1 Analysis – Pflichtaufgabe

Gegeben ist für alle $Formula: x \in \mathbb{R}$ $Formula: x \in \mathbb{R}$ die Funktionenschar Formula: f_k mit $Formula: k \in \mathbb{R}$ $Formula: k \in \mathbb{R}$ und Formula: k>0 sowie:

$Formula: f_k(x)=40-\left(0,05 \cdot x^2+k \cdot x+40\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot x}$ $Formula: f_k(x)=40-\left(0,05 \cdot x^2+k \cdot x+40\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot x}$

Die Graphen von Formula: f_k heißen Formula: G_k. Die Abbildung 1 zeigt den Graph der Funktion Formula: f_2.

Diagramm mit einer steigenden Kurve im Koordinatensystem.

Abbildung 1

1.1

Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von Formula: G_k mit der Formula: y -Achse sowie das Verhalten der Funktionswerte von Formula: f_k für $Formula: x \rightarrow+\infty$ $Formula: x \rightarrow+\infty$ an.

2 BE

1.2

Zeige, dass $Formula: W_k\left(40 \left\lvert\, 40-\tfrac{120+40 k}{\mathrm{e}^2}\right.\right)$ $Formula: W_k\left(40 \left\lvert\, 40-\tfrac{120+40 k}{\mathrm{e}^2}\right.\right)$ in Abhängigkeit von Formula: k ein Wendepunkt von Formula: G_k ist.

Begründe, dass alle diese Wendepunkte auf einer Gerade liegen.

4 BE

Langfristige forstwissenschaftliche Datenerhebungen ermöglichen es, das ideale Wachstum von Bäumen einer bestimmten Art mathematisch zu modellieren. Eine solche Modellfunktion beschreibt in Abhängigkeit vom Alter Formula: x (in Jahren) die Höhe Formula: h eines Baumes dieser Art in Metern.

1.3

Formuliere und begründe eine Anforderung an die mathematischen Eigenschaften einer solchen Modellfunktion.

2 BE

1.4

In einer Region kann für eine Fichtenart die Baumhöhe in Abhängigkeit vom tatsächlichen Alter Formula: x $Formula: (x\gt0)$ $Formula: (x\gt0)$ durch die Funktion Formula: h mit der Gleichung Formula: h(x)=f_2(x) $Formula: =40-\left(0,05 \cdot x^2+2 \cdot x+40\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot x}$ $Formula: =40-\left(0,05 \cdot x^2+2 \cdot x+40\right) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot x}$ modelliert werden.

Die Funktion Formula: r mit $Formula: r(x)=\tfrac{1}{400} \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot x}$ $Formula: r(x)=\tfrac{1}{400} \cdot x^2 \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot x}$ ist die zugehörige Funktion der Zuwachsrate in Meter pro Jahr. Die Wendepunkte im Graph der Zuwachsrate trennen die aufeinanderfolgenden Lebensphasen eines Baumes: Jugend – Reife – Alterung.

Die Abbildung 2 zeigt den Graph von Formula: r.

Graph einer Kurve im Koordinatensystem mit Anstieg und anschließendem Abfall.

Abbildung 2

1.4.1

Gib für den Graph von Formula: r die Koordinaten der Wendepunkte an. Markiere die einzelnen Lebensphasen in der Abbildung 2.

3 BE

1.4.2

Für eine Fichte der Region wird im Alter von Formula: 50 Jahren eine tatsächliche Höhe von $Formula: 17,5 \mathrm{~m}$ $Formula: 17,5 \mathrm{~m}$ gemessen.

Gib an, in welcher Lebensphase sich dieser Baum gerade befindet.

Berechne die Baumhöhe der Fichtenart im Alter von Formula: 50 Jahren mithilfe der Modellierung sowie die prozentuale Abweichung der tatsächlichen Höhe von der Modellhöhe.

5 BE

1.4.3

Betrachtet werden zwei Terme:

	$Formula: \int_a^b r(x)\;\mathrm{d} x$ $Formula: \int_a^b r(x)\;\mathrm{d} x$

Begründe, dass die Terme Formula: (1) und Formula: (2) äquivalent sind. Interpretiere sachbezogen deren Bedeutung.

4 BE

1.4.4

Von forstwirtschaftlichem Interesse ist die Zunahme der Höhe in langen Zeiträumen.

Berechne denjenigen Altersbereich mit einer Dauer von Formula: 30 Jahren, in dem diese Fichtenart die größte Höhenzunahme erreicht.

5 BE

Günstige Umweltbedingungen können dazu führen, dass sich die Endhöhe sowie die Wachstumsgeschwindigkeit dieser Fichtenart ändern. Das Modell muss dann angepasst werden, dazu wird eine verallgemeinerte Modellfunktion $Formula: h_{a,b}$ $Formula: h_{a,b}$ mit der Gleichung $Formula: h_{a, b}(x)=a-\left(b \cdot x^2+2 \cdot x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{-b \cdot x}$ $Formula: h_{a, b}(x)=a-\left(b \cdot x^2+2 \cdot x+a\right) \cdot \mathrm{e}^{-b \cdot x}$ verwendet.

1.4.5

Für einen Baum dieser Fichtenart wird eine um Formula: 3 Meter größere Endhöhe prognostiziert.

Gib an, welcher Parameter der Modellfunktion $Formula: h_{a,b}$ $Formula: h_{a,b}$ angepasst werden muss und welchen Wert dieser Parameter dann annimmt.

2 BE

1.4.6

Gib an, durch welche Anpassung in $Formula: h_{a,b}$ $Formula: h_{a,b}$ schnellere Wachstumsgeschwindigkeiten im Vergleich zu Formula: h=f_2 modelliert werden können.

Untersuche die Größenordnung der Anpassung für eine realistische Modellierung.

3 BE

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1.1

Angabe Schnittpunkt mit der $Formula: \boldsymbol{y}$ $Formula: \boldsymbol{y}$ -Achse

$Formula: S_y(0 \mid 0)$ $Formula: S_y(0 \mid 0)$

Angabe Verhalten der Funktionswerte

$Formula: \lim_ {x \rightarrow+\infty} f_k(x)=40$ $Formula: \lim_ {x \rightarrow+\infty} f_k(x)=40$

1.2

Wendepunkt zeigen

Mit dem CAS folgt für die ersten drei Ableitungen von Formula: f_k:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_k^{\prime}(x)&=&\dfrac{\left(x^{2} + \left(20k - 40\right) x - 400k + 800\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{x}{20}}}{400} \\[5pt] f_k^{\prime \prime}(x)&=&-\dfrac{\left(x^{2} + \left(20k - 80\right) x - 800k + 1600\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{x}{20}}}{8000} \\[5pt] f_k^{\prime \prime \prime}(x)&=&\dfrac{\left(x^{2} + \left(20k - 120\right) x - 1200k + 3200\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{x}{20}}}{160000} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_k^{\prime}(x)&=&\dfrac{\left(x^{2} + \left(20k - 40\right) x - 400k + 800\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{x}{20}}}{400} \\[5pt] f_k^{\prime \prime}(x)&=&-\dfrac{\left(x^{2} + \left(20k - 80\right) x - 800k + 1600\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{x}{20}}}{8000} \\[5pt] f_k^{\prime \prime \prime}(x)&=&\dfrac{\left(x^{2} + \left(20k - 120\right) x - 1200k + 3200\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{x}{20}}}{160000} \end{array}$

Auflösen von $Formula: f_{k}''(x) = 0$ $Formula: f_{k}''(x) = 0$ nach Formula: x mit dem solve-Befehl des CAS liefert:

Formula: x=40

Überprüfen der hinreichenden Bedingung für Wendestellen liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_k'''(40)&=&\dfrac{\left(40^{2} + \left(20k - 120\right)\cdot 40 - 1200k + 3200\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{40}{20}}}{160000} \\[5pt] &=& -\dfrac{k}{400\cdot \mathrm e^{2}}\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_k'''(40)&=&\dfrac{\left(40^{2} + \left(20k - 120\right)\cdot 40 - 1200k + 3200\right) \mathrm{e}^{-\tfrac{40}{20}}}{160000} \\[5pt] &=& -\dfrac{k}{400\cdot \mathrm e^{2}}\lt0 \end{array}$

Somit ist auch die hinreichende Bedingung für Wendestellen erfüllt und Einsetzen von Formula: x=40 in Formula: f_k liefert für die Formula: y -Koordinate der Wendestelle:

$Formula: \begin{array}{rlll} f_k(40)&=& 40 - (0,05\cdot 40^{2} + k \cdot 40 + 40)\cdot \mathrm{e}^{-0,05\cdot 40} \\[5pt] &=& 40 - \dfrac{120 + 40k}{\mathrm{e}^{2}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f_k(40)&=& 40 - (0,05\cdot 40^{2} + k \cdot 40 + 40)\cdot \mathrm{e}^{-0,05\cdot 40} \\[5pt] &=& 40 - \dfrac{120 + 40k}{\mathrm{e}^{2}} \end{array}$

Somit ist $Formula: W_k\left(40 \left\lvert\, 40-\tfrac{120+40 k}{\mathrm{e}^2}\right.\right)$ $Formula: W_k\left(40 \left\lvert\, 40-\tfrac{120+40 k}{\mathrm{e}^2}\right.\right)$ in Abhängigkeit von Formula: k ein Wendepunkt von Formula: f_k.

Begründung der Gerade

Da der Formula: x -Wert von Formula: W_k unabhängig vom Parameter ist, liegen alle Wendepunkte auf der Gerade Formula: x=40.

1.3

Im relevanten Bereich muss die Funktion monoton wachsend sein, da die Höhe eines Baumes nicht abnimmt.

1.4

1.4.1

Koordinaten der Wendepunkte

$Formula: W_1(11,7 \mid 0,19) \quad W_2(68,3 \mid 0,38)$ $Formula: W_1(11,7 \mid 0,19) \quad W_2(68,3 \mid 0,38)$

Markierung der Lebensphasen

Diagramm einer Glockenkurve r(x) mit den Phasen Jugend, Reife und Alterung sowie den Punkten W₁ und W₂.

1.4.2

Aktuelle Lebensphase

Der Baum ist gerade in der Phase der Reife.

Berechnung der Modellhöhe und der prozentualen Abweichung

Für die Modellhöhe gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} h(50) &=& 40 - \left(0,05 \cdot 50^2+2 \cdot 50 + 40\right) \cdot \mathrm e^{-0,05 \cdot 50} \\[5pt] &\approx& 18,2\mathrm{~m} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} h(50) &=& 40 - \left(0,05 \cdot 50^2+2 \cdot 50 + 40\right) \cdot \mathrm e^{-0,05 \cdot 50} \\[5pt] &\approx& 18,2\mathrm{~m} \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \dfrac{17,5}{18,2} \approx 0,96$ $Formula: \dfrac{17,5}{18,2} \approx 0,96$

Die Modellhöhe beträgt ca. $Formula: 18,2 \mathrm{~m}.$ $Formula: 18,2 \mathrm{~m}.$ Folglich weicht die tatsächliche Höhe etwa $Formula: 4\,\%$ $Formula: 4\,\%$ von der Modellhöhe ab.

1.4.3

Mit Formula: r als Zuwachsrate der Baumhöhe ist somit Formula: h eine Stammfunktion von Formula: r. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sind beide Terme äquivalent.

Beide Terme beschreiben den Höhenzuwachs des Baums im Altersbereich vom Alter Formula: a Jahre bis zum Alter Formula: b Jahre.

1.4.4

Die Höhenzunahme in einem Zeitraum von Formula: 30 Jahren wird beschrieben durch Formula: d(x)=h(30+x)-h(x). Mit dem CAS ergibt sich für die erste Ableitung von Formula: d:

Formula: d'(x)=h'(30+x)-h'(x)

Auflösen der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: d'(x)=0 nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: x_1 \approx-9,6$ $Formula: x_1 \approx-9,6$

$Formula: x_2 \approx 26,9$ $Formula: x_2 \approx 26,9$

Da ein negatives Alter nicht möglich ist, entfällt Formula: x_1. Überprüfen der hinreichenden Bedingung liefert mit dem CAS:

$Formula: d^{\prime \prime}(26,9) \approx-0,018<0$ $Formula: d^{\prime \prime}(26,9) \approx-0,018<0$

Folglich ist bei Formula: x_2 ein Maximum und der Bereich mit dem größten Zuwachs befindet sich im Alter von ca. Formula: 27 bis Formula: 57 Jahren.

1.4.5

Der Parameter Formula: a modelliert die endgültige Höhe des ausgewachsenen Baumes.

Für den Wert gilt dann Formula: a=40+3=43.

1.4.6

Der Wert Formula: b bildet ab, wie schnell der Baum in die Höhe wächst. Ein höherer Wert lässt den Graphen schneller ansteigen. Dabei sind nur geringfügige Änderungen im Hundertstel-Bereich sinnvoll, z. B. Formula: b=0,06 .

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