A1 - Analysis

Gegeben sind die Funktionen $f_k$ mit $f_k(t)=k\cdot t\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{k}\cdot t}$ mit $k\geq1$ .

1.1

Beschreibe den Einfluss des Parameters $k$ auf die Kurvenverläufe.

(5 BE)

1.2

Bestimme die Hochpunkte und Wendepunkte der Graphen von $f_k$ in Abhängigkeit von $k$ und begründe anhand der entsprechenden Ableitungsterme, dass alle Graphen jeweils nur einen Hochpunkt und einen Wendepunkt besitzen.

Hinweis: Für die Bestimmung der Wendepunkte ist die Überprüfung der notwendigen Bedingung ausreichend.

(7 BE)

1.3

In einem Fachgeschäft wird eine Werbeaktion für ein spezielles Smartphone durchgeführt. Die täglichen Verkaufszahlen lassen sich näherungsweise durch die Funktion $f_{15}$ mit $f_{15}(t)=15\cdot t\cdot\mathrm e^{-\frac{1}{15}\cdot t}$ beschreiben. Hierbei steht $t$ für die Zeit in Tagen nach Beginn der Werbeaktion und $f_{15}(t)$ für die Anzahl der verkauften Smartphones pro Tag.

Bestimme den Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones (pro Tag) verkauft werden, sowie die ungefähre Anzahl der verkauften Geräte an diesem Tag.

Erläutere die Bedeutung der Wendestelle von $f_{15}$ im Sachzusammenhang.

(4 BE)

Im Folgenden werden die jährlichen Verkaufszahlen von Smartphones in einem Land mit 80 Millionen Einwohnern in den Jahren 2008 bis 2013 betrachtet. Hierzu wird das Jahr 2008 als Startzeitpunkt $(t=0)$ angenommen. Der Wert $t$ beschreibt die Zeit in Jahren nach 2008. Für das Jahr 2012 gilt beispielsweise $t=4$ .

Die Entwicklung der Verkaufszahlen von Smartphones in den Jahren 2008 bis 2013 wird in der folgenden Tabelle angegeben:

Jahr	$\color{#fff}{t}$ in Jahren nach 2008	Verkaufszahlen in Millionen Stück pro Jahr
$2008$	$0$	$5,00$
$2009$	$1$	$7,10$
$2010$	$2$	$10,00$
$2011$	$3$	$14,20$
$2012$	$4$	$20,10$
$2013$	$5$	$28,60$

2.1

Zeige, dass die Entwicklung der Verkaufszahlen von Smartphones in diesem Zeitraum annähernd exponentiell verlief.

(2 BE)

2.2

Ermittle durch Regression die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion $v$ der Form $v(t)=a\cdot b^t$ , welche die Verkaufszahlen von Smartphones modelliert $(t:$ Zeit in Jahren nach 2008, $v(t):$ Anzahl verkaufter Smartphones in Millionen Stück pro Jahr $).$

(3 BE)

Im Folgenden wird die Entwicklung der jährlichen Verkaufszahlen der Smartphones durch die Funktion $g$ mit $g(t)=5\cdot\mathrm e^{0,347\cdot t}$ modelliert ( $t$ : Zeit in Jahren nach 2008, $g(t)$ : Anzahl verkaufter Smartphones in Millionen Stück pro Jahr).

3.1

Skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von $g$ im Intervall $[-0,5;\;5,5]$ in das folgende Säulendiagramm.

Saeulendiagramm Verkaufszahlen Smartphone Loesung Hessen Abi 2016

(3 BE)

3.2

Bestimme den Inhalt der Fläche, die der Graph von $g$ mit der $t$ -Achse im Intervall $[0;\;5]$ einschließt, und deute den Wert im Sachzusammenhang.

(4 BE)

3.3

Bestimme unter Verwendung der Tabelle aus Aufgabe 2 die Gesamtzahl der in den Jahren 2008 bis einschließlich 2013 tatsächlich verkauften Smartphones.

Vergleiche diesen Wert mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil 3.2 und erkläre die Abweichung.

Erläutere, wie durch Modifikation des Integrals aus Aufgabenteil 3.2 ein besseres Ergebnis erzielt werden kann, und gib eine Modifikation an.

(7 BE)

3.4

Bestimme mithilfe der Modellierungsfunktion $g$ die zu erwartenden Verkaufszahlen von Smartphones im Jahr 2030 in diesem Land.

Beurteile diesen Wert sowie die Güte der Modellierung.

(5 BE)

1.1

Durch Einsetzen verschiedener Werte für $k\geq 1$ in die Funktion $f_k$ und Vergleichen der sich ergebenden Graphen kann der Einfluss des Parameters $k$ auf den Kurvenverlauf untersucht werden:

Hierfür muss die Funktionenschar im CAS definiert werden:

Mathematische Gleichung auf einem Bildschirm mit Funktionen und Variablen.

Nun können die Graphen einiger Funktionen mit verschiedenen Werten für $k$ auf dem CAS angezeigt werden:

Graphische Darstellung von drei Funktionen in einem Koordinatensystem mit Achsenbeschriftungen.

Umso größer $k,$ desto langsamer nähert sich der Graph asymptotisch der $x$ -Achse an. Mit größerem $k$ werden zudem die Werte der Koordinaten des Hochpunkts größer, sodass der Graph zunehmend höher und steiler verläuft.

1.2

Hochpunkte bestimmen

1. Schritt: Ableitungen bilden

Mit dem CAS kann die erste und zweite Ableitung bestimmt werden:

menu $\to$ 4: Analysis $\to$ 1: Ableitung

Es folgt:

$\(f_k$

2. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Es soll gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Mit dem solve-Befehl ergibt sich $t=k.$

3. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Da $-\mathrm e^{-1}\lt 0$ ist, handelt es sich bei $t=k$ folglich um eine Maximalstelle.

4. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

Mit dem CAS ergibt sich:

Mathematische Aufgabenstellung mit Formeln und Ergebnissen auf einem digitalen Gerät.

Die Graphen von $f_k$ besitzen also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(k \mid k^2 \cdot \mathrm e^{-1})$ .

Wendepunkte bestimmen

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Es soll gelten:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt $t=2\cdot k.$

Laut Aufgabenstellung ist die Untersuchung der notwendigen Bedingung ausreichend. Die hinreichende Bedingung muss somit nicht mehr geprüft werden.

2. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

Mit dem CAS ergibt sich für $t=2\cdot k:$

Mathematische Gleichungen und Berechnungen auf einem Bildschirm dargestellt.

Die Koordinaten des Wendepunkts $W$ der Graphen von $f_k$ folgen also mit $W(2k\mid 2k^2 \cdot \mathrm{e^2})$ .

Begründung

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist gegeben durch:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}\gt0$ für alle $k \geq 1$ und somit ist die einzige Lösung des Terms gegeben durch $k-t=0.$

Da unabhängig von $k$ in allen Fällen nur ein Wert von $t$ die Gleichung löst, nämlich genau $t=k,$ erfüllt nur ein Wert von $t$ die notwendige Bedingung für Extremstellen. Alle Graphen haben somit genau einen Hochpunkt.

Analog lautet die Begründung für die Existenz genau eines Wendepunkts:

Zum Prüfen der notwendigen Bedingung für einen Wendepunkt muss die zweite Ableitung $f_k‘‘(t)= \dfrac{(t-2 k) \cdot \mathrm{e}^{-\frac{t}{k}}}{k}$ gleich Null gesetzt werden. Mit dem Satz vom Nullpunkt kann die Gleichung nun gelöst werden.

Da der Faktor $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}$ mit $k\geq 1$ für jedes $t$ größer Null ist, kann nur noch der Faktor $\left( \frac{t}{k}-2 \right)$ Null werden. Da die notwendige Bedingung für eine Wendestelle somit nur für einen Wert von $t$ erfüllt wird, besitzen die Graphen von $f_k$ foglich genau einen Wendepunkt.

1.3

Zeitpunkt bestimmen

Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones pro Tag verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $f_{15}(t)$ .

Im Aufgabenteil 1.2 wurde bereits der Hochpunkt der Funktion $f_k$ in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmt:

$H(k\mid k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$

Für $k=15$ folgen die Koordinaten des Hochpunkts also mit $H(15\mid 15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}}).$

Die meisten Smartphones werden also am 15. Tag nach Beginn der Werbeaktion verkauft.

Anzahl der verkauften Smartphones berechnen

Die Anzahl der verkauften Smartphones am 15. Tag nach Beginn der Werbeaktion entspricht dem Funktionswert von $f_{15}$ an der Stelle $t=15.$

Die $y$ -Koordinate des Hochpunkts ist bereits gegeben durch:

$15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}} \approx 82,77$

Am 15. Tag werden somit ungefähr 83 Smartphones verkauft.

Bedeutung der Wendestelle erläutern

Die Wendestelle von $f_{15}$ beschreibt den Zeitpunkt, an dem die Verkaufszahlen am stärksten zu- beziehungsweise abnehmen.

Einsetzen von $k=15$ in die Koordinaten des Wendepunkts aus Aufgabenteil 1.2 ergibt $W(30\mid 2\cdot 15^2\cdot \mathrm e^2).$

In Zusammenhang mit dem Verlauf des entsprechenden Graphen folgt somit, dass die Verkaufszahlen am 30. Tag nach Beginn der Werbeaktion am stärksten abnehmen.

2.1

Bei einem exponentiellen Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor:

$\dfrac{7,10}{5,00}=1,42$

$\dfrac{10,0}{7,10}\approx 1,41$

$\dfrac{14,2}{10,0}= 1,42$

$\dfrac{20,1}{14,2}\approx 1,42$

$\dfrac{28,6}{20,1}\approx 1,42$

Da sich ein annähernd konstanter Wachstumsfaktor erkennen lässt, handelt es sich hierbei um ein exponentielles Wachstum mit einem Mittelwert von 1,42.

2.2

1. Schritt: Werte aus der Tabelle in das 4:Lists&Spreadsheet-Menu eingeben

Tabelle mit Werten für x und y, dargestellt in einer grafischen Benutzeroberfläche.

2. Schritt: Exponentielle Regression durchführen

Durch Auswahl von 4:Statistik aus dem 4. Reiter des Menu kann eine exponentielle Regression ausgeführt werden.

Hierzu wird die X-Liste als a[] und die Y-Liste als b[] benannt.

Dialogfeld zur exponentiellen Regression mit Eingabefeldern für X- und Y-Listen.

Nach der Bestätigung der Auswahl mit OK können die Werte für die Parameter $a$ und $b$ aus der Tabelle abgelesen werden:

Tabellendaten zur exponentiellen Regression mit Werten für x und y.

Es ergeben sich also folgende Werte:

$a=4,99796 \approx 5$

$b=1,4167 \approx 1,42$

Die gesuchte Gleichung lautet also:

$v(t) = 5 \cdot 1,42^{t}$

3.1

Mit dem CAS kann eine Wertetabelle zur Funktion $g$ erstellt werden:

Die Werte von $t$ können im CAS im 4:Lists&Spreadsheet-Menu unter A eingefügt werden.

Die Funktionsvorschrift $g(t)=5\cdot \mathrm e^{0,347\cdot t}$ kann anschließend unter B eingefügt werden.

Der CAS berechnet nun die jeweiligen $y$ -Werte für $-0,5 \leq t \leq 5,5.$

Tabelle mit x- und y-Werten, die eine mathematische Funktion darstellen.

Durch Eintragen der gegebenen Punkte aus der Wertetabelle in das Säulendiagramm und Verbinden der benachbarten Punkte kann nun der Verlauf des Funktionsgraphen skizziert werden:

Saeulendiagramm Verkaufszahlen Smartphone Hessen Abi 2016

3.2

Inhalt der Fläche bestimmen

Der Funktionsterm von $g$ kann im CAS gespeichert werden und anschließend kann unter 4:Analysis der 2. Reiter Numerisches Integral gewählt werden.

Die Integrationsgrenzen sind gegeben durch $[0;5].$

Mathematische Gleichung mit Integral und grafischer Darstellung in einem digitalen Arbeitsblatt.

Es ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt \approx 67,28 \; [ \; \text{Mio.}]\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Wert im Sachzusammenhang deuten

Das Integral beschreibt den Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen $t = 0$ und $t = 5.$

Dieser Flächeninhalt entspricht der Anzahl aller zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 verkauften Smartphones.

Zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 wurden somit etwa 67,28 Millionen Smartphones verkauft.

3.3

Gesamtzahl bestimmen

Aufsummieren der Verkaufszahlen der Jahre 2008 bis 2013 aus der Tabelle ergibt:

Rechnung anzeigen

Zwischen 2008 und 2013 wurden folglich 85 Millionen Smartphones verkauft.

Abweichung erklären

In Aufgabenteil 3.2 ergab sich die gesamte Verkaufszahl mit Hilfe das Integrals durch etwa 67,28 Millionen Smartphones.

Im Säulendiagramms kann abgelesen werden, dass der Zeitpunkt $t=0$ nicht mit dem Anfang des Jahres 2008 übereinstimmt, sondern in der Mitte der entsprechenden Säule liegt.

In der Berechnung mit dem Integral fehlt folglich das erste Halbjahr von 2008. Analog verhält es sich mit dem zweiten Halbjahr von 2013. Somit fehlt jeweils die Hälfte der Verkaufszahlen von 2008 und 2013.

Der mit dem Integral berechnete Wert ist deshalb deutlich kleiner als der tatsächliche Wert der Verkaufszahl.

Modifikation erläutern

Um den gesamten Zeitraum von Anfang 2008 bis Ende 2013 im Integral zu berücksichtigen, müssen die Grenzen des Integrals verändert werden. Das Jahr 2008 beginnt zum Zeitpunkt $t = -0,5$ und das Jahr 2013 endet zum Zeitpunkt $t = 5,5$ .

Die untere Grenze des Integrals soll also nun $-0,5$ sein, die obere Grenze $5,5$ .

Modifikation angeben

Das modifizierte Integral lautet: $\displaystyle\int_{-0,5}^{5,5}\; 5 \cdot \mathrm e^{0,347 \cdot t}\mathrm dt$

3.4

Verkaufszahlen bestimmen

Für das Jahr 2030 gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 2008& \mathrel{\widehat{=}}&t = 0 & \\[5pt] 2030& \mathrel{\widehat{=}}&t = 22 \end{array}$

Einsetzen von $t=22$ in die Funktionsgleichug von $g$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} g(22)&=& 5 \cdot \mathrm e^{0,347 \cdot 22}&; \\[5pt] &\approx& 10336,5 \; \text{[Mio.]} \end{array}$

Die zu erwartende Verkaufszahl von Smartphones im Jahr 2030 entspricht etwa 10336,5 Millionen, also mehr als 10 Milliarden Smartphones.

Modellierung bewerten

Die errechnete Verkaufszahl für 2030 von über 10 Milliarden Smartphones ist nicht plausibel, da ein Land von 80 Millionen Einwohnern betrachtet wird. Es ist sehr unwahrscheinlich, dass 80 Millionen Menschen im Jahr 2030 10 Milliarden Smartphones kaufen.

Zudem erfährt der Markt eine zunehmende Sättigung, wodurch die Nachfrage nach einem Produkt sinkt. Ein dauerhaft exponentielles Wachstum der Verkaufszahlen ist also nicht realistisch.

1.1

Durch Einsetzen verschiedener Werte für $k\geq 1$ in die Funktion $f_k$ und Vergleichen der sich ergebenden Graphen kann der Einfluss des Parameters $k$ auf den Kurvenverlauf untersucht werden:

1.2

Hochpunkte bestimmen

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Extremstellen anwenden

Mit dem CAS können der Funktionsterm von $f_k$ und die erste Ableitung $\(f_k$ definiert werden.

Es soll gelten: $\(f_k$

Mit dem solve-befehl folgt:

Als mögliche Extremstelle ergibt sich somit $t=k.$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung für Extremstellen anwenden

Nach dem Definieren der zweiten Ableitung $\(f_k$ im CAS kann der Wert von $\(f_k$ berechnet werden:

Es ergibt sich also:

$\(f_k$

Bei $t=k$ handelt es sich folglich um eine Maximalstelle.

3. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen Mit dem CAS ergibt sich:

Die Graphen von $f_k$ besitzen also einen Hochpunkt mit den Koordinaten $H(k \mid k^2 \cdot \mathrm e^{-1})$ .

Wendepunkte bestimmen

1. Schritt: Notwendige Bedingung für Wendestellen anwenden

Die zweite Ableitung $f_k‘‘$ ist bereits im definiert.

Es soll gelten: $\(f_k$

Mit dem solve-Befehl des CAS folgt:

Laut Aufgabenstellung ist die Untersuchung der notwendigen Bedingung ausreichend. Die hinreichende Bedingung muss somit nicht mehr geprüft werden.

Die Wendestelle ergibt sich also an der Stelle $t=2k.$

2. Schritt: $y$ -Koordinate bestimmen

Mit dem CAS ergibt sich für $t=2 k:$

Die Koordinaten des Wendepunkts $W$ der Graphen von $f_k$ folgen also mit $W(2k\mid 2k^2 \cdot \mathrm{e^2})$ .

Begründung

Die notwendige Bedingung für einen Wendepunkt ist gegeben durch:

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt $\mathrm{e^{\frac{-t}{k}}}\gt0$ für alle $k \geq 1$ und somit ist die einzige Lösung des Terms gegeben durch $k-t=0.$

Analog lautet die Begründung für die Existenz genau eines Wendepunkts:

1.3

Zeitpunkt bestimmen

Der Zeitpunkt, an dem die meisten Smartphones pro Tag verkauft werden, entspricht der Maximalstelle der Funktion $f_{15}(t)$ .

Im Aufgabenteil 1.2 wurde bereits der Hochpunkt der Funktion $f_k$ in Abhängigkeit des Parameters $k$ bestimmt:

$H(k\mid k^2 \cdot \mathrm{e^{-1}})$

Für $k=15$ folgen die Koordinaten des Hochpunkts also mit $H(15\mid 15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}}).$

Die meisten Smartphones werden also am 15. Tag nach Beginn der Werbeaktion verkauft.

Anzahl der verkauften Smartphones berechnen

Die Anzahl der verkauften Smartphones am 15. Tag nach Beginn der Werbeaktion entspricht dem Funktionswert von $f_{15}$ an der Stelle $t=15.$

Die $y$ -Koordinate des Hochpunkts ist bereits gegeben durch:

$15^2 \cdot \mathrm{e^{-1}} \approx 82,77$

Am 15. Tag werden somit ungefähr 83 Smartphones verkauft.

Bedeutung der Wendestelle erläutern

Die Wendestelle von $f_{15}$ beschreibt den Zeitpunkt, an dem die Verkaufszahlen am stärksten zu- beziehungsweise abnehmen.

Einsetzen von $k=15$ in die Koordinaten des Wendepunkts aus Aufgabenteil 1.2 ergibt $W(30\mid 2\cdot 15^2\cdot \mathrm e^2).$

In Zusammenhang mit dem Verlauf des entsprechenden Graphen folgt somit, dass die Verkaufszahlen am 30. Tag nach Beginn der Werbeaktion am stärksten abnehmen.

2.1

Bei einem exponentiellen Wachstum erhöht sich der Funktionswert pro Zeitschritt immer um den gleichen Faktor:

$\dfrac{7,10}{5,00}=1,42$

$\dfrac{10,0}{7,10}\approx 1,41$

$\dfrac{14,2}{10,0}= 1,42$

$\dfrac{20,1}{14,2}\approx 1,42$

$\dfrac{28,6}{20,1}\approx 1,42$

Da sich ein annähernd konstanter Wachstumsfaktor erkennen lässt, handelt es sich hierbei um ein exponentielles Wachstum mit einem Mittelwert von 1,42.

2.2

Im Tabellenkalkulat-Menu können die Werte aus der Tabelle unter A eingetragen werden.

Mit folgendem Befehl kann anschließend die Regression durchgeführt werden:

Calc $\rightarrow$ Regressionen $\rightarrow$ Freie Exp. Regression

Tabelle mit Zahlen und einer Formel für exponentielle Regression.

Es ergeben sich also folgende Werte:

$a=4,9957228 \approx 5$

$b=1,4169063\approx 1,42$

Die gesuchte Gleichung lautet also:

$v(t) = 5 \cdot 1,42^{t}$

3.1

Mit dem CAS kann im Grafik & Tabelle-Menu die Funktionsvorschrift $g(t)=5\cdot \mathrm e^{0,347\cdot t}$ eingegeben werden.

In der Symbolleiste kann nun der 4. Reiter gewählt werden und der Startwert zu 0.5, das Ende zu 5.5 und die Schrittw. zu 0.5 definiert werden.

Die zugehörigen $y$ -Werte können durch Anwählen des Listensymbols im 3. Reiter bestimmt werden.

Durch Eintragen der gegebenen Punkte aus der Wertetabelle in das Säulendiagramm und Verbinden der benachbarten Punkte kann nun der Verlauf des Funktionsgraphen skizziert werden:

3.2

Inhalt der Fläche bestimmen

Nach dem Definieren der Funktion $g$ im CAS kann im Keyboard-Modus unter dem 3. Reiter Math3 das Integrationssymbol mit Integrationsgrenzen gewählt werden.

Die untere Grenze ist hierbei gegeben durch $t=0$ und die obere Grenze durch $t=5.$

Durch EXE kann die Funktion bestätigt werden und durch den Befehl approx ergibt sich im Anschluss der gerundete Wert des Integrals.

Es ergibt sich: $\begin{array}[t]{rll} \displaystyle\int_{0}^{5}g(t)\;\mathrm dt \approx 67,28 \; [ \; \text{Mio.}]\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Wert im Sachzusammenhang deuten

Das Integral beschreibt den Flächeninhalt unter dem Graphen zwischen $t = 0$ und $t = 5.$

Dieser Flächeninhalt entspricht der Anzahl aller zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 verkauften Smartphones.

Zwischen Mitte 2008 und Mitte 2013 wurden somit etwa 67,28 Millionen Smartphones verkauft.

3.3

Gesamtzahl bestimmen

Aufsummieren der Verkaufszahlen der Jahre 2008 bis 2013 aus der Tabelle ergibt:

Rechnung anzeigen

Zwischen 2008 und 2013 wurden folglich 85 Millionen Smartphones verkauft.

Abweichung erklären

In Aufgabenteil 3.2 ergab sich die gesamte Verkaufszahl mit Hilfe das Integrals durch etwa 67,28 Millionen Smartphones.

Im Säulendiagramms kann abgelesen werden, dass der Zeitpunkt $t=0$ nicht mit dem Anfang des Jahres 2008 übereinstimmt, sondern in der Mitte der entsprechenden Säule liegt.

Der mit dem Integral berechnete Wert ist deshalb deutlich kleiner als der tatsächliche Wert der Verkaufszahl.

Modifikation erläutern

Die untere Grenze des Integrals soll also nun $-0,5$ sein, die obere Grenze $5,5$ .

Modifikation angeben

Das modifizierte Integral lautet: $\displaystyle\int_{-0,5}^{5,5}\; 5 \cdot \mathrm e^{0,347 \cdot t}\mathrm dt$

3.4

Verkaufszahlen bestimmen

Für das Jahr 2030 gilt:

$\begin{array}[t]{rll} 2008& \mathrel{\widehat{=}}&t = 0 & \\[5pt] 2030& \mathrel{\widehat{=}}&t = 22 \end{array}$

Einsetzen von $t=22$ in die Funktionsgleichug von $g$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} g(22)&=& 5 \cdot \mathrm e^{0,347 \cdot 22}&; \\[5pt] &\approx& 10336,5 \; \text{[Mio.]} \end{array}$

Die zu erwartende Verkaufszahl von Smartphones im Jahr 2030 entspricht etwa 10336,5 Millionen, also mehr als 10 Milliarden Smartphones.

Modellierung bewerten

Zudem erfährt der Markt eine zunehmende Sättigung, wodurch die Nachfrage nach einem Produkt sinkt. Ein dauerhaft exponentielles Wachstum der Verkaufszahlen ist also nicht realistisch.