Potenzen mit rationalem Exponent

n-te Wurzeln

Zu einer Zahl $a\geq0$ wird die Zahl $x\geq 0$ mit $x^n=a$ die n-te Wurzel von $a,$ geschrieben $\boldsymbol{\sqrt[n]{a}},$ genannt. Dabei ist $n \in \mathbb N$ der Wurzelexponent und $a$ der Radikand.

Definition

$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\quad \,a\geq 0, \quad n\in \mathbb N,\,n\geq 2$

$\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\quad a\gt 0,\quad n\in \mathbb N \backslash \{0\},\quad$ $m \in \mathbb Z.\quad$ Für $m\geq 0$ kann auch $a= 0$ gelten.

Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Potenzieren

Für $a\in \mathbb R$ und $a\geq 0$ gilt:

Potenzieren mit $n$ macht das Ziehen der $n$ -ten Wurzel rückgängig: $(\sqrt[n]{a})^n=a$
Ziehen der $n$ -ten Wurzel macht das Potenzieren mit $n$ rückgängig: $\sqrt[n]{a^n}=a$

Satz

Für $a\gt 0,\, m,p\in \mathbb Z,\,n,q\in \mathbb N\backslash\{0\}$ gilt:

Aus $\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}$ folgt $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[q]{a^p}.$