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A1 - Analysis

Aufgaben
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Das Wachstum einer Bakterienkultur soll mithilfe geeigneter mathematischer Funktionen beschrieben werden.

1.
Bestimme die Funktionsgleichung einer Wachstumsfunktion $g$ mit $g(t)=a\cdot\mathrm e^{k\cdot t}$, deren Graph durch die Punkte $A(0\mid 5)$ und $B(10\mid 8,24361)$ verläuft.
(4P)
#wachstum#exponentialfunktion#analysis
2.
Biologen haben über einen Zeitraum von $15$ Stunden das Wachstum einer Bakterienkultur untersucht, welche der Wirkung eines Toxins ausgesetzt wurde. Die gemessenen Ergebnisse sind in den ersten beiden Zeilen der Tabelle im Material protokolliert ($t$ entspricht der Zeit in Stunden, $y$ der Anzahl der noch lebenden Bakterien in Tausend).
Der Wachstumsvorgang soll durch zwei unterschiedliche Funktionen modelliert werden:

Modell 1: $\;\;f_1(t)=\dfrac{1}{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$

Modell 2: $\;\;f_2(t)=\mathrm e^{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$

2.1
Bestimme für jedes der beiden Modelle die zugehörige Funktionsgleichung. Verwende dazu ein geeignetes Regressionsverfahren unter Benutzung jeweils einer der beiden unteren Zeilen der im Material angegebenen Tabelle. Erkläre deine Vorgehensweise.
(8P)
Verwende im Folgenden die in Aufgabe 2.1 bestimmten Funktionen $f_1$ und $f_2$. Solltest du die Funktionen $f_1$ und $f_2$ nicht bestimmt haben, verwende für $f_1$ die Ersatzfunktion $\mathrm e_1$ und für $f_2$ die Ersatzfunktion $\mathrm e_2$:
$\mathrm e_1(t)=\dfrac{1}{0,00081\cdot t^2-0,016\cdot t+0,195}$

$\mathrm e_2(t)=\mathrm e^{-0,0052\cdot t^2+0,1018\cdot t+1,61}$.
2.2
Der Term $\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}(y_k-f(t_k))^2}$ beschreibt ein Maß für die Abweichung einer Funktion $f$ von gegebenen Wertepaaren $(t_k\mid y_k)$, $k=1,…,n$. Erläutere den Aufbau des Terms.
Der Wert des Abweichungsmaßes für $f_1$ beträgt ungefähr $0,02$. Bestimme für die Funktion $f_2$ den Wert des Abweichungsmaßes und beurteile für beide Funktionen die Qualität der Anpassung.
(6P)


2.3
Bestimme in beiden Modellen den jeweiligen Zeitpunkt des maximalen Bestandszuwachses der noch lebenden Bakterien sowie den jeweiligen Zeitpunkt des maximalen Bestandes. Gib jeweils die größte Anzahl der noch lebenden Bakterien an.
(6P)


2.4
Erläutere die Bedeutung des Schnittpunktes des Graphen $f_1$ bzw. $f_2$ mit der $y$-Achse im Sachzusammenhang und bestimme jeweils mithilfe von $f_1$ bzw. $f_2$ den Zeitpunkt, an dem erstmalig nach Beginn der Messung die Anzahl der noch lebenden Bakterien $10\,\%$ des Wertes von $f_1(0)$ bzw. $f_2(0)$ beträgt.
(5P)


2.5
Bestimme den Wert des Terms $\dfrac{1}{5}\cdot\displaystyle\int_{7}^{12}\;\mathrm (f_1(t)-f_2(t))\;\mathrm dt$ und deute das Ergebnis im Sachzusammenhang.
(5P)
#analysis#extrempunkt
3.
Die Biologen vermuten, dass die Wachstumsrate $k$ mit $k(t)=\dfrac{f'(t)}{f(t)}$ linear verläuft.
Berechne die Wachstumsraten $k_1$ und $k_2$ für die allgemeinen Modellfunktionen $f_1(t)=\dfrac{1}{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$ und $f_2(t)=\mathrm e^{a\cdot t^2+b\cdot t+c}$ und prüfe jeweils, ob die Vermutung der Biologen zutrifft.
(6P)
#analysis#wachstum

Material


Zeit $t$
(in Stunden)
$0,0$$2,5$$5,0$$7,5$$10,0$$12,5$$15,0$
Anzahl der noch lebenden
Bakterien $y$ (in Tausend)
$5,00$$6,12$$7,22$$8,04$$8,20$$8,00$$7,16$
$1/y$$0,200$$0,163$$0,139$$0,124$$0,122$$0,125$$0,140$
$\ln(y)$$1,609$$1,812$$1,977$$2,084$$2,104$$2,079$$1,969$
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Tipps
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1.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du hast eine Funktionsgleichung mit zwei unbekannten Konstanten sowie zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion gegeben. Um die Konstanten zu bestimmen, musst du zunächst einen Punkt in die Gleichung einsetzen. Dann kannst du mit dem zweiten Punkt die zweite Konstante bestimmen.
2.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Modell 1 bestimmen
Du sollst für die gegebene Funktionsgleichung die Konstanten bestimmen. Dazu ist dir in der Aufgabenstellung schon vorgegeben, dass du die Regressionsfunktion deines Taschenrechners benutzen sollst. Diese Funktion kann aus einer Liste von Werten eine zugehörige Funktion ermitteln.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Modell 2 bestimmen
Die Funktionsgleichung für das zweite Modell musst du auch mit quadratischer Regression bestimmen. Du kannst wie bei Modell 1 die Werte aus dem Material in eine Liste im GTR einsetzen und den Regressions-Befehl benutzen. Achte aber wieder darauf, dass du eine Ersatzfunktion $q_{2}(t)$ bestimmst und die Funktion noch umgestellt werden muss.
2.2
$\blacktriangleright$  Termaufbau beschreiben
Da in der Klammer zuerst gerechnet wird, beginne den Term von innen nach außen zu analysieren. Überlege dir, was berechnet wird und was die einzelnen Rechenschritte für Auswirkungen haben.
$\blacktriangleright$  Wert der Abweichung berechnen
Den Wert berechnest du, indem du die gesuchten Werte mit dem GTR bestimmst und diese dann in den gegebenen Term einsetzt. Dazu kannst du entweder im Rechenbildschirm verschiedene $t$ in die Funktion einsetzen oder du lässt dir den Graph zeichnen und springst zu den gesuchten $t$.
Nun kannst du den Wert des Abweichungsmaßes berechnen, indem du alle Werte einsetzt. Beachte dabei, dass $n$ nicht $t$ entspricht, sondern der Anzahl der Zeitschritte.
2.3
$\blacktriangleright$  Maximalstellen für Modell 1 bestimmen
Die Funktion gibt jeweils den Bestand zum Zeitpunkt $t$ an. Den Zeitpunkt des maximalen Bestands erhältst du, indem du eine Maximalstelle von $f$ bestimmst. Der Zuwachs ist durch die erste Ableitung gegeben, von der auch eine Maximalstelle gefunden werden muss. Diese Stellen kannst du mit dem GTR finden, indem du die Graphen der Funktion und der Ableitung zeichnen lässt und dann den Hochpunkt bestimmst. Du kannst die Lösungen aber auch per Hand berechnen.
2.4
$\blacktriangleright$  Erläutern im Sachzusammenhang
Überlege dir, welchen Wert die Funktion beschreibt und zu welchem Zeitpunkt die $y$-Achse geschnitten wird.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt für Modell 1 bestimmen
Du sollst berechnen, wann die Anzahl noch lebender Bakterien $10\,\%$ des Anfangswerts beträgt. Die Funktion gibt dir dabei die Anzahl an lebenden Bakterien in Abhängigkeit der Zeit an.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt für Modell 2 bestimmen
Bei der zweiten Funktion ist das Vorgehen analog zur ersten.
2.5
$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen
Den Wert des Integrals kannst du mit dem GTR bestimmen.
$\blacktriangleright$  Deuten im Sachzusammenhang
Du sollst angeben, was mit dem Integral berechnet wird. Überlege dir, was das Integral im Bezug auf die Funktionen darstellt und was der Vorfaktor bedeuten könnte.
3.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate für Modell 1 berechnen
In der Aufgabenstellung wird die Behauptung $k(t) = \dfrac{f'(t)}{f(t)}$ aufgestellt. Um dies zu überprüfen, musst du die Ableitungen der beiden Wachstumsfunktionen $f_{1}(t)$ und $f_{2}(t)$ bestimmen und dann Funktionsterm und zugehörige Ableitung einsetzen. Die Ableitung der ersten Funktion wird mit der Kettenregel gebildet.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate für Modell 2 berechnen
Auch für die Ableitung der zweiten Funktion brauchst du die Kettenregel. Achte auf das besondere Verhalten der $\mathrm e$-Funktion.
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Lösungen TI
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1.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du hast eine Funktionsgleichung mit zwei unbekannten Konstanten sowie zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion gegeben. Um die Konstanten zu bestimmen, musst du zunächst einen Punkt in die Gleichung einsetzen. Dann kannst du mit dem zweiten Punkt die zweite Konstante bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;A(0\mid 5)\text{ einsetzen} \\[5pt] 5&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot 0} &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&5 \end{array}$
$ a = 5 $
Zweite Konstante bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 5\cdot \mathrm e^{k\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;B(10\mid 8,24361)\text{ einsetzen} \\[5pt] 8,24361&=& 5\cdot \mathrm e^{k\cdot 10} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\frac{1}{5}\text{; }\, \ln() \\[5pt] \ln\left(\frac{8,24361}{5}\right)&=&k\cdot10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\frac{1}{10} \\[5pt] k&\approx& 0,050 \end{array}$
$ k\approx0,050 $
Die Funktion für das Wachstum lautet also $g(t)=5\cdot \mathrm e^{0,05t}$.
#analysis#wachstum
2.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Modell 1 bestimmen
Du sollst für die gegebene Funktionsgleichung die Konstanten bestimmen. Dazu ist dir in der Aufgabenstellung schon vorgegeben, dass du die Regressionsfunktion deines Taschenrechners benutzen sollst. Diese Funktion kann aus einer Liste von Werten eine zugehörige Funktion ermitteln. Für die erste Funktion musst du die Werte aus der dritten Zeile des Materials benutzen und eine quadratische Regression durchführen, da der Term im Nenner eine quadratische Funktion ist.
Abb. 1: Werte für Modell 1 und 2 in einer Liste
Abb. 1: Werte für Modell 1 und 2 in einer Liste
Nun kannst du eine Funktion bestimmen lassen, die die eingegebenen Punkte möglichst gut annähert. Nutze folgende Befehle:
STAT $\to$ CALC $\to$ 5: QuadReg
Gib deine Listen an und wähle "Calculate". Der nun folgende Bildschirm gibt dir die Parameter $a$, $b$ und $c$ an. Du erhältst $a\approx0,0008$, $b\approx-0,0159$ und $c\approx0,1990$. Diese Werte sind jedoch nicht die abschließende Funktion, sondern nur die Ersatzfunktion
$q_{1}(t)=\dfrac{1}{f_{1}(t)}=0,0008t^{2}-0,0159t+0,1990.$
$ q_{1}(t)=\dfrac{1}{f_{1}(t)}=… $
Also ist
$f_{1}(t)=\dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159t+0,1990}.$
$ f_{1}(t)=\dfrac{1}{q_{1}(t)}=… $
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Modell 2 bestimmen
Die Funktionsgleichung für das zweite Modell musst du auch mit quadratischer Regression bestimmen. Du kannst wie bei Modell 1 die Werte aus dem Material in eine Liste im GTR einsetzen und den "QuadReg"-Befehl benutzen. Achte aber wieder darauf, dass du eine Ersatzfunktion $q_{2}(t)$ bestimmst und die Funktion noch umgestellt werden muss.
$q_{2}(t)=\ln(f_{2}(t))$
Setzt du die Werte aus der vierten Zeile ein, erhältst du die Parameter $a\approx-0,0051$, $b\approx0,1017$ und $c\approx1,6119$.
Damit ist $f_{2}(t)=\mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,6119}$.
2.2
$\blacktriangleright$  Termaufbau beschreiben
Da in der Klammer zuerst gerechnet wird, beginne den Term von innen nach außen zu analysieren. Überlege dir, was berechnet wird und was die einzelnen Rechenschritte für Auswirkungen haben.
Der Ausdruck berechnet zunächst die Differenz zwischen den Funktionswerten $f(t_{k})$ und den gegebenen Werten $y_{k}$. Diese Differenz wird quadriert und für alle $k$ von $1$ bis $n$ aufsummiert. Die Wurzel der Summe wird nun durch $n$ geteilt, somit ergibt sich die durchschnittliche Differenz zwischen $f(t_{k})$ und $y_{k}$.
$\blacktriangleright$  Wert der Abweichung berechnen
Den Wert berechnest du, indem du die gesuchten Werte mit dem GTR bestimmst und diese dann in den gegebenen Term einsetzt. Dazu kannst du entweder im Rechenbildschirm verschiedene $t$ in die Funktion einsetzen oder du lässt dir den Graph zeichnen und springst zu den gesuchten $t$.
Zeit $t$ (in Stunden)$0$$2,5$$5$$7,5$$10$$12,5$$15$
$f_{2}(t)$$4,95$$6,19$$7,26$$7,98$$8,23$$7,96$$7,23$
$y(t)$$5,00$$6,12$$7,22$$8,04$$8,20$$8,00$$7,16$
$ \text{Funktionswerte von }f_{2}(t) $
Nun kannst du den Wert des Abweichungsmaßes berechnen, indem du alle Werte einsetzt. Beachte dabei, dass $n$ nicht $t$ entspricht, sondern der Anzahl der Zeitschritte.
$\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(y_{k}-f(t_{k})\right)^{2}} = \dfrac{1}{7}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{7}\left(y(t)-f_{2}(t)\right)^{2}}$ $ = \dfrac{1}{7}\cdot\sqrt{\left(5-4,95\right)^{2}+\left(6,12-6,19\right)^{2}+…+\left(7,16-7,32\right)^{2} }$ $ \approx 0,019$
$ \approx 0,019 $
Die Werte der Abweichung sind für beide Funktionen fast gleich, also gibt es keine großen Unterschiede in den Genauigkeiten.
2.3
$\blacktriangleright$  Maximalstellen für Modell 1 bestimmen
Die Funktion gibt jeweils den Bestand zum Zeitpunkt $t$ an. Den Zeitpunkt des maximalen Bestands erhältst du, indem du eine Maximalstelle von $f$ bestimmst. Der Zuwachs ist durch die erste Ableitung gegeben, von der auch eine Maximalstelle gefunden werden muss. Diese Stellen kannst du mit dem GTR finden, indem du die Graphen der Funktion und der Ableitung zeichnen lässt und dann den Hochpunkt bestimmst. Du kannst die Lösungen aber auch per Hand berechnen.
Um mit dem GTR den Graph der Ableitung zu zeichnen, gib zunächst die Funktion im "Y=" Fenster ein. Dann kannst du mit folgendem Befehl die Ableitung der Funktion berechnen und zeichnen.
MATH $\to$ 8: nDeriv (
Wähle in der Klammer die bereits eingegebene Funktion mit
VARS $\to$ Y-VARS $\to$ 1: Function $\to$ 1: $Y_{1}$
Abb. 3: Graph der Funktion (blau) und Graph der Ableitung (rot)
Abb. 3: Graph der Funktion (blau) und Graph der Ableitung (rot)
Die Funktion $f_{1}(t)$ hat ihren Hochpunkt an der Stelle $t=9,93$, was etwa $9$ Stunden und $55$ Minuten entspricht. Dann beträgt die Anzahl an Bakterien $8.339$. Die Ableitung $f'_{1}(t)$ wird zum Zeitpunkt $t=2,87$ maximal, also wächst der Bestand nach $2$ Stunden und $52$ Minuten am stärksten.
$\blacktriangleright$  Maximalstellen für Modell 2 bestimmen
Das Vorgehen bei der zweiten Funktion ist analog zur ersten. Die Maxima liegen bei $H_{f}=(10,13\mid8,215)$ und $H_{f'}=(0\mid0,49)$. Also beträgt die maximale Anzahl Bakterien $8.215$.
2.4
$\blacktriangleright$  Erläutern im Sachzusammenhang
Überlege dir, welchen Wert die Funktion beschreibt und zu welchem Zeitpunkt die $y$-Achse geschnitten wird.
Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse gibt die Anzahl Bakterien zu Beginn des Beobachtungszeitraums an.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt für Modell 1 bestimmen
Du sollst berechnen, wann die Anzahl noch lebender Bakterien $10\,\%$ des Anfangswerts beträgt. Die Funktion gibt dir dabei die Anzahl an lebenden Bakterien in Abhängigkeit der Zeit an.
Zunächst musst du schauen, welchen Wert die Funktion bei $t=0$ annimmt. Setze dann den Funktionswert gleich $10\,\%$ dieses Werts und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990}&=& 0,502 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990) \\[5pt] 1&=& 0,0004\cdot t^{2} - 0,0076t+0,0998 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 0&=& 0,0004\cdot t^{2} - 0,0076t-0,9001&\quad\\[5pt] \end{array}$
$ 0=0,0004\cdot t^{2} - 0,0076t-0,9001 $
Nun kannst du die quadratische Gleichung mit dem GTR lösen, zum Beispiel indem du den Graph der Funktion zeichnen lässt und die Nullstellen bestimmst.
Abb. 4: Nullstelle einer Funktion
Abb. 4: Nullstelle einer Funktion
Damit kommst du auf $t=58,2$, bei dem die Anzahl der Bakterien $10\,\%$ des Anfangswerts beträgt.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt für Modell 2 bestimmen
Bei der zweiten Funktion ist das Vorgehen analog zur ersten.
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,6011}&=& 0,496 &\quad \scriptsize \mid\;\ln() \\[5pt] -0,0051t^{2}+0,1017t+1,6011&=& \ln(0,496) &\quad \scriptsize \mid\; -\ln(0,496) \\[5pt] -0,0051t^{2}+0,1017t+2,302&=& 0 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ 0=-0,0051t^{2}+0,1017t+2,302 $
Du hast wieder eine quadratische Gleichung, die du mit dem GTR lösen kannst. Für $t$ erhältst du $33,3$. Also sind bei der zweiten Funktion nach $33$ Stunden und $18$ Minuten $10\,\%$ der Anfangspopulation erreicht.
2.5
$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen
Den Wert des Integrals kannst du mit dem GTR bestimmen. Nutze dazu den folgenden Befehl. Du kannst auch mit dem Y-VARS Befehl auf bereits gespeicherte Funktionen zugreifen und ersparst dir so Tipparbeit.
MATH $\to$ 9: fnInt (
$\dfrac{1}{5}\cdot\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990} - \; \mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,611}\mathrm dt \approx 0,095$
$ \approx 0,095 $
Der Wert des Integrals von $7$ bis $12$ beträgt $0,095$.
$\blacktriangleright$  Deuten im Sachzusammenhang
Du sollst angeben, was mit dem Integral berechnet wird. Überlege dir, was das Integral im Bezug auf die Funktionen darstellt und was der Vorfaktor bedeuten könnte.
Das Integral selbst gibt die gesamte Differenz der beiden Funktionen von $t=7$ bis $t=12$ an. Da durch $5$ geteilt wird, berechnet der Term die durchschnittliche Differenz im angegebenen Zeitraum. Also lässt sich sagen, dass durch die erste Funktion durchschnittlich $95$ Bakterien mehr berechnet werden als durch die zweite Funktion.
#analysis#integral#regression#extrempunkt
3.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate für Modell 1 berechnen
In der Aufgabenstellung wird die Behauptung $k(t) = \dfrac{f'(t)}{f(t)}$ aufgestellt. Um dies zu überprüfen, musst du die Ableitungen der beiden Wachstumsfunktionen $f_{1}(t)$ und $f_{2}(t)$ bestimmen und dann Funktionsterm und zugehörige Ableitung einsetzen. Die Ableitung der ersten Funktion wird mit der Kettenregel gebildet.
$f_{1}(t)=\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}=(at^{2}+bt+c)^{-1}$
$ f_{1}(t)=… $
$f'_{1}(t)=-(at^{2}+bt+c)^{-2}\cdot(2at+b)=-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}$
$ f'_{1}(t)=… $
$k_{1}(t)=\dfrac{-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}}{\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}}$
$k_{1}(t)=-\dfrac{2at+b}{at^{2}+bt+c}$
$ k_{1}(t)=\dfrac{f'_{1}(t)}{f_{1}(t)}=… $
Da $k_{1}(t)$ eine Potenz größer als $1$ im Nenner hat, handelt es sich nicht um eine lineare Funktion. Die Biologen hatten in diesem Fall also Unrecht.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate für Modell 2 berechnen
Auch für die Ableitung der zweiten Funktion brauchst du die Kettenregel. Achte auf das besondere Verhalten der $\mathrm e$-Funktion.
$f_{2}(t)=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}$
$ f_{2}(t)=… $
$f'_{2}(t)=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}\cdot(2ab+b)$
$ f'_{2}(t)=… $
$k_{2}(t)=\dfrac{\mathrm e^{at^{2}+bt+c}\cdot(2at+b)}{\mathrm e^{at^{2}+bt+c}}$
$k_{2}(t)=2ab+b$
$ k_{2}(t)=\dfrac{f'_{2}(t)}{f_{2}(t)}=… $
Da sich die Terme der $\mathrm e$-Funktion kürzen lassen, bleibt für $k_{2}(t)$ nur $2at+b$. Dies ist eine lineare Funktion und die Behauptung somit für $f_{2}$ korrekt.
#ableitung#analysis
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
© 2016 – SchulLV.
[4]
© 2016 – SchulLV.
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1.
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du hast eine Funktionsgleichung mit zwei unbekannten Konstanten sowie zwei Punkte auf dem Graphen der Funktion gegeben. Um die Konstanten zu bestimmen, musst du zunächst einen Punkt in die Gleichung einsetzen. Dann kannst du mit dem zweiten Punkt die zweite Konstante bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;A(0\mid 5)\text{ einsetzen} \\[5pt] 5&=& a\cdot \mathrm e^{k\cdot 0} &\quad \scriptsize \\[5pt] a&=&5 \end{array}$
$ a=5 $
Zweite Konstante bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} g(t)&=& 5\cdot \mathrm e^{k\cdot t} &\quad \scriptsize \mid\;B(10\mid 8,24361)\text{ einsetzen} \\[5pt] 8,24361&=& 5\cdot \mathrm e^{k\cdot 10} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\frac{1}{5}\text{; }\, \ln() \\[5pt] \ln\left(\frac{8,24361}{5}\right)&=&k\cdot10 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot\frac{1}{10} \\[5pt] k&\approx& 0,050 \end{array}$
$ k\approx 0,050 $
Die Funktion für das Wachstum lautet also $g(t)=5\cdot \mathrm e^{0,05t}$.
#analysis#wachstum
2.1
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Modell 1 bestimmen
Du sollst für die gegebene Funktionsgleichung die Konstanten bestimmen. Dazu ist dir in der Aufgabenstellung schon vorgegeben, dass du die Regressionsfunktion deines Taschenrechners benutzen sollst. Diese Funktion kann aus einer Liste von Werten eine zugehörige Funktion ermitteln. Für die erste Funktion musst du die Werte aus der dritten Zeile des Materials benutzen und eine quadratische Regression durchführen, da der Term im Nenner eine quadratische Funktion ist.
Abb. 1: Werte für Modell 1 und 2 in einer Liste
Abb. 1: Werte für Modell 1 und 2 in einer Liste
Nun kannst du eine Funktion bestimmen lassen, die die eingegebenen Punkte möglichst gut annähert. Nutze folgende Befehle:
F1: GRPH $\to$ F1: GPH1 $\to$ F1: CALC $\to$ F4: X^2
Der nun folgende Bildschirm gibt dir die Parameter $a$, $b$ und $c$ an. Du erhältst $a\approx0,0008$, $b\approx-0,0159$ und $c\approx0,1990$. Diese Werte sind jedoch nicht die abschließende Funktion, sondern nur die Ersatzfunktion
$q_{1}(t)=\dfrac{1}{f_{1}(t)}=0,0008t^{2}-0,0159t+0,1990.$
$ q_{1}(t)=\dfrac{1}{f_{1}(t)}=… $
Also ist
$f_{1}(t)=\dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159t+0,1990}.$
$ f_{1}(t)=\dfrac{1}{q_{1}(t)}… $
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung für Modell 2 bestimmen
Die Funktionsgleichung für das zweite Modell musst du auch mit quadratischer Regression bestimmen. Du kannst wie bei Modell 1 die Werte aus dem Material in eine Liste im GTR einsetzen und den Regressions-Befehl benutzen. Achte aber wieder darauf, dass du eine Ersatzfunktion $q_{2}(t)$ bestimmst und die Funktion noch umgestellt werden muss.
$q_{2}(t)=\ln(f_{2}(t))$
Setzt du die Werte aus der vierten Zeile ein, erhältst du die Parameter $a\approx-0,0051$, $b\approx0,1017$ und $c\approx1,6119$.
Damit ist $f_{2}(t)=\mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,6119}$.
2.2
$\blacktriangleright$  Termaufbau beschreiben
Da in der Klammer zuerst gerechnet wird, beginne den Term von innen nach außen zu analysieren. Überlege dir, was berechnet wird und was die einzelnen Rechenschritte für Auswirkungen haben.
Der Ausdruck berechnet zunächst die Differenz zwischen den Funktionswerten $f(t_{k})$ und den gegebenen Werten $y_{k}$. Diese Differenz wird quadriert und für alle $k$ von $1$ bis $n$ aufsummiert. Die Wurzel der Summe wird nun durch $n$ geteilt, somit ergibt sich die durchschnittliche Differenz zwischen $f(t_{k})$ und $y_{k}$.
$\blacktriangleright$  Wert der Abweichung berechnen
Den Wert berechnest du, indem du die gesuchten Werte mit dem GTR bestimmst und diese dann in den gegebenen Term einsetzt. Dazu kannst du entweder im Rechenbildschirm verschiedene $t$ in die Funktion einsetzen oder du lässt dir den Graph zeichnen und springst zu den gesuchten $t$.
Zeit $t$ (in Stunden)$0$$2,5$$5$$7,5$$10$$12,5$$15$
$f_{2}(t)$$4,95$$6,19$$7,26$$7,98$$8,23$$7,96$$7,23$
$y(t)$$5,00$$6,12$$7,22$$8,04$$8,20$$8,00$$7,16$
$ \text{Funktionswerte von }f_{2}(t) $
Nun kannst du den Wert des Abweichungsmaßes berechnen, indem du alle Werte einsetzt. Beachte dabei, dass $n$ nicht $t$ entspricht, sondern der Anzahl der Zeitschritte.
$\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(y_{k}-f(t_{k})\right)^{2}} = \dfrac{1}{7}\cdot\sqrt{\sum\limits_{k=1}^{7}\left(y(t)-f_{2}(t)\right)^{2}}$ $ = \dfrac{1}{7}\cdot\sqrt{\left(5-4,95\right)^{2}+\left(6,12-6,19\right)^{2}+…+\left(7,16-7,32\right)^{2} }$ $ \approx 0,019$
$ \approx 0,019 $
Die Werte der Abweichung sind für beide Funktionen fast gleich, also gibt es keine großen Unterschiede in den Genauigkeiten.
2.3
$\blacktriangleright$  Maximalstellen für Modell 1 bestimmen
Die Funktion gibt jeweils den Bestand zum Zeitpunkt $t$ an. Den Zeitpunkt des maximalen Bestands erhältst du, indem du eine Maximalstelle von $f$ bestimmst. Der Zuwachs ist durch die erste Ableitung gegeben, von der auch eine Maximalstelle gefunden werden muss. Diese Stellen kannst du mit dem GTR finden, indem du die Graphen der Funktion und der Ableitung zeichnen lässt und dann den Hochpunkt bestimmst. Du kannst die Lösungen aber auch per Hand berechnen.
Um mit dem GTR den Graph der Ableitung zu zeichnen, gib zunächst die Funktion im "GRAPH" Fenster ein. Dann kannst du mit folgendem Befehl die Ableitung der Funktion berechnen und zeichnen.
OPTN $\to$ F2: CALC $\to$ F1: d/dx
Wähle in der Klammer die bereits eingegebene Funktion mit
VARS $\to$ F4: GRPH $\to$ F1: $Y$ $\to$ $1$
Abb. 3: Graph der Funktion mit Maxima und Graph der Ableitung
Abb. 3: Graph der Funktion mit Maxima und Graph der Ableitung
Die Funktion $f_{1}(t)$ hat ihren Hochpunkt an der Stelle $t=9,93$, was etwa $9$ Stunden und $55$ Minuten entspricht. Dann beträgt die Anzahl an Bakterien $8.339$. Die Ableitung $f'_{1}(t)$ wird zum Zeitpunkt $t=2,87$ maximal, also wächst der Bestand nach $2$ Stunden und $52$ Minuten am stärksten.
$\blacktriangleright$  Maximalstellen für Modell 2 bestimmen
Das Vorgehen bei der zweiten Funktion ist analog zur ersten. Die Maxima liegen bei $H_{f}=(10,13\mid8,215)$ und $H_{f'}=(0\mid0,49)$. Also beträgt die maximale Anzahl Bakterien $8.215$.
2.4
$\blacktriangleright$  Erläutern im Sachzusammenhang
Überlege dir, welchen Wert die Funktion beschreibt und zu welchem Zeitpunkt die $y$-Achse geschnitten wird.
Der Schnittpunkt des Graphen von $f$ mit der $y$-Achse gibt die Anzahl Bakterien zu Beginn des Beobachtungszeitraums an.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt für Modell 1 bestimmen
Du sollst berechnen, wann die Anzahl noch lebender Bakterien $10\,\%$ des Anfangswerts beträgt. Die Funktion gibt dir dabei die Anzahl an lebenden Bakterien in Abhängigkeit der Zeit an.
Zunächst musst du schauen, welchen Wert die Funktion bei $t=0$ annimmt. Setze dann den Funktionswert gleich $10\,\%$ dieses Werts und löse nach $t$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990}&=& 0,502 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990) \\[5pt] 1&=& 0,0004\cdot t^{2} - 0,0076t+0,0998 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 0&=& 0,0004\cdot t^{2} - 0,0076t-0,9001&\quad\\[5pt] \end{array}$
$ 0=0,0004\cdot t^{2} - 0,0076t-0,9001 $
Nun kannst du die quadratische Gleichung mit dem GTR lösen, zum Beispiel indem du den Graph der Funktion zeichnen lässt und die Nullstellen bestimmst.
Abb. 4: Nullstelle einer Funktion
Abb. 4: Nullstelle einer Funktion
Damit kommst du auf $t=58,2$, bei dem die Anzahl der Bakterien $10\,\%$ des Anfangswerts beträgt.
$\blacktriangleright$  Zeitpunkt für Modell 2 bestimmen
Bei der zweiten Funktion ist das Vorgehen analog zur ersten.
$\begin{array}[t]{rll} \mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,6011}&=& 0,496 &\quad \scriptsize \mid\;\ln() \\[5pt] -0,0051t^{2}+0,1017t+1,6011&=& \ln(0,496) &\quad \scriptsize \mid\; -\ln(0,496) \\[5pt] -0,0051t^{2}+0,1017t+2,302&=& 0 &\quad\\[5pt] \end{array}$
$ 0=-0,0051t^{2}+0,1017t+2,302 $
Du hast wieder eine quadratische Gleichung, die du mit dem GTR lösen kannst. Für $t$ erhältst du $33,3$. Also sind bei der zweiten Funktion nach $33$ Stunden und $18$ Minuten $10\,\%$ der Anfangspopulation erreicht.
2.5
$\blacktriangleright$  Integralwert bestimmen
Den Wert des Integrals kannst du mit dem GTR bestimmen. Nutze dazu den folgenden Befehl im Rechenbildschirm. Du kannst auch mit dem VARS Befehl auf bereits gespeicherte Funktionen zugreifen und ersparst dir so Tipparbeit.
F4: MATH $\to$ F6 $\to$ F1: Int
$\dfrac{1}{5}\cdot\displaystyle\int_{7}^{12}\dfrac{1}{0,0008t^{2}-0,0159 t+0,1990} - \; \mathrm e^{-0,0051t^{2}+0,1017t+1,611}\mathrm dt \approx 0,095$
$ \approx 0,095 $
Der Wert des Integrals von $7$ bis $12$ beträgt $0,095$;.
$\blacktriangleright$  Deuten im Sachzusammenhang
Du sollst angeben, was mit dem Integral berechnet wird. Überlege dir, was das Integral im Bezug auf die Funktionen darstellt und was der Vorfaktor bedeuten könnte.
Das Integral selbst gibt die gesamte Differenz der beiden Funktionen von $t=7$ bis $t=12$ an. Da durch $5$ geteilt wird, berechnet der Term die durchschnittliche Differenz im angegebenen Zeitraum. Also lässt sich sagen, dass durch die erste Funktion durchschnittlich $95$ Bakterien mehr berechnet werden als durch die zweite Funktion.
#analysis#extrempunkt#regression#integral
3.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate für Modell 1 berechnen
In der Aufgabenstellung wird die Behauptung $k(t) = \dfrac{f'(t)}{f(t)}$ aufgestellt. Um dies zu überprüfen, musst du die Ableitungen der beiden Wachstumsfunktionen $f_{1}(t)$ und $f_{2}(t)$ bestimmen und dann Funktionsterm und zugehörige Ableitung einsetzen. Die Ableitung der ersten Funktion wird mit der Kettenregel gebildet.
$f_{1}(t)=\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}=(at^{2}+bt+c)^{-1}$
$ f_{1}(t)=… $
$f'_{1}(t)=-(at^{2}+bt+c)^{-2}\cdot(2at+b)=-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}$
$ f'_{1}(t)=… $
$k_{1}(t)=\dfrac{-\dfrac{2at+b}{(at^{2}+bt+c)^{2}}}{\dfrac{1}{at^{2}+bt+c}}$
$k_{1}(t)=-\dfrac{2at+b}{at^{2}+bt+c}$
$ k_{1}(t)=\dfrac{f'_{1}(t)}{f_{1}(t)}=… $
Da $k_{1}(t)$ eine Potenz größer als $1$ im Nenner hat, handelt es sich nicht um eine lineare Funktion. Die Biologen hatten in diesem Fall also Unrecht.
$\blacktriangleright$  Wachstumsrate für Modell 2 berechnen
Auch für die Ableitung der zweiten Funktion brauchst du die Kettenregel. Achte auf das besondere Verhalten der $\mathrm e$-Funktion.
$f_{2}(t)=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}$
$ f_{2}(t)=… $
$f'_{2}(t)=\mathrm e^{at^{2}+bt+c}\cdot(2ab+b)$
$ f'_{2}(t)=… $
$k_{2}(t)=\dfrac{\mathrm e^{at^{2}+bt+c}\cdot(2at+b)}{\mathrm e^{at^{2}+bt+c}}$
$k_{2}(t)=2ab+b$
$ k_{2}(t)=\dfrac{f'_{2}(t)}{f_{2}(t)}=… $
Da sich die Terme der $\mathrm e$-Funktion kürzen lassen, bleibt für $k_{2}(t)$ nur $2at+b$. Dies ist eine lineare Funktion und die Behauptung somit für $f_{2}$ korrekt.
#analysis#ableitung
Bildnachweise [nach oben]
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