Potenzen mit rationalem Exponent

n-te Wurzeln

Zu einer Zahl \(a\geq0\) wird die Zahl \(x\geq 0\) mit \(x^n=a\) die n-te Wurzel von \(a,\) geschrieben \(\boldsymbol{\sqrt[n]{a}},\) genannt. Dabei ist \(n \in \mathbb N\) der Wurzelexponent und \(a\) der Radikand.

Definition

\(\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}\quad \,a\geq 0, \quad n\in \mathbb N,\,n\geq 2\)
\(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\quad a\gt 0,\quad n\in \mathbb N \backslash \{0\},\quad \)\(m \in \mathbb Z.\quad\) Für \(m\geq 0\) kann auch \(a= 0\) gelten.

Zusammenhang zwischen Wurzelziehen und Potenzieren

Für \(a\in \mathbb R\) und \(a\geq 0\) gilt:
  • Potenzieren mit \(n\) macht das Ziehen der \(n\)-ten Wurzel rückgängig: \((\sqrt[n]{a})^n=a\)
  • Ziehen der \(n\)-ten Wurzel macht das Potenzieren mit \(n\) rückgängig: \(\sqrt[n]{a^n}=a\)

Satz

Für \(a\gt 0,\, m,p\in \mathbb Z,\,n,q\in \mathbb N\backslash\{0\}\) gilt:
Aus \(\dfrac{m}{n}=\dfrac{p}{q}\) folgt \(\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[q]{a^p}.\)