Die Eulersche Zahl e

Definition

Benannt nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler ist die Eulersche Zahl $\boldsymbol{\mathrm e}$ eine der wichtigsten und interessantesten Zahlen in der Mathematik. Die Zahl $\mathrm e$ hat ihre Wurzeln in der Untersuchung eines Wachstumsprozesses, es gilt:

$\mathrm e=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n= 2,7182818284...$

Die irrationale Konstante $\mathrm e$ besitzt somit unendlich viele Nachkommastellen und wird zur Beschreibung von exponentiellen Wachstums- und Zerfallsprozessen wie beispielsweise dem Verhalten von Zinsen genutzt.

Beispiel

Ein Anfangskapital $K_0=1\,€$ wird mit einem Zinssatz von $100\,\%$ pro Jahr für genau ein Jahr angelegt. Aus der Gleichung zur Berechnung des Zinseszins folgt für das Kapital $K \; (\text{in} \,€):$

$K=1 \,€\cdot \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n= \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n$

$n$ gibt hierbei an, wie oft das gewählte Zinsintervall in der Laufzeit von einem Jahr enthalten ist.

Für immer kleiner werdende Zeitintervalle und somit höhere Werte von $n$ folgt dann:

Pro Jahr: $n=1$

$\rightarrow K=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1= 2$

Pro Monat: $n=12$

$\rightarrow K = \left(1+\dfrac{1}{12}\right)^{12} \approx 2,61304$

Pro Tag: $n=365$

$\rightarrow K= \left(1+\dfrac{1}{365}\right)^{365}\approx 2,71457$

Pro Stunde: $n=365\cdot 24$

$\rightarrow K= \left(1+\dfrac{1}{365\cdot 24}\right)^{365\cdot 24} \approx 2,71827$

Das Kapital wächst also nicht unbeschränkt weiter, sondern nähert sich dem Wert $\mathrm e\approx 2,71828$ an. Die Eulersche Zahl gibt in diesem Fall also an, auf das Wievielfache ein Kapital bei einem jährlichen Zinssatz von $100 \,\%$ bei stetiger Verzinsung in einem Jahr anwächst.

Für unendlich kleiner werdende Zeitintervalle der Verzinsung, also für die Momentanverzinsung, gilt folglich:

$K=\mathrm e^1$

Für $t$ Jahre gilt dann: $K=\mathrm e^t$

Ein Kapital $K_0=1000\,€$ wird zu einem Jahreszinssatz von $2 \,\%$ angelegt. Berechne das Endkapital nach 20 Jahren...

bei jährlicher Verzinsung.

bei stetiger Verzinsung.

Bestimme mit dem Taschenrechner auf Tausendstel gerundete Näherungswerte und vervollständige die Tabelle:

Term	Ergebnis
$\mathrm{e}^2$
$\mathrm{e}^{\frac{2}{3}}$
$\mathrm{e}^0$
$\mathrm{e}^{-1}$
$\mathrm{e}^{-6}$
$\sqrt{\mathrm{e}}$
$\sqrt[3]{\mathrm{e}^2}$

Welche Eigenschaften und Zusammenhänge können aus den Ergebnissen gefolgert werden?

Vereinfache durch Verwendung der Potenzgesetze.

$\mathrm e^3 \cdot \mathrm e^5$

$\dfrac{\mathrm e^7}{\mathrm e^2}$

$\mathrm{e}^{-2}+\sqrt{\mathrm{e}}$

$\sqrt{\mathrm{e}^2}: \sqrt{\mathrm{e}}$

$\dfrac{\mathrm e \cdot \mathrm e^{-3}}{\mathrm e^{-4}}$

$\left(\mathrm e^3\right)^{-2} \cdot \mathrm e^4$

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$\begin{array}[t]{rll} K_{20}&=& 1000\cdot 1,02^{20}& \\[5pt] &\approx& 1485,95 \;[€] \end{array}$

Das Endkapital beträgt nach 20 Jahren jährlicher Verzinsung etwa $1485,95 \;€.$

$\begin{array}[t]{rll} K_{20}&=& 1000\cdot \mathrm e^{0,02\cdot 20}& \\[5pt] &\approx& 1491,82 \;[€] \end{array}$

Das Endkapital beträgt nach 20 Jahren stetiger Verzinsung etwa $1491,82\;€.$ Der Unterschied zwischen jährlicher und stetiger Verzinsung ist also relativ gering.

Term	Ergebnis
$\mathrm{e}^2$	$7,389$
$\mathrm{e}^{\frac{2}{3}}$	$1,948$
$\mathrm{e}^0$	$1$
$\mathrm{e}^{-1}$	$0,368$
$\mathrm{e}^{-6}$	$0,002$
$\sqrt{\mathrm{e}}$	$1,649$
$\sqrt[3]{\mathrm{e}^2}$	$1,948$

Aus dem Vergleich der ersten fünf Werte mit kleiner werdendem Exponenten geht hervor, dass die Funktion $\mathrm e^x$ exponentiell ansteigt und selbst für negative Exponenten nie den Wert Null erreicht bzw. unterschreitet.

Es wird außerdem folgender Zusammenhang klar:

$\mathrm e^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{\mathrm e^n}$ bzw. $x^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{ x^n}$

$\mathrm e^3 \cdot \mathrm e^5=\mathrm e^{3+5}=\mathrm e^8$

$\dfrac{\mathrm e^7}{\mathrm e^2}=\mathrm e^{7-2}=\mathrm e^5$

$\mathrm{e}^{-2}+\sqrt{\mathrm{e}}=\mathrm e^{-2}+\mathrm e^{\frac{1}{2}}$

$\sqrt{\mathrm{e}^2}: \sqrt{\mathrm{e}}= \sqrt{\mathrm e^2:\mathrm e^1}=\sqrt{\mathrm e^{2-1}}=\sqrt{\mathrm e}$

$\dfrac{\mathrm e \cdot \mathrm e^{-3}}{\mathrm e^{-4}}=\dfrac{\mathrm e^{-3+1}}{\mathrm e^{-4}}=\mathrm e^{-2-(-4)}=\mathrm e^{2}$

$\left(\mathrm e^3\right)^{-2} \cdot \mathrm e^4=\mathrm e^{3\cdot (-2)}\cdot \mathrm e^4=\mathrm e^{-6+4}=\mathrm e^{-2}$

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