4 Stochastik – Wahlaufgabe
Bei einer statistischen Erhebung werden die in einem großen europäischen Land zugelassenen Kraftfahrzeuge betrachtet. Von diesen Kraftfahrzeugen sind 
Personenkraftwagen (Pkw).
Es werden 
Kraftfahrzeuge zufällig ausgewählt. Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich darunter höchstens 
Pkw befinden.
Im Folgenden wird zusätzlich das Alter der betrachteten Kraftfahrzeuge untersucht. 
dieser Kraftfahrzeuge sind mindestens fünf Jahre alt.
Vervollständige die abgebildete Vierfeldertafel.
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„Ein Kraftfahrzeug ist mindestens fünf Jahre alt.“ |
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„Ein Kraftfahrzeug ist ein Pkw.“ |
Untersuche, ob der Anteil der Kraftfahrzeuge, die mindestens fünf Jahre alt sind, unter den Pkw größer ist als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.
In der Folge werden die zugelassenen Pkw betrachtet. Diese werden je nach Alter einem von sieben Zeitintervallen zugeordnet. Abbildung 1 zeigt die entsprechenden Anteile.
Abbildung 1
Alle zugelassenen Pkw werden nach ihrem Alter in einer Liste sortiert. Angenommen, es gibt einen Pkw, für den die Anzahl jüngerer Pkw gleich der Anzahl älterer Pkw ist.
Gib dasjenige der sieben Zeitintervalle an, in dem das Alter dieses Pkw liegt, und begründe deine Angabe.
Beschreibe den mathematischen Zusammenhang zwischen Material 1 und dem Term 
und gib die Bedeutung seines Wertes im Sachzusammenhang an.
In einer Region werden die Personen betrachtet, die regelmäßig in einem Pkw zur Arbeit fahren. Frühere Untersuchungen haben ergeben, dass etwa 
dieser Personen dabei allein im Pkw sind. Um diesen Anteil zu senken, wurden Anreize geschaffen, verstärkt Fahrgemeinschaften zu bilden. Nun soll untersucht werden, ob der beschriebene Anteil deutlich gesunken ist.
Dazu wird die Durchführung eines Signifikanztests geplant mit einem Signifikanzniveau von 
und der Nullhypothese „Der Anteil der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, liegt bei mindestens 
“
Es ist geplant, den Test auf der Grundlage einer Stichprobe von 
Personen durchzuführen. Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.
Angenommen, der Test würde mit unveränderter Nullhypothese und unverändertem Signifikanzniveau mit 
zufällig ausgewählten Personen geplant.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person allein im Pkw zur Arbeit fährt, wird mit 
bezeichnet.
Abbildung 2 stellt für einen bestimmten Wert von in Abhängigkeit von die Wahrscheinlichkeit dafür dar, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.
Ermittle für ein geeignet gewähltes Beispiel mithilfe von Abbildung 2 die Wahrscheinlichkeit für den zugehörigen Fehler zweiter Art.
Abbildung 2
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monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Die Zufallsvariable 
die die Anzahl der Pkw unter den zufällig ausgewählten Kraftfahrzeugen angibt, ist binomialverteilt mit 
und 
Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit:
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
P_{0{,}8}^{200}(X \leq 170)&\approx&0,972 \\[5pt]
&=&97,2\,\%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6178f4a4fa774dc88988fe8e0a324ef563447ea59b5ca5a24ba53de2bd1c8692_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rll}
P_{0{,}8}^{200}(X \leq 170)&\approx&0,972 \\[5pt]
&=&97,2\,\%
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6178f4a4fa774dc88988fe8e0a324ef563447ea59b5ca5a24ba53de2bd1c8692_dark.svg)
Der Anteil der Kraftfahrzeuge die mindestens fünf Jahre alt sind beträgt unter den Pkw:
Der Anteil der Kraftfahrzeuge die mindestens fünf Jahre alt sind beträgt unter den übrigen Kraftfahrzeugen:
Mit 
ist der Anteil der mindestens fünf Jahre alten Kraftfahrzeuge unter den Pkw nicht größer, sondern kleiner als unter den übrigen Kraftfahrzeugen.
Aus der Abbildung lässt sich entnehmen, dass 
der Pkw 
bis 
Jahre alt sind. Damit sind nach dem ersten Intervall noch weniger als 
erreicht. Für die ersten beiden Intervalle gilt aber 
Damit wird die 
Grenze im Intervall von 
bis 
Jahren überschritten und der gesuchte PKW muss somit zwischen und Jahre alt sein.
Beschreibung des mathematischen Zusammenhangs
Die Summanden sind jeweils das Produkt aus der unteren Intervallgrenze und dem zugehörigen Anteil der abgebildeten Zeitintervalle.
Bedeutung im Sachzusammenhang angeben
Der Wert des Terms ist eine untere Grenze für das durchschnittliche Alter der zugelassenen Pkw in Jahren.
Die Zufallsvariable 
die die Anzahl der Personen, die allein im Pkw zur Arbeit fahren, angibt, ist binomialverteilt mit 
und 
Für die Bestimmung des Ablehnungsbereichs ist der größte Wert 
gesucht, für den gilt:
Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:
Damit wird die Nullhypothese genau dann abgelehnt, wenn sich weniger als 
allein fahrende Personen in der Stichprobe befinden.
Für den Fehler zweiter Art muss ein Wert 
gewählt werden, da dann die Gegenhypothese tatsächlich gilt. Für z.B. 
liefert die Abbildung 2 eine Wahrscheinlichkeit von ca. 
dafür, dass das Ergebnis des Tests im Ablehnungsbereich liegt.
Ein Fehler zweiter Art liegt vor, wenn die Nullhypothese nicht abgelehnt wird, obwohl sie falsch ist. Somit folgt für diesen Fehler 
