1 Analysis – Pflichtaufgabe

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktionenschar Formula: f_a durch die Gleichung $Formula: f_a(x)=\left(\tfrac{1}{2} x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{ax}$ $Formula: f_a(x)=\left(\tfrac{1}{2} x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{ax}$ mit $Formula: a \in \mathbb{R}, a>0.$ $Formula: a \in \mathbb{R}, a>0.$ Die Graphen von sind Formula: K_a. Abbildung 1 zeigt Formula: K_1. Jeder Graph hat genau einen Extrempunkt.

Koordinatensystem mit geschwungener Kurve, links flach, Tiefpunkt unter der x‑Achse und rechts stark ansteigend.

Abbildung 1

1.1

Weise nach, dass die Nullstelle von Formula: f_a unabhängig von Formula: a ist.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes von Formula: K_a mit der Formula: y -Achse an.

Gib das Verhalten von Formula: f_a für $Formula: x \rightarrow \infty$ $Formula: x \rightarrow \infty$ an.

4 BE

1.2

Weise nach, dass $Formula: f_a^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2} \mathrm e^{a x} \cdot(a x+1-2 a)$ $Formula: f_a^{\prime}(x)=\tfrac{1}{2} \mathrm e^{a x} \cdot(a x+1-2 a)$ eine Gleichung der ersten Ableitungsfunktion von ist.

2 BE

1.3

Für einen Wert von Formula: a liegt der Extrempunkt von Formula: K_a auf der Formula: y -Achse.

Bestimme diesen Wert von Formula: a.

2 BE

1.4

Begründe ohne Rechnung, dass es genau einen positiven reellen Wert für Formula: k gibt, für den gilt: $Formula: \int_0^k f_1(x)\;\mathrm d x=0$ $Formula: \int_0^k f_1(x)\;\mathrm d x=0$

3 BE

Der Graph der in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktion Formula: g entsteht durch Spiegelung des Graphen von Formula: f_1 an der Formula: x -Achse.

Die Abbildung 2 zeigt ein Weinglas. Der obere Teil eines Weinglases, in dem der Wein enthalten ist, wird Kelch genannt. Die Öffnung des Kelches ist kreisförmig. Die Abbildung 3 stellt für den Kelch dieses Weinglases den Längsschnitt durch dessen Symmetrieachse dar. Diese Symmetrieachse verläuft in einem Koordinatensystem entlang der Formula: x -Achse. Der Längsschnitt wird dabei durch die Graphen der Funktionen Formula: f_1 und Formula: g im Intervall Formula: [0 ; 2] beschrieben.

Die Wandstärke des Glases wird vernachlässigt. Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 3,5 \mathrm{~cm}.$ $Formula: 3,5 \mathrm{~cm}.$

Weinglas mit gestrichelter Fülllinie und Pfeil, Beschriftung "Füllhöhe h"

Abbildung 2

Koordinatensystem mit zwei Kurven (g und f1), Scheitel bei x=2, gestrichelte Linien und vertikaler Pfeil mit Beschriftung "Breite".

Abbildung 3

1.5

Gib eine Gleichung von Formula: g an.

1 BE

1.6

Berechne die Breite des Kelches in Zentimeter.

Zur Kontrolle: Die Breite beträgt etwa $Formula: 9,5\;\mathrm{cm}.$ $Formula: 9,5\;\mathrm{cm}.$

4 BE

1.7

Das Weinglas wird bis zu einem Viertel der Höhe des Kelches mit einer Flüssigkeit gefüllt. Eine der beiden folgenden Abbildungen 4 und 5 zeigt für diesen Vorgang das Füllvolumen in Abhängigkeit von der Füllhöhe Formula: h.

Einfaches Diagramm: steigende Kurve, y-Achse "Füllvolumen V", x-Achse "Füllhöhe h"

Abbildung 4

Graph mit aufsteigender, konkaver Kurve: Füllvolumen V in Abhängigkeit von Füllhöhe h

Abbildung 5

Gib an, welche der beiden Abbildungen den Sachverhalt richtig darstellt, und begründe deine Angabe.

3 BE

1.8

Mit $Formula: V(h)=\tfrac{3}{2} h^5-7 h^4+9 h^3$ $Formula: V(h)=\tfrac{3}{2} h^5-7 h^4+9 h^3$ und $Formula: h \in \mathbb{R}, 0 \leq h \leq 1,21$ $Formula: h \in \mathbb{R}, 0 \leq h \leq 1,21$ ist eine Näherungsformel für die Berechnung des Volumens in Abhängigkeit von der Füllhöhe bis zum Eichstrich gegeben. Dieser Eichstrich markiert eine Füllhöhe von Formula: h=1,21.

1.8.1

Ist das Weinglas bis zum Eichstrich gefüllt, so befinden sich darin $Formula: 200\;\text{ml}.$ $Formula: 200\;\text{ml}.$

Beurteile, ob die Näherungsformel zur Berechnung dieses Füllvolumens geeignet ist.

3 BE

1.8.2

Im betrachteten Intervall sind für genau einen Wert Formula: h_0 die folgenden Aussagen wahr:

$Formula: V^{\prime \prime}(h_0)=0$ $Formula: V^{\prime \prime}(h_0)=0$
$Formula: V''(h_1)\gt V''(h_2)$ $Formula: V''(h_1)\gt V''(h_2)$ mit $Formula: h_1\gt h_0\gt h_2$ $Formula: h_1\gt h_0\gt h_2$

Erläutere die Bedeutung des Wertes von Formula: h_0, indem du die Aussagen 1. und 2. im Sachzusammenhang interpretierst.

3 BE

1.9

Fünf Weingläser sollen zum Verkauf in eine Box gepackt werden. Sie werden dazu in zylinderförmige gepolsterte Röhren gesteckt und anschließend in diese Box gestellt.

Der Außendurchmesser der zylinderförmigen Röhren beträgt $Formula: 10\;\text{cm}.$ $Formula: 10\;\text{cm}.$

In der Abbildung 6 ist die Draufsicht der zylinderförmigen Röhren in der Box dargestellt. Die Länge der Box wird durch drei nebeneinanderstehende Röhren vorgegeben.

Ermittle, wie breit die Box im Inneren mindestens sein muss.

Rechteck mit sechs gleich großen Kreisen in zwei Spalten, Beschriftungen "Breite" und "Länge"

Abbildung 6

5 BE

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1.1

Nullstellen nachweisen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(x)&=&0 \\[5pt] \left(\dfrac{1}{2} x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{a x}&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a(x)&=&0 \\[5pt] \left(\dfrac{1}{2} x-1\right) \cdot \mathrm{e}^{a x}&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts $Formula: \tfrac{1}{2}x-1=0$ $Formula: \tfrac{1}{2}x-1=0$ und damit Formula: x=2. Somit ist die Nullstelle unabhängig von Formula: a.

Koordinaten angeben

$Formula: S_y(0\mid-1)$ $Formula: S_y(0\mid-1)$

Verhalten angeben

$Formula: \lim\limits_{x\to\infty}f_a(x)=\infty$ $Formula: \lim\limits_{x\to\infty}f_a(x)=\infty$

1.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{a x}+\left(\dfrac{1}{2} x-1\right) \cdot a\cdot\mathrm{e}^{a x} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{a x} \cdot(a x+1-2 a) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(x)&=&\dfrac{1}{2}\mathrm{e}^{a x}+\left(\dfrac{1}{2} x-1\right) \cdot a\cdot\mathrm{e}^{a x} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{a x} \cdot(a x+1-2 a) \end{array}$

1.3

Überprüfen der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f_a'(x)=0 für Formula: x=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(0)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{a \cdot0} \cdot(a \cdot0+1-2 a)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot(1-2 a)&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{1}{2}\\[5pt] -a&=&-\dfrac{1}{2} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] a&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_a'(0)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{a \cdot0} \cdot(a \cdot0+1-2 a)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot(1-2 a)&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{1}{2}\\[5pt] -a&=&-\dfrac{1}{2} &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-1)\\[5pt] a&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

1.4

Links der Nullstelle sind die Funktionswerte von Formula: f_1 negativ und rechts davon positiv sowie monoton wachsend. Somit gibt es genau einen Wert von Formula: k, der dann rechts der Nullstelle liegt, für den der Inhalt des Flächenstücks, welches der Graph von unterhalb der Formula: x -Achse mit der -Achse einschließt ebenso groß ist wie der Inhalt des oberhalb der -Achse liegenden Flächenstücks. Für diesen Wert ergibt das Integral damit Null.

1.5

Formula: g(x)=-f_1(x)

1.6

Die Breite des Kelchs lässt sich mit Hilfe der Extremstelle von Formula: f_1 bestimmen. Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f_1'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_1'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x} \cdot(x+1-2)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x} \cdot(x-1)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} f_1'(x)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x} \cdot(x+1-2)&=&0 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \mathrm{e}^{x} \cdot(x-1)&=&0 \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets ungleich Null ist, folgt mit dem Satz des Nullprodukts direkt Formula: x=1. Für den Betrag des Funktionswertes an dieser Stelle folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert f_1(1)\right\vert&=&\left\vert\left(\dfrac{1}{2}\cdot1-1\right) \cdot \mathrm{e}^{1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert-\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{e}\right\vert \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{e} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left\vert f_1(1)\right\vert&=&\left\vert\left(\dfrac{1}{2}\cdot1-1\right) \cdot \mathrm{e}^{1}\right\vert \\[5pt] &=&\left\vert-\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{e}\right\vert \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot \mathrm{e} \end{array}$

Aufgrund der Symmetrie zum Graphen von Formula: g ergibt sich damit die gesuchte Breite als $Formula: 2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\mathrm e\cdot3,5\approx9,51\;[\mathrm{cm}].$ $Formula: 2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\mathrm e\cdot3,5\approx9,51\;[\mathrm{cm}].$

1.7

In dem Bereich, in dem der Kelch schmal ist, ist die Volumenzunahme je Höhenabschnitt geringer als in dem Bereich, in dem der Kelch breiter ist. Der vorliegende Kelch ist unten schmaler und oben breiter. Damit ist die Volumenzunahme für kleine Füllhöhen geringer, für zunehmende Füllhöhen größer und es folgt, dass Abbildung 4 richtig ist.

1.8

1.8.1

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} V(1,21)&=&\dfrac{3}{2}\cdot1,21^5-7\cdot1,21^4+9\cdot1,21^3 \\[5pt] &\approx&4,83\;[\text{VE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} V(1,21)&=&\dfrac{3}{2}\cdot1,21^5-7\cdot1,21^4+9\cdot1,21^3 \\[5pt] &\approx&4,83\;[\text{VE}] \end{array}$

Das Volumen ergibt sich somit ungefähr als $Formula: 4,83\cdot3,5^3=207,1\;[\text{cm}^3].$ $Formula: 4,83\cdot3,5^3=207,1\;[\text{cm}^3].$ Da ein Milliliter einem Kubikzentimeter entspricht, ergibt sich eine Abweichung von etwa $Formula: 7 \mathrm{~cm}^3.$ $Formula: 7 \mathrm{~cm}^3.$ Diese Abweichung ist gering, somit ist die Näherungsformel zur Berechnung dieses Füllvolumens geeignet.

1.8.2

Bei der Füllhöhe Formula: h_0 ist die Änderungsrate des Füllvolumens je Füllhöhe maximal. Unterhalb dieser Füllhöhe steigt beim Befüllen des Kelches die Zunahme des Füllvolumens je Füllhöhe, oberhalb dieser nimmt sie ab.

1.9

Die Mittelpunkte dreier benachbarter kreisförmiger Grundflächen bilden ein gleichseitiges Dreieck mit der Höhe Formula: h_D, für die somit mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left(\dfrac{10}{2}\right)^2+h_D^2&=&10^2 &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\dfrac{10}{2}\right)^2 \\[5pt] h_D^2&=&75 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h_D&\approx&8,7\;[\text{cm}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left(\dfrac{10}{2}\right)^2+h_D^2&=&10^2 &\quad\scriptsize\mid\;-\left(\dfrac{10}{2}\right)^2 \\[5pt] h_D^2&=&75 &\quad\scriptsize\mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h_D&\approx&8,7\;[\text{cm}] \end{array}$

Die Breite ergibt sich nun durch den zweifachen Röhrenradius plus diesen Abstand Formula: h_D der Mittelpunkte und beträgt damit ungefähr $Formula: 8,7+2\cdot5=18,7\;[\text{cm}].$ $Formula: 8,7+2\cdot5=18,7\;[\text{cm}].$

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