Substitutionsmethode

Definition

Eine Gleichung der Form $a x^4+b x^2+c=0$ mit $a \neq 0$ heißt biquadratische Gleichung und hat bis zu vier Lösungen.

Durch Substitution kann eine biquadratische Gleichung auf eine quadratische Gleichung zurückgeführt werden, indem $x^2$ durch $z$ und somit $x^4$ durch $z^2$ ersetzt wird.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rll} x^4-2x^2+3&=& 0& \\[5pt] (x^2)^2-2x^2+3&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; x^2=z \\[5pt] z^2-2z+3&=& 0 \end{array}$

Vorgehen zum Lösen einer Gleichung durch Substitution

Variablen substituieren
Die Variable $x^2$ wird durch die Variable $z$ (und $x^4$ durch $z^2$ ) ersetzt.
Quadratische Gleichung lösen
Die entstandene quadratische Gleichung kann mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform gelöst werden.

Variablen resubstituieren
Die zuvor durchgeführte Substitution wird rückgängig gemacht, indem die ersetzten Variablen wieder in ihre ursprüngliche Form zurückgeführt werden. Die Variable $z,$ nach der aufgelöst wurde, wird also wieder durch die Variable $x^2$ (und $z^2$ durch $x^4$ ) ersetzt.
Gleichung lösen
Die Lösungen der biquadratischen Gleichung ergeben sich nun durch Wurzelziehen der Resubstitution $x^2=z.$

Beispiel

Löse die Gleichung $x^4-5x^2-36=0.$

Durch die Substitution $x^2=z$ ergibt sich: $z^2-5z-36=0$

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen folgt:

$\begin{array}[t]{rll} z_{1}&=& -\dfrac{(-5)}{2} + \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-(-36)} & \\[5pt] z_{1}&=& 2,5 + 6,5 & \\[5pt] z_1&=& 9& \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} z_2&=& -\dfrac{(-5)}{2} - \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2-(-36)} & \\[5pt] z_2&=& 2,5 - 6,5 & \\[5pt] z_2&=& -4 \end{array}$

Resubstitution ergibt nun:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_1 & \\[5pt] x^2&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x &=& \pm3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_2 & \\[5pt] x^2&=& -4 \end{array}$

Da die Wurzel einer negativen Zahl im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist, hat diese Gleichung keine Lösung.

Die biquadratische Funktion besitzt somit nur die beiden Lösungen $x_1=-3$ und $x_2=3.$

$\begin{array}[t]{rll} x^4-25x^2&=& 0& \\[5pt] x^2\cdot (x^2-25)&=& 0& \\[5pt] \end{array}$

Der Term wird genau dann null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Es folgt direkt $x_1=0.$ Für den zweiten Term gilt:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-25&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +25\\[5pt] x^2&=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x&=& \pm5 \end{array}$

Die Lösungen der Gleichung sind somit gegeben durch $x_1=0,\; x_2=5$ und $x_3=-5.$

$\begin{array}[t]{rll} x^4+2&=& 3x^2&\quad \scriptsize \mid\; -3x^2 \\[5pt] x^4-3x^2+2&=& 0&\\[5pt] \end{array}$

Durch die Substitution $x^2=z$ folgt $z^2-3z+2=0.$

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform ergibt sich nun:

$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& -\dfrac{(-3)}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-2} & \\[5pt] &=& 1,5+0,5 & \\[5pt] &=& 2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} z_2&=& -\dfrac{(-3)}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-2} & \\[5pt] &=& 1,5-0,5 & \\[5pt] &=& 1 \end{array}$

Resubstitution der Variablen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_1 &\\[5pt] x^2&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_2 &\\[5pt] x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=& \pm1 \end{array}$

Die Lösungen der Gleichung sind somit gegeben durch $x_1=\sqrt{2}, \; x_2=-\sqrt{2},\; x_3=1$ und $x_4=-1.$

Durch die Substitution $x^2=z$ folgt $z^2+10z+9=0.$

Mit der Lösungsformel ergeben sich die Lösungen zu:

$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& -\dfrac{10}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2-9} & \\[5pt] &=& -5 + 4 & \\[5pt] &=& -1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} z_2&=& -\dfrac{10}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{10}{2}\right)^2-9} & \\[5pt] &=& -5-4 & \\[5pt] &=& -9 \end{array}$

Resubstitution der Variablen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_1 &\\[5pt] x^2&=& -1 &\\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_2 &\\[5pt] x^2&=& -9 &\\[5pt] \end{array}$

Da die Quadratwurzel von negativen Zahlen im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist, hat die biquadratische Funktion folglich keine Lösungen.

$\begin{array}[t]{rll} (x^2-4)^2&=& 16& \\[5pt] x^4-2\cdot 4\cdot x^2+4^2&=& 16&\quad \scriptsize \mid\; -16 \\[5pt] x^4-8x^2&=& 0&\\[5pt] \end{array}$

Durch die Substitution $x^2=z$ folgt $z^2-8z=0.$

Mit der Lösungsformel ergibt sich nun:

$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& -\dfrac{(-8)}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-0} & \\[5pt] &=& 4+4 & \\[5pt] &=& 8 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} z_2&=& -\dfrac{(-8)}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{-8}{2}\right)^2-0} & \\[5pt] &=& 4-4 & \\[5pt] &=& 0 \end{array}$

Resubstitution der Variablen:

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_1 &\\[5pt] x^2&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=& \pm \sqrt{8} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& z_2 &\\[5pt] x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] x&=& 0 \end{array}$

Die Lösungen der Gleichung sind somit gegeben durch $x_1=\sqrt{8}, \; x_2=-\sqrt{8}$ und $x_3=0.$

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Für die Längen $a$ und $b$ der Seiten des Rechtecks gilt:

$a, b>0$
$a \cdot b=12$
$a^2+b^2=5^2$

Umformen der zweiten Bedingung ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\; :a\\[5pt] b&=&\dfrac{12}{a} \end{array}$

Einsetzen in die dritte Bedingung liefert nun:

$\begin{array}[t]{rll} a^2+\left(\dfrac{12}{a}\right)^2&=& 5^2& \\[5pt] a^2+\dfrac{144}{a^2}&=& 25&\quad \scriptsize \mid\; \cdot a^2\\[5pt] a^4+144&=& 25a^2&\quad \scriptsize \mid\; -25a^2\\[5pt] a^4-25a^2+144&=& 0 \end{array}$

2. Schritt: Variable substituieren

Die entstandene biquadratische Gleichung kann durch Substitution von $a^2$ durch $z$ in eine quadratische Gleichung überführt werden. Mit $a^2=z$ folgt also:

$\begin{array}[t]{rll} a^4-25a^2+144&=& 0 & \\[5pt] (a^2)^2-25a^2+144&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; a^2=z\\[5pt] z^2-25z+144&=& 0 \end{array}$

3. Schritt: Quadratische Gleichung lösen

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform und $p=-25$ sowie $q=144$ ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} z_1&=& -\dfrac{(-25)}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{-25}{2}\right)^2-144} & \\[5pt] &=& 12,5+ 3,5 & \\[5pt] &=& 16 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} z_2&=& -\dfrac{(-25)}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{-25}{2}\right)^2-144} & \\[5pt] &=& 12,5- 3,5 & \\[5pt] &=& 9 \end{array}$

4. Schritt: Variable resubstituieren

Ersetzen von $z$ durch $a^2$ liefert:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& z_1& \\[5pt] a^2&=& 16&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=& \pm4 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& z_2& \\[5pt] a^2&=& 9&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] a&=& \pm3 \end{array}$

Da $a,b \gt 0$ gelten muss, kommen nur die positiven Lösungen $a_1=4$ und $a_2=3$ als eine Seitenlänge des Rechtecks in Betracht.

5. Schritt: Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; a_1=4\\[5pt] 4\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] b&=& 3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} a\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; a_2=3\\[5pt] 3\cdot b&=& 12&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] b&=& 4 \end{array}$

Die Seitenlängen des Rechtecks betragen somit $3 \,\text{m}$ und $4\,\text{m}.$

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