3 Analytische Geometrie – Wahlaufgabe
Abbildung 1 zeigt den Körper 
mit den Eckpunkten 
und 
Dieser stellt modellhaft eine aus dem Wasser ragende Sprungschanze für Wasserski dar. Das Viereck 
beschreibt den sogenannten Schanzentisch, die 
-Ebene stellt die Wasseroberfläche dar. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
Abbildung 1
Das Viereck ist ein Parallelogramm. Zeige, dass es auch ein Rechteck ist.
Begründe, dass die 
-Ebene eine Symmetrieebene des Körpers ist.
Für eine reelle Zahl 
ist der Vektor 
ein Normalenvektor der Ebene, in der das Rechteck liegt.
Begründe ohne Rechnung, dass 
ist.
Bestimme die Größe des Winkels, unter dem der Schanzentisch gegenüber der Wasseroberfläche geneigt ist.
Der Teil des Schanzentischs, der sich oberhalb der Wasseroberfläche befindet, soll als Werbefläche genutzt werden. Die folgende Aussage stellt den ersten Schritt der Bestimmung des Flächeninhalts dieser Werbefläche dar:
Mit 
ergibt sich 
Gib die Bedeutung dieses Wertes 
für 
im Sachzusammenhang an und berechne den Flächeninhalt dieser Werbefläche.
Ein Wasserskifahrer fährt den Schanzentisch geradlinig hinauf, bis er die Kante erreicht, die im Modell der Strecke 
entspricht. Der anschließende Sprung beginnt an dieser Kante und endet auf der Wasseroberfläche. Insgesamt legen die Füße des Wasserskifahrers einen Weg zurück, der im Modell als Kurve in einer Ebene beschrieben werden kann, die senkrecht zur -Ebene liegt und mit 
bezeichnet wird. Die Ebene kann durch die Gleichung 
dargestellt werden. Die Orte des Absprungs und des Auftreffens auf der Wasseroberfläche werden im Modell durch die Punkte 
bzw. 
beschrieben. In Abbildung 2 ist die Kurve in der Ebene dargestellt; die eingetragene Weite des Sprungs ist die Länge einer Strecke, die im Modell ebenfalls in der Ebene liegt.
Abbildung 2
Beurteile, ob der Wasserskifahrer so über den Schanzentisch fährt, dass sein Weg im Modell in der Symmetrieebene des Körpers verläuft.
Im gegebenen Koordinatensystem wird der beschriebene Weg beim Sprung durch die Punkte 
mit geeigneten Werten von 
dargestellt. Von Interesse ist die Weite des Sprungs, die in Abbildung 2 veranschaulicht ist.
Bestimme die Weite des Sprungs auf zehntel Meter gerundet.
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&=&-4\cdot0+0\cdot(-5)+0\cdot(-1,5) \\[5pt]
&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/f406e7e9a2cf5043c7c42740add32c4a163397103fe72d24bfa2ebddc6e56a97_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}\overrightarrow{EF}\circ\overrightarrow{EA}&=&\pmatrix{-2-2 \\ 5-5 \\ 1-1}\circ \pmatrix{2-2 \\ 0-5 \\ -0,5-1} \\[5pt]
&=&-4\cdot0+0\cdot(-5)+0\cdot(-1,5) \\[5pt]
&=&0
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Die Koordinaten der Punkte 
und 
unterscheiden sich nur im Vorzeichen der 
-Koordinate. Dies gilt ebenso für die Punktepaare 
und 
sowie 
und 
Die Ebene, in der das Rechteck liegt, steht senkrecht zur -Ebene. Damit ist jeder Normalenvektor dieser Ebene ein Richtungsvektor der -Ebene.
Ein Normalenvektor der -Ebene ist gegeben durch 
Zusammen mit dem Normalenvektor 
der Ebene aus Teilaufgabe 3.3 ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\circ\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{109}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{109}}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&16,7^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cd25510d3c55b9c3e47d0f8e39a5b3f94108dbb6949c87b93a3b14e7367aa1f_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\overrightarrow{n_1}\circ\overrightarrow{n}\right\vert}{\left\vert\overrightarrow{n_1}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{n}\right\vert} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\circ\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert}{\left\vert\pmatrix{0\\ 3 \\ -10}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\ 0 \\ 1}\right\vert} \\[5pt]
\cos(\alpha)&=&\dfrac{10}{\sqrt{109}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{10}{\sqrt{109}}\right) \\[5pt]
\alpha&\approx&16,7^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cd25510d3c55b9c3e47d0f8e39a5b3f94108dbb6949c87b93a3b14e7367aa1f_dark.svg)
Bedeutung des Wertes angeben
Für 
ergibt sich, dass ein Drittel der Kante des Schanzentischs, die durch die Strecke 
beschrieben wird, sich im Wasser befindet.
Flächeninhalt berechnen
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\overrightarrow{EF}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert\\[5pt]
&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\pmatrix{-4\\0\\0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\-5\\-1,5}\right\vert\\[5pt]
&=&\dfrac{2}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27,25} \\[5pt]
&\approx&13,92\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c44e124acb913709b9537be5ab2b1dce7ef52d69985208d2583061ffcbff26d3_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
A&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\overrightarrow{EF}\right\vert\cdot\left\vert\overrightarrow{EA}\right\vert\\[5pt]
&=&\dfrac{2}{3}\cdot\left\vert\pmatrix{-4\\0\\0}\right\vert\cdot\left\vert\pmatrix{0\\-5\\-1,5}\right\vert\\[5pt]
&=&\dfrac{2}{3}\cdot4\cdot\sqrt{27,25} \\[5pt]
&\approx&13,92\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c44e124acb913709b9537be5ab2b1dce7ef52d69985208d2583061ffcbff26d3_dark.svg)
Da nicht mit der -Ebene übereinstimmt, ist dies nicht der Fall.
Nullsetzen der 
-Koordinate der Punkte liefert mit dem Satz des Nullprodukts:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
a_1&=&2,61 \\[5pt]
a_2&=&13,39
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3394db7b4f2ffa609df0b9d970d86d6474e38c5503adcc969f04da1e116c098b_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
a_1&=&2,61 \\[5pt]
a_2&=&13,39
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/3394db7b4f2ffa609df0b9d970d86d6474e38c5503adcc969f04da1e116c098b_dark.svg)
Da beim Sprung die 
-Koordinate wächst, gehört 
zum Endpunkt des Sprungs. Damit ergibt sich 
Der Absprungpunkt liegt auf der Kante und besitzt somit die -Koordinate 
Der darunterliegende Punkt auf der Wasseroberfläche hat somit die folgenden Koordinaten:
Die Weite des Sprungs ergibt sich damit wie folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left\vert\overrightarrow{V'W}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{4,017-1,5\\13,39-5\\0}\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{2,517^2+8,39^2} \\[5pt]
&\approx&8,8\;[\text{m}]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7fcec8413ee46b2f28081e19dfde462eecdd10df3519e4c65f309d8b01d661a4_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
\left\vert\overrightarrow{V'W}\right\vert&=&\left\vert\pmatrix{4,017-1,5\\13,39-5\\0}\right\vert \\[5pt]
&=&\sqrt{2,517^2+8,39^2} \\[5pt]
&\approx&8,8\;[\text{m}]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/7fcec8413ee46b2f28081e19dfde462eecdd10df3519e4c65f309d8b01d661a4_dark.svg)