$ ersetzen: $H(15\mid 15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$.
Die meisten Smartphones werden also am Tag 15 nach Beginn der Werbeaktion verkauft.
$\blacktriangleright$ Anzahl der verkauften Smartphones berechnen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an dem Tag bestimmen, an dem die meisten Geräte verkauft werden. Aus dem ersten Teil weißt du bereits, dass es sich dabei um den 15. Verkaufstag nach Start der Werbeaktion handelt, indem du den Parameter $k$ in den Koordinaten des Hochpunkts durch $15$ ersetzt hast. Es ist also der Funktionswert von $f_{\text{15}}$ an der Stelle $t=15$ gesucht.
Der gesuchte Funktionswert entspricht gerade der $y$-Koordinate des Hochpunkts $15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}} \approx 82,77$.
Am 15. Tag werden etwa 83 Smartphones verkauft.
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Wendestelle von $f_{\text{15}}$ im Sachzusammenhang erklären
Die Wendestelle ist die Stelle, an der die Steigung der Funktion am größten oder kleinsten ist. Diese befindet sich bei $t=30$ im fallenden Bereich der Funktion $f_{\text{15}}$. Zum Zeitpunkt $t=30$ ist der Rückgang der Verkaufszahlen folglich am stärksten.
#extrempunkt
2.1
$\blacktriangleright$ Exponentiellen Verlauf der Verkaufszahlen zeigen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du zeigen, dass die Verkaufszahlen der Smartphones im Zeitraum von 2008 bis 2013 exponentiell wachsen. Das Wachstum soll sich also durch eine Exponentialgleichung beschreiben lassen. Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor. Bilde die Quotienten von jeweils zwei aufeinander folgenden Jahren, um diesen Faktor zu bestimmen und damit zu zeigen, dass er überall gleich ist.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{7,10}{5,00}&=1,42& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{10,0}{7,10}&\approx 1,41& \scriptsize \\[5pt] \frac{14,2}{10,0}&= 1,42& \scriptsize \\[5pt] \frac{20,1}{14,2}&\approx 1,42& \scriptsize \\[5pt] \frac{28,6}{20,1}&\approx 1,42& \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Im Mittel ergibt sich ein Faktor von $1,42$.
#exponentialfunktion
2.2
$\blacktriangleright$ Exponentialgleichung durch Regression bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du eine Gleichung aufstellen, die das Wachstum der Verkaufszahlen zwischen den Jahren 2008 und 2013 beschreibt. Da es sich um ein exponentielles Wachstum handelt, muss diese Gleichung eine Exponentialgleichung der Form
$v(t)=a\cdot b^{t}$
$v(t)=a\cdot b^{t}$
sein. Dabei steht $v(t)$ für den Bestand nach $t$ Zeitschritten, $a$ für den Anfangsbestand (also den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$), $b$ für den Wachstumsfaktor und $t$ für den jeweils betrachteten Zeitschritt. Diese Parameter kannst du mithilfe deines CAS bestimmen.
Gebe im 4:Lists&Spreadsheet-Menu die Werte aus Material 1 in die Tabelle ein:
A1 - Analysis
Abb. 8: Wertetabelle
A1 - Analysis
Abb. 8: Wertetabelle
Wähle anschließend im Menu den 4. Reiter 4:Statistik aus und führe eine exponentielle Regression durch. Benenne dabei die X-Liste als a[] und die Y-Liste als b[].
A1 - Analysis
Abb. 9: exponentielle Regression
A1 - Analysis
Abb. 9: exponentielle Regression
Bestätige die Auswahl mit OK und lese die Werte für die Parameter $a$ und $b$ aus der Tabelle ab:
A1 - Analysis
Abb. 10: Parameter $a$ und $b$
A1 - Analysis
Abb. 10: Parameter $a$ und $b$
Du erhältst folgende Werte:
$\begin{array}[t]{rll} a&=&4,99796 \approx 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&1,4167 \approx 1,42 \end{array}$
Die geforderte Gleichung lautet also:
$v(t) = 5 \cdot 1,42^{t}$
#regression
3.1
$\blacktriangleright$ Verlauf des Funktionsgraphen $g$ zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$ im Intervall $[-0,5;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2 skizzieren.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Gebe in deinem CAS im 4:Lists&Spreadsheet-Menu die Werte von $t$ unter A ein. Füge anschließend die Funktionsvorschrift unter B ein. Das CAS berechnet nun die zu dem jeweiligen $t$ gehörenden $y$-Werte zwischen $-0,5$ und $5,5$:
A1 - Analysis
Abb. 11: Wertetabelle von $g$
A1 - Analysis
Abb. 11: Wertetabelle von $g$
Indem du diese Punkte in Material 2 einträgst und und die Punkte verbindest, erhältst du den Funktionsgraphen von $g$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Bestimme dazu die Koordinaten einiger Punkte des Graphen der Funktion, indem du ausreichend viele Zeitpunkte $t$ in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert $g(t)$ berechnest. Danach verbindest du diese Punkte miteinander und erhältst so den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$.
Beispiel: $\begin{array}[t]{rll} t&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(4)&=& 5 \cdot e^{0,347}\cdot 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(4)&\approx& 20,03 \end{array}$
Damit ist $(4 \mid 20,03)$ ein Punkt der Funktion $f$.
A1 - Analysis
Abb. 12: Säulendiagramm mit Graph
A1 - Analysis
Abb. 12: Säulendiagramm mit Graph
#graph
3.2
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche zwischen $\boldsymbol{g}$ und $t$-Achse bestimmen
Zunächst sollst du den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[0;5]$ einschließt, bestimmen. Dazu musst du die Funktion $g(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren, also das Integral $\displaystyle \int_{0}^{5}\; 5 \cdot e^{0,347 \cdot t}\;\mathrm dt$ lösen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Gebe den Funktionsterm von $g$ in deinem CAS ein. Bestimme dann das geforderte Integral, indem du unter 4:Analysis den 2. Reiter Numerisches Integral wählst und die Integrationsgrenzen $[0;5]$ einsetzt:
A1 - Analysis
Abb. 13: Integral von $g$
A1 - Analysis
Abb. 13: Integral von $g$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt&\approx & 67,28 \; \text{[Mio.]}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Zunächst sollst du die Funktion $g(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt&=&\displaystyle\int_{0}^{5}\; 5 \cdot e^{0,347 \cdot t}\;\mathrm dt \quad \scriptsize \mid \text{konstanten Faktor vor Integral ziehen}\\[5pt] &=&5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{0,347\cdot t}\;\mathrm dt \quad \scriptsize \mid \; 0,347=\frac{347}{1.000}\; \\[5pt] &=& 5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{\frac{347}{1.000} \cdot t}\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&5\cdot \left[\frac{1.000}{347} \cdot e^{\frac{351}{1.000} \cdot t}\right]_0^5 \quad \scriptsize \mid \text{konstanten Faktor vor Klammer ziehen}\; \\[5pt] &=&5 \cdot \frac{1.000}{347}\cdot \left[e^{\frac{347}{1.000}\cdot t}\right]_0^5 &\quad \scriptsize\; \\[5pt] &=&\frac{5.000}{347}\cdot \left[e^{\frac{347}{1.000}\cdot t}\right]_0^5&\quad \scriptsize\; \\[5pt] &=&\frac{5.000}{347}\cdot \left(e^{\frac{347}{1.000}\cdot 5} - e^{\frac{347}{1.000}\cdot 0}\right) \approx 67,28\; \mathrm{[Mio.]}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Der Wert des Integrals ist $67,28 \; \text{[Mio.]}$.
$\blacktriangleright$ Wert des Integrals im Sachzusammenhang deuten
Jetzt sollst du noch erklären, was das Integral im vorliegenden Fall konkret zu bedeuten hat.
Das Integral beschreibt den Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen $t = 0$ (untere Integrationsgrenze) und $t = 5$ (obere Integrationsgrenze). Dieser Flächeninhalt ist also die Anzahl aller zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 verkauften Smartphones. Einfach ausgedrückt: Zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 wurden etwa 67,28 Mio. Smartphones verkauft.
#stammfunktion#integral
3.3
$\blacktriangleright$ Gesamtzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen
Im ersten Teil sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die Anzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen. Dazu summierst du alle Verkaufszahlen in diesen Jahren auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5 + 7,1 + 10 + 14,2 + 20,1 + 28,6&=&85&\ \text{[Mio.]} \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 5 + 7,1 + 10 $ $ + 14,2 + 20,1 + 28,6 =85\ \text{[Mio.]} $
Zwischen 2008 und 2013 wurden 85 Mio. Smartphones verkauft.
$\blacktriangleright$ Diesen Wert mit dem Ergebnis aus 3.2 vergleichen und Abweichung erklären
In Aufgabe 3.2 hast du allerdings mittels des Integrals ausgerechnet, dass es etwa 67,28 Mio. Smartphones sein müssten. Deshalb sollst du im zweiten Teil erklären, warum es diesen Unterschied gibt.
Anhand des Säulendiagramms in Material 2 siehst du, dass der Zeitpunkt $\begin{array}&t = 0\end{array}$ nicht mit dem Anfang des Jahres 2008 übereinstimmt, sondern etwa in der Mitte liegt. Das bedeutet, dass dem Integral aus 3.2 das erste Halbjahr von 2008 fehlt. Analog verhält es sich mit 2013. Somit fehlt jeweils die Hälfte der Verkaufszahlen von 2008 und 2013. Deshalb ist der mit dem Integral berechnete Wert kleiner als der tatsächliche.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals erklären
Um ein wahrheitsgetreueres Ergebnis zu erhalten, musst du also das Integral modifizieren. Entsprechend sollst du im letzten Teil der Aufgabe erklären, wie es durch eine Anpassung des Integrals zu einem besseren Ergebnis kommt und diese angeben.
Um den gesamten Zeitraum von Anfang 2008 bis Ende 2013 im Integral zu berücksichtigen, müssen die Grenzen des Integrals verändert werden. Das Jahr 2008 beginnt zum Zeitpunkt $t = -0,5$ und das Jahr 2013 endet zum Zeitpunkt $t = 5,5$. Die untere Grenze des Integrals soll also nun $-0,5$ sein, die obere Grenze $5,5$.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals angeben
Das modifizierte Integral lautet also: $\displaystyle\int_{-0,5}^{5,5}\; 5 \cdot e^{0,347 \cdot t}\mathrm dt$
#integral
3.4
$\blacktriangleright$ Mithilfe von $\boldsymbol{g}$ die zu erwartenden Verkaufszahlen im Jahr 2030 berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst die im Jahr 2030 zu erwartenden Verkaufszahlen mit Hilfe der Funktion $g(t)$ berechnen. Dazu musst du bestimmen, welchem Zeitschritt $t$ das Jahr 2030 entspricht und danach das erhaltene $t$ in $f(t)$ einsetzen.
1. Schritt: $t$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2010& \mathrel{\widehat{=}}&t = 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2030& \mathrel{\widehat{=}}&t = 22 \end{array}$
2. Schritt: $t = 22$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} g(22)&=& 5 \cdot e^{0,347 \cdot 22} \approx 10.336,5 \; \text{[Mio.]} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f(22)= 5 \cdot e^{0,347 \cdot 22}\\[5pt] \approx 10.336,5 \; \text{[Mio.]} \end{array} $
Beachte, dass das Ergebnis der Funktion $g$ in Mio. ist. Das bedeutet, dass im Jahr 2030 10.336,5 Mio. Smartphones verkauft werden müssten, was mehr als 10 Milliarden Geräten entspricht.
$\blacktriangleright$ Wert und die Güte der Modellierung beurteilen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du diesen Wert und die Güte der Modellierung beurteilen. Damit ist gemeint, dass du beurteilen sollst, wie realistisch das Ergebnis ist und wie gut die Funktion $g$ die tatsächliche Verkaufszahlenentwicklung beschreibt.
Die errechnete Verkaufszahl für 2030 von über 10 Milliarden Smartphones ist nicht plausibel, da ein Land von 80 Mio. Einwohnern betrachtet wird. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass 80 Mio. Menschen im Jahr 2030 10 Milliarden Mobilgeräte kaufen.
Zudem erfährt der Markt eine zunehmende Sättigung, wodurch die Nachfrage nach einem Produkt sinkt, ein dauerhaft exponentielles Verkaufszahlenwachstum also nicht realistisch ist.
Bildnachweise [nach oben]
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1.1
$\blacktriangleright$ Den Einfluss des Parameters $k$ auf Kurvenverläufe beschreiben
Bei dieser Aufgabe hast du eine Funktionenschar gegeben. Dabei ist $t$ die veränderliche Variable und $k$ eine Zahl $\geq 1$.
Deine Aufgabe ist es nun verschiedene Werte für $k$ in die Funktion einzusetzen, die sich ergebenden Graphen zu betrachten und zu beschreiben, wie sich die Funktionen mit sich veränderndem $k$ verhalten. Achte dabei darauf für $k$ keine Werte $<1$ einzusetzen.
Setze für $k$ jeweils unterschiedliche Werte ein und gebe die sich ergebenden Funktionen in dein CAS ein. Im vorliegenden Beispiel ist $k=1$, $k=3$ und $k=5$. Lass dir anschließend die Graphen dieser Funktionen auf dem CAS zeichnen
A1 - Analysis
Abb. 1: Graphen der Funktionenschar
A1 - Analysis
Abb. 1: Graphen der Funktionenschar
und beschreibe, was du siehst.
In diesem Fall werden die Kurven mit wachsendem $k$ bis zum Hochpunkt höher und steiler. Je größer $k$ wird, desto langsamer nähern sich die Graphen asymptotisch an die $x$-Achse an.
#funktionenschar
1.2
$\blacktriangleright$ Hochpunkte in Abhängigkeit von $k$ bestimmen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du die Hochpunkte in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmen.
Um den Hochpunkt $\left(t_H \mid f_k (t_H)\right)$ des Graphen der Funktion $f_k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_k'(t_H) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k''(t_H) < 0$
Bilde die ersten beiden Ableitungen von $f_k$ umd prüfe ob $f_k'$ eine Nullstelle besitzt (notwendige Bedingung). Prüfe anschließend welches Vorzeichen $f_k''$ besitzt (hinreichende Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Definiere in deinem CAS den Funktionsterm von $f_k$ und die erste Ableitung. Überprüfe dann die notwendige Bedingung mit dem solve-Befehl.
A1 - Analysis
Abb. 2: 1. Ableitung
A1 - Analysis
Abb. 2: 1. Ableitung
Du erhältst eine potentielle Extremstelle bei $t=k$.
Überprüfe nun mit der hinreichenden Bedingung, ob es sich tatsächlich um eine Extremstelle handelt. Definiere dazu die zweite Ableitung $f_k''$ in deinem CAS und berechne $f_k''(k)$.
A1 - Analysis
Abb. 3: 2. Ableitung an der Stelle $t=k$
A1 - Analysis
Abb. 3: 2. Ableitung an der Stelle $t=k$
Da $-e^{-1}<0$ ist, handelt es sich um eine Maximalstelle. Setze nun den Wert $t=k$ in den Funktionsterm von $f_k$ ein, um die $y$-Koordinate des Hochpunkts des Graphen zu berechnen.
A1 - Analysis
Abb. 4: $y$-Koordinate des Hochpunkts
A1 - Analysis
Abb. 4: $y$-Koordinate des Hochpunkts
Der Graph von $f_k$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(k \mid k^2 \cdot e^{-1})$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: 1. und 2. Ableitung von $f_k$ bilden
Die ersten beiden Ableitungen $f_k'$ und $f_k''$ kannst du mithilfe der Produkt- und Kettenregel bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} f_k'&=& k \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} - \frac{1}{k} \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot k \cdot t &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t) \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k'&=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t)\\ \end{array} $
$\begin{array}[t]{rll} f_k''&=& -\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} - \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} + \frac{t}{k} \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& -2 \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} + \frac{t}{k} \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (\frac{t}{k}-2) \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k''&=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (\frac{t}{k}-2) \end{array} $
2. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
$\begin{array}[t]{rll} f_k'(t)&=& \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t) &\quad \scriptsize \; \\[5pt] f_k'(t)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \mathrm{e^{\frac{-t}{k}} }\cdot (k-t)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{\frac{-t}{k}} > 0 \text{ ist, betrachte noch }(k-t)\; \\[5pt] (k-t)&=& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] t&=& k \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k'(t)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] t&=& k \end{array} $
3. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Setze nun $t=k$ in $f_k''(t)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(k)&=& (\frac{k}{k}-2) \cdot \mathrm{e^{\frac{-k}{k}}} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& (1-2) \cdot \mathrm{e^{-1}}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=& -\mathrm{e^{-1}} < 0 \end{array}$
Damit besitzt die Funktion $k$ an der Stelle $t=k$ ein Maximum.
Um die vollständigen Koordinaten des Hochpunkts $H$ des Graphen von $f_k$ zu bestimmen, setzt du $t=k$ in $f_k$ ein:
$f_k(k)=k \cdot k \cdot \mathrm{e^{\frac{-k}{k}}} = k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}}$
Der Graph von $k$ besitzt also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(k \mid k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$.
$\blacktriangleright$ Wendepunkte bestimmen
Um einen Wendepunkt $W(t_W \mid f_k(t_W))$ des Graphen von $k$ zu bestimmen, musst du Folgendes überprüfen:
  • Notwendige Bedingung: $f_k''(t_{\text{W}}) = 0$
  • Hinreichende Bedingung: $f_k'''(t_{\text{W}}) \neq 0$
In der Aufgabenstellung wird nur die Überprüfung der notwendigen Bedingung gefordert. Es reicht also aus zu prüfen, ob die zweite Ableitung $f_\mbox{k}''$ eine Nullstelle besitzt (Notwendige Bedingung).
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Die zweite Ableitung $f_k''$ hast du bereits in deinem CAS definiert. Setze diese gleich Null und löse die Gleichung mit dem solve-Befehl.
A1 - Analysis
Abb. 5: Nullsetzen der 2. Ableitung
A1 - Analysis
Abb. 5: Nullsetzen der 2. Ableitung
Da die Überprüfung der hinreichenden Bedingung nicht gefordert wird, kannst du den Wert $t=2k$ direkt in den Funktionsterm von $f_k$ einsetzen, um die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes des Graphen zu erhalten.
A1 - Analysis
Abb. 6: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
A1 - Analysis
Abb. 6: Koordinaten des Wendepunktes bestimmen
Der Graph von $f_k$ hat einen Wendepunkt $W$ mit den Koordinaten $W(2k\mid 2k^2 \cdot \mathrm{e^2})$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Die zweite Ableitung $f_\mbox{k}''$ hast du bereits berechnet. Um diese nun auf Nullstellen zu überprüfen, setzt du den Funktionsterm gleich Null.
$\begin{array}[t]{rll} f_k''(t)&\stackrel{!}{=}& 0 &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot \left( \frac{t}{k} - 2 \right)&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Nutze den Satz vom Nullprodukt. Da } \mathrm e^{\frac{-t}{k}} > 0 \text{ ist, betrachte noch } \left( \frac{t}{k}-2 \right). \scriptsize \; \\[5pt] \frac{t}{k}-2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] \frac{t}{k}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot k \\[5pt] t&=& 2k \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f_k''(t)&\stackrel{!}{=}& 0 \\[5pt] \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot \left( \frac{t}{k} - 2 \right)&=& 0 \\[5pt] t&=& 2k \end{array} $
2. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes berechnen
In der Aufgabenstellung wird das Überprüfen der hinreichenden Bedingung für die Bestimmung des Wendepunktes nicht gefordert. Du kannst nun direkt die vollständigen Koordinaten des Wendepunktes $W$ des Graphen von $f_\mbox{k}$ bestimmen. Dazu setzt du $t=2k$ in $f_\mbox{k}$ ein:
$f_k (2k)=k \cdot 2k \cdot \mathrm{e^{\frac{-2k}{k}}} = 2k^2 \cdot \mathrm{e^{-2}}$
Der Graph von $f_k$ besitzt also im Punkt $W \left( 2k \mid 2k^2 \cdot \mathrm{e^{-2}} \right)$ einen Wendepunkt.
$\blacktriangleright$ Erklären warum es nur einen Hoch- und Wendepunkt gibt
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du mithilfe der entsprechenden Ableitungsterme erklären, warum alle Graphen jeweils nur einen Hoch- und Wendepunkt haben. Zur Berechnung der Koordinaten des Hochpunkts, hast du die erste Ableitung $f_k'=\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}} \cdot (k-t)$ gebildet und gleich Null gesetzt, um die Nullstellen zu bestimmen und damit die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums zu prüfen. Dabei hast du den Satz vom Nullpunkt verwendet, der besagt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Da der Faktor $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ mit $k\geq 1$ für jedes $t$ größer als Null ist, kann nur noch der Faktor $(k-t)$ Null werden. Somit gibt es genau eine Nullstelle, die notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums bei $t=k$ ist erfüllt.
Analog lautet die Begründung für die Existenz nur eines Wendepunktes. Zur Berechnung des Wendepunkts hast du die zweite Ableitung $f_k''(t)= \left( \frac{t}{k}-2 \right) \cdot \mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ gleich Null gesetzt und mit Hilfe des Satzes vom Nullpunkt die Nullstelle berechnet. Da der Faktor $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ mit $k\geq 1$ für jedes $t$ größer Null ist, kann nur noch der Faktor $\left( \frac{t}{k}-2 \right)$ Null werden. Dieser Faktor hat ebenfalls nur eine Nullstelle (die notwendige Bedingung ist also auch hier erfüllt). Somit kann es nur jeweils einen Wendepunkt geben.
#extrempunkt#wendepunkt
1.3
$\blacktriangleright$ Zeitpunkt der maximalen Verkaufszahl bestimmen
Im ersten Teil dieser Aufgabe wird der Tag nach Beginn der Werbeaktion gesucht, an dem die meisten Smartphones verkauft werden. Dabei wird die tägliche Entwicklung der Verkaufszahlen durch die Funktion
$f_{15}(t)=15 \cdot t\cdot \mathrm e^{-\frac{1}{15} \cdot t}$
beschrieben, wobei $t$ für die Anzahl der Tage steht, die seit Beginn der Werbeaktion vergangen sind und $f_{15}(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.
Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $f_{15}(t)$.
In Aufgabe 1.2 hast du bereits den Hochpunkt der Funktion $f_k$ in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmt. Die im Aufgabenteil 1.3 gegebene Funktion $f_{15}$ entspricht $f_k$ mit $k=15$. Die Koordinaten des Hochpunkts von $f_k$ hast du zu $H(k\mid k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$ berechnet. Um das gesuchte Maximum zu erhalten, musst du den Paramter $k$ durch $15$ ersetzen: $H(15\mid 15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$.
Die meisten Smartphones werden also am Tag 15 nach Beginn der Werbeaktion verkauft.
$\blacktriangleright$ Anzahl der verkauften Smartphones berechnen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an dem Tag bestimmen, an dem die meisten Geräte verkauft werden. Aus dem ersten Teil weißt du bereits, dass es sich dabei um den 15. Verkaufstag nach Start der Werbeaktion handelt, indem du den Parameter $k$ in den Koordinaten des Hochpunkts durch $15$ ersetzt hast. Es ist also der Funktionswert von $f_{\text{15}}$ an der Stelle $t=15$ gesucht.
Der gesuchte Funktionswert entspricht gerade der $y$-Koordinate des Hochpunkts $15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}} \approx 82,77$.
Am 15. Tag werden etwa 83 Smartphones verkauft.
$\blacktriangleright$ Bedeutung der Wendestelle von $f_{\text{15}}$ im Sachzusammenhang erklären
Die Wendestelle ist die Stelle, an der die Steigung der Funktion am größten oder kleinsten ist. Diese befindet sich bei $t=30$ im fallenden Bereich der Funktion $f_{\text{15}}$. Zum Zeitpunkt $t=30$ ist der Rückgang der Verkaufszahlen folglich am stärksten.
2.1
$\blacktriangleright$ Exponentiellen Verlauf der Verkaufszahlen zeigen
Im ersten Teil der Aufgabe sollst du zeigen, dass die Verkaufszahlen der Smartphones im Zeitraum von 2008 bis 2013 exponentiell wachsen. Das Wachstum soll sich also durch eine Exponentialgleichung beschreiben lassen. Bei exponentiellem Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor. Bilde die Quotienten von jeweils zwei aufeinander folgenden Jahren, um diesen Faktor zu bestimmen und damit zu zeigen, dass er überall gleich ist.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{7,10}{5,00}&=1,42& &\quad \scriptsize \\[5pt] \frac{10,0}{7,10}&\approx 1,41& \scriptsize \\[5pt] \frac{14,2}{10,0}&= 1,42& \scriptsize \\[5pt] \frac{20,1}{14,2}&\approx 1,42& \scriptsize \\[5pt] \frac{28,6}{20,1}&\approx 1,42& \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Im Mittel ergibt sich ein Faktor von $1,42$.
#exponentielleswachstum
2.2
$\blacktriangleright$ Exponentialgleichung durch Regression bestimmen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du eine Gleichung aufstellen, die das Wachstum der Verkaufszahlen zwischen den Jahren 2008 und 2013 beschreibt. Da es sich um ein exponentielles Wachstum handelt, muss diese Gleichung eine Exponentialgleichung der Form
$v(t)=a\cdot b^{t}$
$v(t)=a\cdot b^{t}$
sein. Dabei steht $v(t)$ für den Bestand nach $t$ Zeitschritten, $a$ für den Anfangsbestand (also den Bestand zum Zeitpunkt $t = 0$), $b$ für den Wachstumsfaktor und $t$ für den jeweils betrachteten Zeitschritt. Diese Parameter kannst du mithilfe deines CAS bestimmen.
Gebe im Tabellenkalkulat.-Menu die Werte aus Material 1 unter A in die Tabelle ein. Anschließend kannst du die exponentielle Regression mit folgendem Befehl durchführen:
Calc $\rightarrow$ Regressionen $\rightarrow$ Freie Exp. Regression
Calc $\rightarrow$ Regressionen $\rightarrow$ Freie Exp. Regression
A1 - Analysis
Abb. 7: exponentielle Regression
A1 - Analysis
Abb. 7: exponentielle Regression
Lese jetzt die Werte für die Parameter $a$ und $b$ von deinem CAS ab.
Du erhältst folgende Werte:
$\begin{array}[t]{rll} a&=&4,9957228 \approx 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=&1,4169063 \approx 1,42 \end{array}$
Die geforderte Gleichung lautet also:
$v(t) = 5 \cdot 1,42^{t}$
#regression
3.1
$\blacktriangleright$ Verlauf des Funktionsgraphen $g$ zeichnen
Bei dieser Aufgabe sollst du den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$ im Intervall $[-0,5;5,5]$ in das Säulendiagramm in Material 2 skizzieren.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Gebe in deinen CAS im Grafik & Tabelle-Menu die Funktionsvorschrift von $g$ ein. Wähle in der Symbolleiste den 4. Reiter und definiere den Startwert zu 0.5, das Ende zu 5.5 und die Schrittw. zu 0.5. Du berechnest die zu diesen Werten gehörenden $y$-Werte von $g$ durch Anwählen des Listensymbols im 3. Reiter.
A1 - Analysis
Abb. 8: Wertetabelle von $g$
A1 - Analysis
Abb. 8: Wertetabelle von $g$
Indem du diese Punkte in Material 2 einträgst und sie verbindest, erhältst du den Funktionsgraphen von $g$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Bestimme dazu die Koordinaten einiger Punkte des Graphen der Funktion, indem du ausreichend viele Zeitpunkte $t$ in die Funktionsgleichung einsetzt und den Funktionswert $g(t)$ berechnest. Danach verbindest du diese Punkte miteinander und erhältst so den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$.
Beispiel: $\begin{array}[t]{rll} t&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(4)&=& 5 \cdot e^{0,347}\cdot 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(4)&\approx& 20,03 \end{array}$
Damit ist $(4 \mid 20,03)$ ein Punkt der Funktion $f$.
A1 - Analysis
Abb. 9: Säulendiagramm mit Graph
A1 - Analysis
Abb. 9: Säulendiagramm mit Graph
#graph
3.2
$\blacktriangleright$ Inhalt der Fläche zwischen $\boldsymbol{g}$ und $t$-Achse bestimmen
Zunächst sollst du den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$-Achse im Intervall $[0;5]$ einschließt, bestimmen. Dazu musst du die Funktion $g(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren, also das Integral $\displaystyle \int_{0}^{5}\; 5 \cdot e^{0,347 \cdot t}\;\mathrm dt$ lösen.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A: Mit deinem CAS
Definiere die Funktion $g$ in deinem CAS. Wähle im Keyboard-Modus unter dem 3. Reiter Math3 das Integrationssymbol mit Integrationsgrenzen. Setze als untere Granze $0$, als obere $5$ ein und bestätige durch EXE. Mithilfe des Befehls approx erhältst du den Wert des Integrals in gerundeter Form und Dezimalschreibweise.
A1 - Analysis
Abb. 10: Integral von $g$
A1 - Analysis
Abb. 10: Integral von $g$
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt&\approx & 67,28 \; \text{[Mio.]}\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Wert des Integrals ist etwa $67,28 \; \text{[Mio.]}$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B: Per Hand
Zunächst sollst du die Funktion $g(t)$ in den Grenzen $0$ und $5$ integrieren.
$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt&=&\displaystyle\int_{0}^{5}\; 5 \cdot e^{0,347 \cdot t}\;\mathrm dt \quad \scriptsize \mid \text{konstanten Faktor vor Integral ziehen}\\[5pt] &=&5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{0,347\cdot t}\;\mathrm dt \quad \scriptsize \mid \; 0,347=\frac{347}{1.000}\; \\[5pt] &=& 5 \cdot \displaystyle\int_{0}^{5} e^{\frac{347}{1.000} \cdot t}\;\mathrm dt &\quad \scriptsize \; \\[5pt] &=&5\cdot \left[\frac{1.000}{347} \cdot e^{\frac{351}{1.000} \cdot t}\right]_0^5 \quad \scriptsize \mid \text{konstanten Faktor vor Klammer ziehen}\; \\[5pt] &=&5 \cdot \frac{1.000}{347}\cdot \left[e^{\frac{347}{1.000}\cdot t}\right]_0^5 &\quad \scriptsize\; \\[5pt] &=&\frac{5.000}{347}\cdot \left[e^{\frac{347}{1.000}\cdot t}\right]_0^5&\quad \scriptsize\; \\[5pt] &=&\frac{5.000}{347}\cdot \left(e^{\frac{347}{1.000}\cdot 5} - e^{\frac{347}{1.000}\cdot 0}\right) \approx 67,28\; \mathrm{[Mio.]}&\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
Der Wert des Integrals ist etwa $67,28 \; \text{[Mio.]}$.
$\blacktriangleright$ Wert des Integrals im Sachzusammenhang deuten
Jetzt sollst du noch erklären, was das Integral im vorliegenden Fall konkret zu bedeuten hat.
Das Integral beschreibt den Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen $t = 0$ (untere Integrationsgrenze) und $t = 5$ (obere Integrationsgrenze). Dieser Flächeninhalt ist also die Anzahl aller zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 verkauften Smartphones. Einfach ausgedrückt: Zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 wurden etwa 67,28 Mio. Smartphones verkauft.
#integral#stammfunktion
3.3
$\blacktriangleright$ Gesamtzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen
Im ersten Teil sollst du mit Hilfe der Tabelle in Material 1 die Anzahl der zwischen 2008 und 2013 verkauften Smartphones bestimmen. Dazu summierst du alle Verkaufszahlen in diesen Jahren auf:
$\begin{array}[t]{rll} 5 + 7,1 + 10 + 14,2 + 20,1 + 28,6&=&85&\ \text{[Mio.]} \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$ 5 + 7,1 + 10 $ $ + 14,2 + 20,1 + 28,6 =85\ \text{[Mio.]} $
Zwischen 2008 und 2013 wurden 85 Mio. Smartphones verkauft.
$\blacktriangleright$ Diesen Wert mit dem Ergebnis aus 3.2 vergleichen und Abweichung erklären
In Aufgabe 3.2 hast du allerdings mittels des Integrals ausgerechnet, dass es etwa 67,28 Mio. Smartphones sein müssten. Deshalb sollst du im zweiten Teil erklären, warum es diesen Unterschied gibt.
Anhand des Säulendiagramms in Material 2 siehst du, dass der Zeitpunkt $\begin{array}&t = 0\end{array}$ nicht mit dem Anfang des Jahres 2008 übereinstimmt, sondern etwa in der Mitte liegt. Das bedeutet, dass dem Integral aus 3.2 das erste Halbjahr von 2008 fehlt. Analog verhält es sich mit 2013. Somit fehlt jeweils die Hälfte der Verkaufszahlen von 2008 und 2013. Deshalb ist der mit dem Integral berechnete Wert kleiner als der tatsächliche.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals erklären
Um ein wahrheitsgetreueres Ergebnis zu erhalten, musst du also das Integral modifizieren. Entsprechend sollst du im letzten Teil der Aufgabe erklären, wie es durch eine Anpassung des Integrals zu einem besseren Ergebnis kommt und diese angeben.
Um den gesamten Zeitraum von Anfang 2008 bis Ende 2013 im Integral zu berücksichtigen, müssen die Grenzen des Integrals verändert werden. Das Jahr 2008 beginnt zum Zeitpunkt $t = -0,5$ und das Jahr 2013 endet zum Zeitpunkt $t = 5,5$. Die untere Grenze des Integrals soll also nun $-0,5$ sein, die obere Grenze $5,5$.
$\blacktriangleright$ Modifikation des Integrals angeben
Das modifizierte Integral lautet also: $\displaystyle\int_{-0,5}^{5,5}\; 5 \cdot e^{0,347 \cdot t}\mathrm dt$
#integral
3.4
$\blacktriangleright$ Mithilfe von $\boldsymbol{g}$ die zu erwartenden Verkaufszahlen im Jahr 2030 berechnen
Bei dieser Aufgabe sollst du zunächst die im Jahr 2030 zu erwartenden Verkaufszahlen mit Hilfe der Funktion $g(t)$ berechnen. Dazu musst du bestimmen, welchem Zeitschritt $t$ das Jahr 2030 entspricht und danach das erhaltene $t$ in $f(t)$ einsetzen.
1. Schritt: $t$ bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2010& \mathrel{\widehat{=}}&t = 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] 2030& \mathrel{\widehat{=}}&t = 22 \end{array}$
2. Schritt: $t = 22$ einsetzen
$\begin{array}[t]{rll} g(22)&=& 5 \cdot e^{0,347 \cdot 22} \approx 10.336,5 \; \text{[Mio.]} &\quad \scriptsize \; \\[5pt] \end{array}$
$ \begin{array}[t]{rll} f(22)= 5 \cdot e^{0,347 \cdot 22}\\[5pt] \approx 10.336,5 \; \text{[Mio.]} \end{array} $
Beachte, dass das Ergebnis der Funktion $g$ in Mio. ist. Das bedeutet, dass im Jahr 2030 10.336,5 Mio. Smartphones verkauft werden müssten, was mehr als 10 Milliarden Geräten entspricht.
$\blacktriangleright$ Wert und die Güte der Modellierung beurteilen
Im zweiten Teil der Aufgabe sollst du diesen Wert und die Güte der Modellierung beurteilen. Damit ist gemeint, dass du beurteilen sollst, wie realistisch das Ergebnis ist und wie gut die Funktion $g$ die tatsächliche Verkaufszahlenentwicklung beschreibt.
Die errechnete Verkaufszahl für 2030 von über 10 Milliarden Smartphones ist nicht plausibel, da ein Land von 80 Mio. Einwohnern betrachtet wird. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass 80 Mio. Menschen im Jahr 2030 10 Milliarden Mobilgeräte kaufen.
Zudem erfährt der Markt eine zunehmende Sättigung, wodurch die Nachfrage nach einem Produkt sinkt, ein dauerhaft exponentielles Verkaufszahlenwachstum also nicht realistisch ist.
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