Pflichtaufgaben

1 Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: g mit Formula: g(x)=-2 x+4.

Koordinatensystem mit Gitternetz und fallender Geraden, Schnittpunkte bei y≈5 und x≈2.

1.1

Es gibt eine positive reelle Zahl Formula: k, die Lösung der Gleichung $Formula: \int_0^k g(x) \;\mathrm d x=0$ $Formula: \int_0^k g(x) \;\mathrm d x=0$ ist.

Veranschauliche in der Abbildung für diese Zahl Formula: k die geometrische Bedeutung der Gleichung.

2 BE

1.2

Bestimme alle Stammfunktionen von Formula: g, die ausschließlich negative Funktionswerte haben.

3 BE

2 Analysis

Gegeben ist die Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\mathrm e^x \cdot(2 x+1)+2$ $Formula: f(x)=\mathrm e^x \cdot(2 x+1)+2$ mit $Formula: x \in \mathbb{R}.$ $Formula: x \in \mathbb{R}.$

2.1

Zeige, dass $Formula: f^{\prime}(x)=\mathrm e^x \cdot(2 x+3)$ $Formula: f^{\prime}(x)=\mathrm e^x \cdot(2 x+3)$ eine Gleichung der 1. Ableitungsfunktion von ist.

1 BE

2.2

Die Tangente an den Graphen von Formula: f in seinem Schnittpunkt mit der Formula: y -Achse begrenzt mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck.

Berechne den Flächeninhalt dieses Dreiecks.

4 BE

3 Analytische Geometrie

Gegeben sind die Gerade $Formula: g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$ $Formula: g: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}-4 \\ 2 \\ -2\end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix}-2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}$ mit $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E: −2x + y − 2z − 2 = 0.

3.1

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(−4 \mid 2 \mid −2)$ $Formula: P(−4 \mid 2 \mid −2)$ in liegt.

2 BE

3.2

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

4 Stochastik

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0,5.

4.1

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

4.2

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma),$ $Formula: P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

1 Analysis

1.1

Koordinatensystem mit fallender Geraden und zwei schattierten Dreiecken A1 (links oben) und A2 (rechts unten)

1.2

Für die Stammfunktionen von Formula: g gilt:

Formula: G_c(x)=-x^2+4x+c

Da Formula: g bei Formula: x=2 eine Nullstelle hat, in der das Vorzeichen von Plus nach Minus wechselt, haben die Stammfunktionen dort eine Hochstelle. Damit ergibt sich für den größten Funktionswert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} G_c(2)&=&-2^2+4\cdot2+c \\[5pt] &=&4+c \end{array}$

Somit haben alle Stammfunktionen mit $Formula: c\lt-4$ $Formula: c\lt-4$ ausschließlich negative Funktionswerte.

2 Analysis

2.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&\mathrm e^x\cdot(2x+1)+\mathrm e^x\cdot2 \\[5pt] &=&\mathrm e^x\cdot(2x+3) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(x)&=&\mathrm e^x\cdot(2x+1)+\mathrm e^x\cdot2 \\[5pt] &=&\mathrm e^x\cdot(2x+3) \end{array}$

2.2

Für den Formula: y -Achsenabschnitt des Graphen von Formula: f folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(0)&=&\mathrm e^0\cdot(2\cdot0+1)+2 \\[5pt] &=&1+2 \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f(0)&=&\mathrm e^0\cdot(2\cdot0+1)+2 \\[5pt] &=&1+2 \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Für die Steigung der Tangente gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(0)&=&\mathrm e^0\cdot(2\cdot0+3) \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f'(0)&=&\mathrm e^0\cdot(2\cdot0+3) \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Einsetzen von Formula: y=0 in die Tangentengleichung Formula: y=3x+3 liefert für die Nullstelle der Tangente:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&3x+3 &\quad\scriptsize\mid\;-3\\[5pt] -3&=&3x &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] -1&=&x \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0&=&3x+3 &\quad\scriptsize\mid\;-3\\[5pt] -3&=&3x &\quad\scriptsize\mid\;:3 \\[5pt] -1&=&x \end{array}$

Der gesuchte Flächeninhalt des Dreiecks ergibt sich somit wie folgt:

$Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot3=\dfrac{3}{2}$ $Formula: A=\dfrac{1}{2}\cdot1\cdot3=\dfrac{3}{2}$

3 Analytische Geometrie

3.1

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

3.2

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe a in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

4 Stochastik

4.1

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

4.2

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?