2 Analytische Geometrie – Wahlaufgabe

Gegeben ist die Schar der Pyramiden Formula: P_k mit der quadratischen Grundfläche Formula: A B C D mit den Eckpunkten $Formula: A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0),$ $Formula: A(0\mid0\mid 0), B(4\mid0\mid 0),$ $Formula: C(4\mid4\mid 0), D(0\mid4\mid 0)$ $Formula: C(4\mid4\mid 0), D(0\mid4\mid 0)$ und den Spitzen $Formula: S_k\left(4-2 k\,\big\vert\,3 k^2-1\,\big\vert\, \tfrac{5}{2} k^2\right)$ $Formula: S_k\left(4-2 k\,\big\vert\,3 k^2-1\,\big\vert\, \tfrac{5}{2} k^2\right)$ mit $Formula: k\in \mathbb{R}, k\neq 0.$ $Formula: k\in \mathbb{R}, k\neq 0.$

2.1

Begründe, dass Formula: P_1 mit der Spitze $Formula: S_1\left(2\,\big\vert\,2\,\big\vert\,\tfrac{5}{2}\right)$ $Formula: S_1\left(2\,\big\vert\,2\,\big\vert\,\tfrac{5}{2}\right)$ eine gerade Pyramide ist.

2 BE

2.2

Ermittle für Formula: k=3 das Volumen der Pyramide.

2 BE

2.3

Die Abbildungen 1, 2 und 3 zeigen Pyramiden, von denen zwei zur Schar Formula: P_k gehören. Entscheide, welche Pyramide nicht zu gehört, und begründe deine Entscheidung.

3D-Koordinatensystem (x,y,z) mit schräger dreieckiger Fläche und gestrichelten Kanten.

Abbildung 1

3D-Koordinatensystem (x,y,z) mit Ebene und dreieckiger Fläche samt gestrichelten Projektionslinien.

Abbildung 2

Pyramide in einem 3D-Koordinatensystem mit x-, y-, z-Achsen und gestrichelten Höhen- und Diagonallinien

Abbildung 3

2 BE

2.4

Durch die Punkte Formula: B, C und Formula: S_3 wird die Ebene $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ festgelegt.

2.4.1

Ermittle eine Gleichung von $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ in Koordinatenform.

Zur Kontrolle: Formula: 15 x+4 z=60

4 BE

2.4.2

Die Gerade Formula: g mit der Gleichung $Formula: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OD}+t\cdot\left(\begin{array}{c}15 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{x}=\overrightarrow{OD}+t\cdot\left(\begin{array}{c}15 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ und $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ haben den Punkt Formula: Q gemeinsam. Gib die Bedeutung des Terms $Formula: \left|\overrightarrow{D Q}\right|$ $Formula: \left|\overrightarrow{D Q}\right|$ für $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ und Formula: D an und begründe deine Angabe.

2 BE

2.4.3

Berechne die Größe des Winkels, den $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ mit der Formula: xy -Ebene einschließt.

3 BE

2.5

Betrachtet wird das schiefe Prisma Formula: ABCDEFGH mit der Grundfläche und dem Eckpunkt $Formula: E(-1\mid9\mid 10).$ $Formula: E(-1\mid9\mid 10).$ Das Prisma und die Pyramide Formula: P_k sind für einen Wert von Formula: k in Abbildung 4 dargestellt. Untersuche, ob es Werte von gibt, für die Formula: S_k in der Fläche Formula: EFGH des Prismas liegt.

Grafik: Überlappende geometrische Körper (Pyramide mit Spitze S_k, schräges Prisma/Quader) mit Punkten A, B, C, D, E, F, G, H.

Abbildung 4

5 BE

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2.1

Aus den Koordinaten der Eckpunkte der Grundfläche lässt sich erkennen, dass $Formula: M(2\mid2\mid0)$ $Formula: M(2\mid2\mid0)$ ihr Mittelpunkt ist. Da der Punkt Formula: S_1 die gleichen Formula: x - und Formula: y -Koordinaten wie besitzt, ist die Pyramide Formula: P_1 somit gerade.

2.2

Für Formula: k=3 hat die Spitze die folgenden Koordinaten:

$Formula: S_3\left(-2\mid26\mid\tfrac{45}{2}\right)$ $Formula: S_3\left(-2\mid26\mid\tfrac{45}{2}\right)$

Die Seitenlängen der Grundfläche der Pyramide lassen sich direkt als Formula: 4 ablesen. Zusammen mit der Höhe von $Formula: \tfrac{45}{2}$ $Formula: \tfrac{45}{2}$ folgt dann:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot 4^2\cdot\dfrac{45}{2} \\[5pt] &=&120\;[\text{VE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V&=&\dfrac{1}{3}\cdot G\cdot h \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\cdot 4^2\cdot\dfrac{45}{2} \\[5pt] &=&120\;[\text{VE}] \end{array}$

2.3

Die Pyramide aus Abbildung 2 gehört nicht zu Formula: P_k, denn für jeden Wert von Formula: k ist die Formula: z -Koordinate des Punktes Formula: S_k größer als Formula: 0.

2.4

2.4.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BC}&=&\pmatrix{4-4\\4-0\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BC}&=&\pmatrix{4-4\\4-0\\0-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4\\0} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BS_3}&=&\pmatrix{-2-4\\26-0\\\tfrac{45}{2}-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\26\\\tfrac{45}{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{BS_3}&=&\pmatrix{-2-4\\26-0\\\tfrac{45}{2}-0} \\[5pt] &=&\pmatrix{-6\\26\\\tfrac{45}{2}} \end{array}$

Für einen möglichen Normalenvektor der Ebene folgt somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS_3} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4\\0}\times\pmatrix{-6\\26\\\tfrac{45}{2}} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\cdot\tfrac{45}{2}-0\\0-0\\0-(4\cdot(-6))} \\[5pt] &=&\pmatrix{90\\0\\24} \\[5pt] &=&6\cdot\pmatrix{15\\0\\4} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{n}&=&\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BS_3} \\[5pt] &=&\pmatrix{0\\4\\0}\times\pmatrix{-6\\26\\\tfrac{45}{2}} \\[5pt] &=&\pmatrix{4\cdot\tfrac{45}{2}-0\\0-0\\0-(4\cdot(-6))} \\[5pt] &=&\pmatrix{90\\0\\24} \\[5pt] &=&6\cdot\pmatrix{15\\0\\4} \end{array}$

Mit $Formula: \overrightarrow{n_\varepsilon}=\tfrac{1}{6}\cdot\overrightarrow{n}$ $Formula: \overrightarrow{n_\varepsilon}=\tfrac{1}{6}\cdot\overrightarrow{n}$ als Normalenvektor ergibt sich die allgemeine Ebenengleichung $Formula: \varepsilon:15x+4z=d.$ $Formula: \varepsilon:15x+4z=d.$ Einsetzen der Koordinaten von z.B. Formula: B liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 15\cdot4+4\cdot0&=&d \\[5pt] 60&=&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 15\cdot4+4\cdot0&=&d \\[5pt] 60&=&d \end{array}$

Eine mögliche Ebenengleichung ist somit durch $Formula: \varepsilon:15x+4z=60$ $Formula: \varepsilon:15x+4z=60$ gegeben.

2.4.2

Der Term gibt den Abstand des Punktes Formula: D zur Ebene $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ an, denn der Richtungsvektor von Formula: g ist ein Normalenvektor von $Formula: \varepsilon.$ $Formula: \varepsilon.$

2.4.3

Der Vektor $Formula: \overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}$ $Formula: \overrightarrow{n_{xy}}=\pmatrix{0\\0\\1}$ ist ein Normalenvektor der Formula: xy -Ebene. Damit folgt für den gesuchten Winkel:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_\varepsilon}\circ\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_\varepsilon}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{15\\0\\4}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{15\\0\\4}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{241}\cdot\sqrt{1}} &\quad\scriptsize\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{241}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&75,1^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_\varepsilon}\circ\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_\varepsilon}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n_{xy}}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{15\\0\\4}\circ\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{15\\0\\4}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\0\\1}\right\vert} \\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{4}{\sqrt{241}\cdot\sqrt{1}} &\quad\scriptsize\;\cos^{-1}\\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{4}{\sqrt{241}}\right) \\[5pt] \alpha&\approx&75,1^\circ \end{array}$

2.5

Für die Gleichung der Ebene, die die Seitenfläche Formula: EFGH für $Formula: 0\leq r\leq1$ $Formula: 0\leq r\leq1$ und $Formula: 0\leq s\leq 1$ $Formula: 0\leq s\leq 1$ beschreibt, gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OE}+r\cdot\overrightarrow{EF}+s\cdot\overrightarrow{EH} \\[5pt] &=&\overrightarrow{OE}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\9\\10}+r\cdot\pmatrix{4\\0\\0}+s\cdot\pmatrix{0\\4\\0} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OE}+r\cdot\overrightarrow{EF}+s\cdot\overrightarrow{EH} \\[5pt] &=&\overrightarrow{OE}+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD} \\[5pt] &=&\pmatrix{-1\\9\\10}+r\cdot\pmatrix{4\\0\\0}+s\cdot\pmatrix{0\\4\\0} \end{array}$

Gleichsetzen mit den Koordinaten von Formula: S_k liefert folgendes lineares Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&4-2k&=& -1+4r \\\text{II}\quad&3k^2-1&=&9+4s \\\text{III}\quad&\dfrac{5}{2}k^2&=& 10 \\\end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&4-2k&=& -1+4r \\\text{II}\quad&3k^2-1&=&9+4s \\\text{III}\quad&\dfrac{5}{2}k^2&=& 10 \\\end{array}$

Gleichung $Formula: \text{III}$ $Formula: \text{III}$ liefert für Formula: k:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{5}{2}k^2&=&10 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{2}{5}\\[5pt] k^2&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\pm2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{5}{2}k^2&=&10 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{2}{5}\\[5pt] k^2&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] k&=&\pm2 \end{array}$

Einsetzen von Formula: k=2 in Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4-2\cdot2&=&-1+4r &\quad\scriptsize\mid\;+1\\[5pt] 1&=&4r &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{1}{4}&=&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4-2\cdot2&=&-1+4r &\quad\scriptsize\mid\;+1\\[5pt] 1&=&4r &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{1}{4}&=&r \end{array}$

Für den gleichen Wert von Formula: k liefert Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ den folgenden Wert für Formula: s:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3\cdot2^2-1&=&9+4s &\quad\scriptsize\mid\;-9\\[5pt] 2&=&4s &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&s \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3\cdot2^2-1&=&9+4s &\quad\scriptsize\mid\;-9\\[5pt] 2&=&4s &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&s \end{array}$

Einsetzen von Formula: k=-2 in Gleichung $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4-2\cdot(-2)&=&-1+4r &\quad\scriptsize\mid\;+1\\[5pt] 9&=&4r &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{9}{4}&=&r \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 4-2\cdot(-2)&=&-1+4r &\quad\scriptsize\mid\;+1\\[5pt] 9&=&4r &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{9}{4}&=&r \end{array}$

Für den gleichen Wert von Formula: k liefert Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ den folgenden Wert für Formula: s:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3\cdot(-2)^2-1&=&9+4s &\quad\scriptsize\mid\;-9\\[5pt] 2&=&4s &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&s \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 3\cdot(-2)^2-1&=&9+4s &\quad\scriptsize\mid\;-9\\[5pt] 2&=&4s &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \dfrac{1}{2}&=&s \end{array}$

Da für Formula: k=-2 der Wert von Formula: r größer als Formula: 1 ist, ist der einzige Wert von Formula: k, für den Formula: S_k in der Fläche Formula: EFGH des Prismas liegt, Formula: k=2.

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