2 Analytische Geometrie – Wahlaufgabe

Betrachtet wird ein Pyramidenstumpf Formula: ABCDEFGH mit der Grundfläche und der Deckfläche Formula: EFGH mit den Koordinaten $Formula: A(0\mid 0 \mid 0), B(6 \mid 0 \mid 0), C(6 \mid 6 \mid 0), D(0 \mid 6 \mid 0),$ $Formula: A(0\mid 0 \mid 0), B(6 \mid 0 \mid 0), C(6 \mid 6 \mid 0), D(0 \mid 6 \mid 0),$ $Formula: E(1 \mid 1 \mid 5), F(5 \mid 1\mid 5), G(5\mid 5 \mid 5)$ $Formula: E(1 \mid 1 \mid 5), F(5 \mid 1\mid 5), G(5\mid 5 \mid 5)$ und $Formula: H(1\mid 5 \mid 5).$ $Formula: H(1\mid 5 \mid 5).$

Koordinatensystem mit dem Vieleck EFGHD und markierten Punkten auf den Achsen.

2.1

Begründe, dass der Pyramidenstumpf gerade ist.

2 BE

2.2

Die Abbildung zeigt drei Kanten des Pyramidenstumpfs.

Vervollständige den Körper Formula: ABCDEFGH in der Abbildung.

2 BE

2.3

Berechne den Inhalt der Mantelfläche des Pyramidenstumpfs.

3 BE

2.4

Bestimme die Größe des Winkels, unter dem die Kante $Formula: \overline{AE}$ $Formula: \overline{AE}$ auf der Grundfläche Formula: ABCD steht.

3 BE

2.5

Betrachtet werden ebene Schnitte, die jeweils senkrecht zur Formula: xy -Ebene verlaufen und den Pyramidenstumpf in Teilkörper der Sorten Formula: T1, T2 und Formula: T3 zerlegen. Deren Volumen können mit jeweils einer der folgenden Gleichungen berechnet werden:

$Formula: V_{T1}=\dfrac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot 5$ $Formula: V_{T1}=\dfrac{1}{3} \cdot 1^2 \cdot 5$

$Formula: V_{T2}=\dfrac{1 \cdot 5}{2} \cdot 4$ $Formula: V_{T2}=\dfrac{1 \cdot 5}{2} \cdot 4$

$Formula: V_{T3}=4 \cdot 4 \cdot 5$ $Formula: V_{T3}=4 \cdot 4 \cdot 5$

Bei einem solchen Schnitt wird der Pyramidenstumpf genau so in zwei Teile zerlegt, dass das Volumen Formula: V des kleineren Teils wie folgt berechnet werden kann:

$V=2 \cdot V_{T1}+V_{T2}$

Gib eine Gleichung einer solchen Schnittebene an.

Erläutere deine Überlegungen.

3 BE

2.6

Die Punkte Formula: E, G und Formula: P beschreiben eine Ebene $Formula: \varepsilon,$ $Formula: \varepsilon,$ wobei auf der Kante $Formula: \overline{D H}$ $Formula: \overline{D H}$ liegt. Wird der Punkt Formula: H an dieser Ebene $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ gespiegelt, entsteht der Punkt $Formula: H^{\prime}(3 \mid 3 \mid k).$ $Formula: H^{\prime}(3 \mid 3 \mid k).$ Dabei ist Formula: k ein reeller Wert.

2.6.1

Begründe, dass die Ebene $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ eine Gleichung der Form $Formula: 2 x - 2 y +(k - 5) \cdot z = d$ $Formula: 2 x - 2 y +(k - 5) \cdot z = d$ mit $Formula: d \in \mathbb{R}$ $Formula: d \in \mathbb{R}$ besitzt.

2 BE

2.6.2

Bestimme den Wert von Formula: k.

5 BE

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2.1

Die Grundfläche des Pyramidenstumpfs liegt in der Formula: xy -Ebene. Die Verbindungslinie der Mittelpunkte von Grund- und Deckfläche, $Formula: M_{ABCD}(3 \mid 3 \mid 0)$ $Formula: M_{ABCD}(3 \mid 3 \mid 0)$ sowie $Formula: M_{EFGH}(3 \mid 3 \mid 5),$ $Formula: M_{EFGH}(3 \mid 3 \mid 5),$ verläuft senkrecht zur -Ebene.

2.2

Schräg dargestelltes geometrisches Prisma ABCDEFGH in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.

2.3

Für die Mantelfläche des Pyramidenstumpfs gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A_M&=&4 \cdot \dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{EF}\right|}{2} \cdot\left|\overrightarrow{{M}_{\overline{AB}} M_{\overline{EF}}}\right| \\[5pt] &=& 4 \cdot \dfrac{6+4}{2} \cdot \left|\pmatrix{3-3\\1-0\\5-0}\right| \\[5pt] &=& 20\sqrt{26}\\[5pt] &\approx& 102\;[\mathrm{FE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A_M&=&4 \cdot \dfrac{\left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{EF}\right|}{2} \cdot\left|\overrightarrow{{M}_{\overline{AB}} M_{\overline{EF}}}\right| \\[5pt] &=& 4 \cdot \dfrac{6+4}{2} \cdot \left|\pmatrix{3-3\\1-0\\5-0}\right| \\[5pt] &=& 20\sqrt{26}\\[5pt] &\approx& 102\;[\mathrm{FE}] \end{array}$

2.4

$Formula: \begin{array}{rlll} \sin(\alpha) &=& \dfrac{\overrightarrow{n_{xy}} \circ \overrightarrow{AE}}{\left|\overrightarrow{n_{xy}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{AE}\right|} \\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right| \cdot\left|\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)\right|} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \sin(\alpha) &=& \dfrac{\overrightarrow{n_{xy}} \circ \overrightarrow{AE}}{\left|\overrightarrow{n_{xy}}\right| \cdot\left|\overrightarrow{AE}\right|} \\[5pt] \sin(\alpha)&=& \dfrac{\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)}{\left|\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right| \cdot\left|\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 5\end{array}\right)\right|} \end{array}$

Auflösen nach $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ mit dem CAS liefert $Formula: \alpha \approx 74,2^\circ.$ $Formula: \alpha \approx 74,2^\circ.$

2.5

$Formula: V_{T1}$ $Formula: V_{T1}$ ist das jeweilige Volumen der Formula: 4 Eckpyramiden des Stumpfes, $Formula: V_{T2}$ $Formula: V_{T2}$ ist das jeweilige Volumen der Seitenprismen und $Formula: V_{T3}$ $Formula: V_{T3}$ ist das Volumen des zentralen Quaders.

Die Ebene Formula: y=1 teilt den Körper so, dass sich der kleinere Teilkörper aus zwei Eckpyramiden und einem Seitenprisma zusammensetzt, somit ist eine mögliche Ebenengleichung durch gegeben.

2.6

2.6.1

Da der Punkt Formula: H an der Ebene $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ gespiegelt wird, ist der Verbindungsvektor $Formula: \overrightarrow{HH^{\prime}}$ $Formula: \overrightarrow{HH^{\prime}}$ ein Normalenvektor der Spiegelebene $Formula: \varepsilon.$ $Formula: \varepsilon.$

Für den Vektor gilt:

$Formula: \overrightarrow{HH^{\prime}} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 3 - 5 \\ k - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ k-5 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{HH^{\prime}} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 3 - 5 \\ k - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ k-5 \end{pmatrix}$

Daraus ergibt sich für die Ebene direkt eine Koordinatengleichung der Form $Formula: 2x - 2y + (k-5)\cdot z = d$ $Formula: 2x - 2y + (k-5)\cdot z = d$ mit $Formula: d \in \mathbb{R}.$ $Formula: d \in \mathbb{R}.$

2.6.2

Der Punkt $Formula: E(1 \mid 1 \mid 5)$ $Formula: E(1 \mid 1 \mid 5)$ liegt in der Spiegelebene $Formula: \varepsilon.$ $Formula: \varepsilon.$ Der Mittelpunkt $Formula: M_{\overline{HH^{\prime}}}$ der Strecke $Formula: \overline{HH^{\prime}}$ $Formula: \overline{HH^{\prime}}$ liegt ebenfalls in der Ebene und besitzt die folgenden Koordinaten:

$Formula: \left(\dfrac{1+3}{2} \mathrel{\bigg|} \dfrac{5+3}{2} \mathrel{\bigg|} \dfrac{5+k}{2} \right) = \left(2 \mathrel{\bigg|} 4 \mathrel{\bigg|} \dfrac{5+k}{2} \right)$ $Formula: \left(\dfrac{1+3}{2} \mathrel{\bigg|} \dfrac{5+3}{2} \mathrel{\bigg|} \dfrac{5+k}{2} \right) = \left(2 \mathrel{\bigg|} 4 \mathrel{\bigg|} \dfrac{5+k}{2} \right)$

Der Punkt Formula: P auf der Kante $Formula: \overline{DH}$ $Formula: \overline{DH}$ hat für $Formula: 0\leq r \leq 1$ $Formula: 0\leq r \leq 1$ den folgenden allgemeinen Ortsvektor:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OP}&=&\overrightarrow{OD}+r\cdot\overrightarrow{DH} \\[5pt] &=&\pmatrix{r\\6-r\\5r} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{OP}&=&\overrightarrow{OD}+r\cdot\overrightarrow{DH} \\[5pt] &=&\pmatrix{r\\6-r\\5r} \end{array}$

Einsetzen der Koordinaten der Punkte Formula: E, $Formula: M_{HH^{\prime}}$ $Formula: M_{HH^{\prime}}$ und Formula: P in die Gleichung von $Formula: \varepsilon$ $Formula: \varepsilon$ liefert folgendes Gleichungssystem:

$Formula: \mathrm{I}$ $Formula: \mathrm{I}$
$Formula: \mathrm{II}$ $Formula: \mathrm{II}$	$Formula: d=4 - 8 + \tfrac{1}{2}\cdot (k^{2}-25)$ $Formula: d=4 - 8 + \tfrac{1}{2}\cdot (k^{2}-25)$
$Formula: \mathrm{III}$ $Formula: \mathrm{III}$

Lösen des Gleichungssystems mit dem CAS für $Formula: 0 \le r \le 1$ $Formula: 0 \le r \le 1$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} r&=&\dfrac{19-10\sqrt{2}}{23} \\[5pt] d&=&-10\sqrt{2} \\[5pt] k&=&5-2\sqrt{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} r&=&\dfrac{19-10\sqrt{2}}{23} \\[5pt] d&=&-10\sqrt{2} \\[5pt] k&=&5-2\sqrt{2} \end{array}$

Der gesuchte Wert ist $Formula: k = 5 - 2\sqrt{2}.$ $Formula: k = 5 - 2\sqrt{2}.$

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