5 Stochastik – Wahlaufgabe

Mehl wird maschinell in $Formula: 1000\text{-}\mathrm{g}$ $Formula: 1000\text{-}\mathrm{g}$ -Packungen abgefüllt. Dabei treten bei den einzelnen Packungen Abweichungen der tatsächlichen Füllmenge von der angegebenen Füllmenge (der sogenannten Nennfüllmenge) auf. Weiterhin können Fehler beim Druck des Packungsmaterials auftreten. $Formula: 2\,\%$ $Formula: 2\,\%$ aller Packungen weisen einen Druckfehler auf und $Formula: 3\,\%$ $Formula: 3\,\%$ aller Packungen besitzen keine ausreichende Füllmenge.

5.1

Zur Qualitätssicherung werden der laufenden Produktion Packungen zufällig entnommen und überprüft. Betrachtet werden dabei die Ereignisse

	„Die tatsächliche Füllmenge ist ausreichend.“
	„Die Packung hat keinen Druckfehler.“

Es gilt: $Formula: P\left(D \cap \overline{F}\right)=2,94\,\%$ $Formula: P\left(D \cap \overline{F}\right)=2,94\,\%$

5.1.1

Stelle den Sachzusammenhang in einer Vierfeldertafel dar und gib die Bedeutung des Ereignisses $Formula: D \cap \overline{F}$ $Formula: D \cap \overline{F}$ an.

4 BE

5.1.2

Zeige, dass die Ereignisse Formula: D und Formula: F stochastisch unabhängig sind.

2 BE

5.1.3

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Packung entweder keinen Druckfehler oder eine ausreichende Füllmenge aufweist.

2 BE

5.2

Die Fertigpackungsverordnung regelt in Deutschland die Abfüllung von Erzeugnissen wie z. B. Lebensmitteln. Für verschiedene Nennfüllmengen von Packungen sind dazu die jeweils erlaubten Abweichungen der Nennfüllmenge nach unten (die sogenannten Minusabweichungen) in Gramm oder Prozent angegeben. Die folgende Tabelle zeigt einen Ausschnitt davon.

Nennfüllmenge in $Formula: \text{g}$ $Formula: \text{g}$ oder $Formula: \text{ml}$ $Formula: \text{ml}$	Zulässige Minusabweichung
	in $Formula: \%$ $Formula: \%$	in $Formula: \text{g}$ $Formula: \text{g}$ oder $Formula: \text{ml}$ $Formula: \text{ml}$
$Formula: \boldsymbol{200}$ $Formula: \boldsymbol{200}$ bis $Formula: \boldsymbol{300}$ $Formula: \boldsymbol{300}$
$Formula: \boldsymbol{300}$ $Formula: \boldsymbol{300}$ bis $Formula: \boldsymbol{500}$ $Formula: \boldsymbol{500}$
$Formula: \boldsymbol{500}$ $Formula: \boldsymbol{500}$ bis $Formula: \boldsymbol{1000}$ $Formula: \boldsymbol{1000}$
$Formula: \boldsymbol{1000}$ $Formula: \boldsymbol{1000}$ bis $Formula: \boldsymbol{10000}$ $Formula: \boldsymbol{10000}$

Die normalverteilte Zufallsgröße Formula: X mit $Formula: \mu=1000$ $Formula: \mu=1000$ und $Formula: \sigma=8$ $Formula: \sigma=8$ beschreibt modellhaft die tatsächliche Füllmenge einer der Produktion zufällig entnommenen $Formula: 1000\text{-g}$ $Formula: 1000\text{-g}$ -Packung in Gramm.

5.2.1

Berechne für eine $Formula: 1000\text{-g}$ $Formula: 1000\text{-g}$ -Packung die Wahrscheinlichkeiten für folgende Ereignisse:

	„Die Packung hat eine ausreichende Füllmenge.“
	„Die Füllmenge der Packung weicht um mehr als $Formula: 5\;\text{g}$ $Formula: 5\;\text{g}$ vom Sollwert ab.“

4 BE

5.2.2

Die Zufallsgröße Formula: X kann negative Werte annehmen, die Füllmenge jedoch nicht.

Begründe, dass die Normalverteilung zur Modellierung der Füllmenge dennoch gut geeignet ist.

2 BE

5.2.3

Ermittle den kleinsten ganzzahligen Wert von $Formula: \mu,$ $Formula: \mu,$ sodass bei gleichbleibender Standardabweichung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Füllmenge einer Packung weniger als $Formula: 985\;\text{g}$ $Formula: 985\;\text{g}$ beträgt, kleiner als $Formula: 1\,\%$ $Formula: 1\,\%$ ist.

3 BE

5.2.4

In der Fertigverpackungsverordnung steht sinngemäß: „Bei der Anwendung dieser Tabelle sind die in Gramm berechneten Werte der zulässigen Minusabweichung auf $Formula: 0,1 \mathrm{~g}$ $Formula: 0,1 \mathrm{~g}$ aufzurunden."

Beurteile, unter welcher Bedingung eine Binomialverteilung für diese Modellierung nutzbar ist, und begründe, dass dennoch die Normalverteilung in der Praxis genutzt wird.

3 BE

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5.1

5.1.1

Sachzusammenhang darstellen

	$Formula: \boldsymbol{F}$ $Formula: \boldsymbol{F}$	$Formula: \boldsymbol{\overline{F}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{F}}$
$Formula: \boldsymbol{D}$ $Formula: \boldsymbol{D}$	$Formula: 95,06\,\%$ $Formula: 95,06\,\%$	$Formula: 2,94\,\%$ $Formula: 2,94\,\%$	$Formula: 98\,\%$ $Formula: 98\,\%$
$Formula: \boldsymbol{\overline{D}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{D}}$	$Formula: 1,94\,\%$ $Formula: 1,94\,\%$	$Formula: 0,06\,\%$ $Formula: 0,06\,\%$	$Formula: 2\,\%$ $Formula: 2\,\%$
	$Formula: 97\,\%$ $Formula: 97\,\%$	$Formula: 3\,\%$ $Formula: 3\,\%$	$Formula: 100\,\%$ $Formula: 100\,\%$

Bedeutung angeben

Die Packung ist ohne Druckfehler und besitzt keine ausreichende Füllmenge.

5.1.2

$Formula: P(F)\cdot P(D)=0,97\cdot0,98=0,9506$ $Formula: P(F)\cdot P(D)=0,97\cdot0,98=0,9506$

Zudem liefert die Vierfeldertafel $Formula: P(D\cap F)=95,06\,\%$ $Formula: P(D\cap F)=95,06\,\%$ Formula: =0,9506. Damit gilt $Formula: P(F)\cdot P(D)=P(D\cap F)$ $Formula: P(F)\cdot P(D)=P(D\cap F)$ und die beiden Ereignisse sind stochastisch unabhängig.

5.1.3

Mit der Vierfeldertafel folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P\left(D\cap\overline{F}\right)+P\left(F\cap\overline{D}\right)&=&2,94\,\%+1,94\,\% \\[5pt] &=&4,88\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P\left(D\cap\overline{F}\right)+P\left(F\cap\overline{D}\right)&=&2,94\,\%+1,94\,\% \\[5pt] &=&4,88\,\% \end{array}$

5.2

5.2.1

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(X\geq1000-15) \\[5pt] &=&P(X\geq985) \\[5pt] &\approx&0,97 \\[5pt] &=&97\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(A)&=&P(X\geq1000-15) \\[5pt] &=&P(X\geq985) \\[5pt] &\approx&0,97 \\[5pt] &=&97\,\% \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} P(B)&=&1-P(995\leq X\leq1005) \\[5pt] &\approx&1-0,47 \\[5pt] &=&0,53 \\[5pt] &=&53\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} P(B)&=&1-P(995\leq X\leq1005) \\[5pt] &\approx&1-0,47 \\[5pt] &=&0,53 \\[5pt] &=&53\,\% \end{array}$

5.2.2

Es gilt $Formula: P(X\lt0) \approx 0.$ $Formula: P(X\lt0) \approx 0.$ Somit ist die Normalverteilung für die Modellierung geeignet, da die Wahrscheinlichkeiten für negative Werte der Zufallsgröße vernachlässigbar klein sind.

5.2.3

Systematische Ausprobieren liefert:

$Formula: \mu=1004{:}$ $Formula: \mu=1004{:}$	$Formula: P(X\lt985) \approx 0,0088$ $Formula: P(X\lt985) \approx 0,0088$
$Formula: \mu=1003{:}$ $Formula: \mu=1003{:}$	$Formula: P(X\lt985) \approx 0,0122$ $Formula: P(X\lt985) \approx 0,0122$

5.2.4

Um eine Binomialverteilung zu verwenden, müssen natürliche Zahlen als Zufallsgrößen verwendet werden. Daher müssen alle Füllmengenwerte mit Formula: 10 multipliziert werden, um keine Nachkommastelle zu haben. In der Realität kommen aber aufgrund der Stetigkeit der unterschiedlichen Füllmengen weiterhin Werte heraus, die gerundet werden müssen. Daher erscheint die Normalverteilung sinnvoller als die Binomialverteilung.

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