Wahlaufgaben

5 Analysis

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktionenschar Formula: f_a mit der Gleichung $Formula: f_a(x)=\cos (2 x)+a$ $Formula: f_a(x)=\cos (2 x)+a$ mit $Formula: a \in \mathbb{R}.$ $Formula: a \in \mathbb{R}.$

5.1

Gib für Formula: a=1 die beiden Nullstellen von Formula: f_a im Bereich $Formula: 0 \leq x\leq 2 \pi$ $Formula: 0 \leq x\leq 2 \pi$ an.

2 BE

5.2

Ermittle alle Werte von Formula: a, für die Folgendes gilt:

Jede Stammfunktion von ist an jeder Stelle $Formula: x \in \mathbb{R}$ $Formula: x \in \mathbb{R}$ monoton steigend.

3 BE

6 Analysis

Gegeben sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten ganzrationalen Funktionen $Formula: f_{a, c}$ $Formula: f_{a, c}$ mit der Gleichung $Formula: f_{a, c}(x)=a \cdot x^4+c \cdot x^2$ $Formula: f_{a, c}(x)=a \cdot x^4+c \cdot x^2$ sowie $Formula: a, c \in \mathbb{R}.$ $Formula: a, c \in \mathbb{R}.$

Für bestimmte Werte von Formula: a und Formula: c hat der Graph von $Formula: f_{a,c}$ $Formula: f_{a,c}$ Wendestellen bei Formula: 1 sowie bei Formula: -1. Die Tangenten in diesen Wendepunkten sind senkrecht zueinander.

6.1

Begründe, dass diese Tangenten die Anstiege Formula: 1 sowie Formula: -1 haben.

2 BE

6.2

Bestimme die möglichen Werte von Formula: a und Formula: c.

3 BE

7 Analytische Geometrie

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_s C_t mit $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B_s(4 s\mid3s\mid0)$ und $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$ $Formula: s, t \in \mathbb{R}^{+}.$

7.1

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

7.2

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, so dass das Dreieck Formula: A B_s C_t gleichschenklig ist. Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s \mid t)$ $Formula: (s \mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Gerade liegen.

3 BE

8 Analytische Geometrie

Für jeden Wert von $Formula: t \in \mathbb{R}^{+}$ $Formula: t \in \mathbb{R}^{+}$ ist die Pyramide Formula: A_t B_t C D S_t mit der Grundfläche und der Spitze Formula: S_t gegeben. Dabei gilt $Formula: A_t(1\mid1+2 t\mid 0), B_t(-1\mid1+2 t\mid 0),$ $Formula: A_t(1\mid1+2 t\mid 0), B_t(-1\mid1+2 t\mid 0),$ $Formula: C(-1\mid-1\mid 0), D(1\mid-1\mid 0)$ $Formula: C(-1\mid-1\mid 0), D(1\mid-1\mid 0)$ und $Formula: S_t(0\mid t\mid 6).$ $Formula: S_t(0\mid t\mid 6).$ Jede Pyramide Formula: A_t B_t C D S_t besitzt genau zwei Symmetrieebenen.

Gib für jeden Wert von Formula: t jeweils eine Gleichung für die beiden zugehörigen Symmetrieebenen an und begründe deine Angaben.

5 BE

9 Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

9.1

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ $Formula: 1-\tfrac{2}{5} \cdot \tfrac{1}{4}$ berechnet werden kann.

1 BE

9.2

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16. Bestimme Formula: a und Formula: b .

4 BE

10 Stochastik

Bei einem Rollenspiel werden den Spielerinnen und Spielern bestimmte Charakterwerte für z. B. Intelligenz oder Stärke in Form von natürlichen Zahlen von Formula: 1 bis Formula: 20 zufällig zugeteilt. Dabei sollen extreme Charakterwerte unter Formula: 5 sowie über Formula: 18 nur sehr selten vorkommen.

Zur Ermittlung der Charakterwerte schlagen Kim, Maria und Norbert folgende Verfahren vor:

Kim:	Der Charakterwert wird durch einmaliges Werfen eines idealen Spielwürfels mit den Augenzahlen bis bestimmt.
Maria:	Es werden 20 ideale Münzen (mit Wappen/Zahl) geworfen. Die Anzahl der Wappen ergibt den Charakterwert.
Norbert:	Es werden drei ideale Spielwürfel mit den Augenzahlen bis geworfen. Die Summe aus den drei Augenzahlen und der Zahl ergibt den Charakterwert.

Balkendiagramm (Histogramm) der Wahrscheinlichkeiten für Charakterwerte, Spitze bei etwa 10

Balkendiagramm mit gleich hohen Balken: Wahrscheinlichkeit ~0,05 für Charakterwerte 0–20.

Histogramm/Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung des Charakterwerts 0–20, symmetrischer Gipfel um etwa 12.

Abbildung: Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Charakterwerte für die vorgeschlagenen Verfahren

10.1

Ordne den vorgeschlagenen Verfahren jeweils die passende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu.

2 BE

10.2

Beurteile jedes der vorgeschlagenen Verfahren bezüglich seiner Eignung für die Ermittlung der Charakterwerte.

3 BE

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5 Analysis

5.1

Der Kosinus hat bei jedem ungeraden Vielfachen von $Formula: \pi$ $Formula: \pi$ eine Nullstelle. Somit folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&\dfrac{1}{2}\pi \\[5pt] x_2&=&\dfrac{3}{2}\pi \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} x_1&=&\dfrac{1}{2}\pi \\[5pt] x_2&=&\dfrac{3}{2}\pi \end{array}$

5.2

Die Funktion mit der Gleichung $Formula: f(x)=\cos (2 x)$ $Formula: f(x)=\cos (2 x)$ hat das Minimum Formula: -1. Wegen Formula: f_a(x)=f(x)+a ist somit $Formula: f_a(x)\geq0$ $Formula: f_a(x)\geq0$ für alle $Formula: x\in\mathbb{R}$ $Formula: x\in\mathbb{R}$ genau dann wenn $Formula: a\geq1$ $Formula: a\geq1$ gilt. Somit gilt die Aussage aus der Aufgabenstellung für alle $Formula: a\geq1.$ $Formula: a\geq1.$

6 Analysis

6.1

Die Funktionen $Formula: f_{a,c}$ $Formula: f_{a,c}$ haben nur Exponenten von Formula: x mit geradzahligen Exponenten. Somit sind die Graphen achsensymmetrisch zur Formula: y -Achse, wodurch folgt, dass sich die Steigungen Formula: m_1 und Formula: m_2 der Tangenten nur im Vorzeichen unterscheiden. Durch die Orthogonalität folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_1&=&-\dfrac{1}{m_2} \\[5pt] m_1&=&-\dfrac{1}{-m_1} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot m_1\\[5pt] m_1^2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] m_1&=&\pm1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} m_1&=&-\dfrac{1}{m_2} \\[5pt] m_1&=&-\dfrac{1}{-m_1} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot m_1\\[5pt] m_1^2&=&1 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] m_1&=&\pm1 \end{array}$

Somit haben die Tangenten die Steigungen Formula: 1 und Formula: -1.

6.2

Für die ersten beiden Ableitungen von Formula: f gilt:

$Formula: f^{\prime}(x)=4 a x^3+2 c x$ $Formula: f^{\prime}(x)=4 a x^3+2 c x$

$Formula: f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 c$ $Formula: f^{\prime \prime}(x)=12 a x^2+2 c$

Die Wendestelle bei Formula: 1 liefert die Bedingung Formula: f''(1)=0 und die Tangenten die Bedingung $Formula: f'(1)=\pm1.$ $Formula: f'(1)=\pm1.$ Die erste Bedingung liefert für Formula: c:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&0 \\[5pt] 12a\cdot1^2+2c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-12a \\[5pt] 2c&=&-12a &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] c&=&-6a \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f''(1)&=&0 \\[5pt] 12a\cdot1^2+2c&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-12a \\[5pt] 2c&=&-12a &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] c&=&-6a \end{array}$

Einsetzen in die zweite Bedingung liefert dann für Formula: a:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(1)&=&\pm1 \\[5pt] 4a\cdot1^3+2c\cdot1&=&\pm1 \\[5pt] 4a+2\cdot(-6a)&=&\pm1 \\[5pt] -8a&=&\pm1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-8) \\[5pt] a&=&\mp\dfrac{1}{8} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(1)&=&\pm1 \\[5pt] 4a\cdot1^3+2c\cdot1&=&\pm1 \\[5pt] 4a+2\cdot(-6a)&=&\pm1 \\[5pt] -8a&=&\pm1 &\quad\scriptsize\mid\;:(-8) \\[5pt] a&=&\mp\dfrac{1}{8} \end{array}$

Somit folgt $Formula: a=\mp\tfrac{1}{8}$ $Formula: a=\mp\tfrac{1}{8}$ und $Formula: c=\pm\tfrac{6}{8}=\pm\tfrac{3}{4}.$ $Formula: c=\pm\tfrac{6}{8}=\pm\tfrac{3}{4}.$

7 Analytische Geometrie

7.1

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: xy -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: z -Achse.

7.2

Es kann aus der Abbildung abgelesen werden, dass die Gerade die Gleichung Formula: t=5s hat. Für die folgenden Werte ist das Dreieck gleichschenklig:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$

Somit liegen die Punkte auf der dargestellten Geraden.

8 Analytische Geometrie

Die eine Symmetrieebene ist durch Formula: x=0 gegeben. Das liegt daran, dass die Koordinaten von Formula: D und Formula: C bzw. von Formula: A_t und Formula: B_t sich nur im Vorzeichen der -Koordinate unterscheiden. Die -Koordinate der Spitze Formula: S_t ist zudem Formula: 0.

Die andere Symmetrieebene ist Formula: y=t, denn die Koordinaten von Formula: D und Formula: A_t bzw. von Formula: C und Formula: B_t unterscheiden sich nur in der -Koordinate und der Mittelwert der -Koordinaten der Punkte und bzw. von und ist genau $Formula: \tfrac{1+2 t+(-1)}{2}=t.$ $Formula: \tfrac{1+2 t+(-1)}{2}=t.$ Die Formula: y -Koordinate der Spitze Formula: S_t ist zudem Formula: t.

9 Stochastik

9.1

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

9.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 &\quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 &\quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

10 Stochastik

10.1

Kim:
Maria:
Norbert:

10.2

Das Kriterium, dass extreme Charakterwerte unter Formula: 5 oder über Formula: 18 sehr selten vorkommen sollen, ist bei Verfahren Formula: B überhaupt nicht gegeben, da alle Werte gleich wahrscheinlich sind. Verfahren ist also ungeeignet.

Verfahren Formula: A liefert für Charakterwerte unter Formula: 5 oder über Formula: 18 sehr geringe Wahrscheinlichkeiten. Dieses Verfahren ist also geeignet.

Bei Verfahren Formula: C sind Werte unter Formula: 5 überhaupt nicht möglich, obwohl sie eigentlich nur sehr selten vorkommen sollten. Der Charakterwert Formula: 19 kommt zudem mit ca. $Formula: 1,5\,\%$ $Formula: 1,5\,\%$ nicht sehr selten vor. Verfahren ist also ebenfalls ungeeignet.

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