Linearfaktorzerlegungsmethode

Definition

Gleichungen höheren Grades können durch Abspalten eins Linearfaktors $x-x_1$ gelöst werden.

$x_1$ ist dabei eine bekannte Lösung der Gleichung.

Vorgehen

Eine Gleichung der Form $\boldsymbol{a x^3+b x^2+c x=0}$ kann durch Ausklammern von $x$ in die Form $T_1 \cdot T_2=0$ überführt werden. Die Lösungen ergeben sich dann durch Nullsetzen der beiden Faktoren:

$\begin{array}[t]{rll} ax^3+bx^2+cx&=& 0& \\[5pt] x\cdot \left(a x^2+b x+c\right)&=& 0 \end{array}$

Ist von einer Gleichung der Form $\boldsymbol{a x^3+b x^2+c x+d=0}$ eine Lösung $x=x_1$ bekannt, so kann der Linearfaktor $(x-x_1)$ abgespaltet werden. Die weiteren Lösungen ergeben sich dann durch Nullsetzen des Restterms und Koeffizientenvergleich.

Beispiel

Von der Gleichung $x^3-3x^2-4x+12=0$ ist die Lösung $x=2$ bekannt.

$\begin{array}[t]{rll} & x^3-3x^2-4x+12 \\[5pt] =& (x-2)(ax^2+bx+c) \\[5pt] =& ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c \end{array}$

Durch Koeffizientenvergleich folgt: $a=1,\, b=-1,\, c=-6$

Es gilt also:

$x^3-3x^2-4x+12$ $=(x-2)(x^2-x-6)=0$

Beide Faktoren gleich null setzten:

$x^2-x-6=0$

Mit der Lösungsformel folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{-1}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{-1}{2}\right)^2-(-6)} \\[5pt] &=& 0,5\pm 2,5 \\[5pt] x_1&=& 3 \\[5pt] x_2&=& -2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x-2&=& 0\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] x_3&=& 2 \end{array}$

Die Gleichung hat die Lösungen $-2,\,2$ und $3.$

Durch Nullsetzen beider Faktoren folgt direkt $x_1=0.$

Für den zweiten Term gilt außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} x^2-9&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +9 \\[5pt] x^2&=& 9&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] x&=& \pm3 \end{array}$

Die Gleichung hat also die Lösungen $-3, 0$ und $3.$

Durch Nullsetzen beider Faktoren folgt direkt $x_1=0.$

Für den zweiten Term gilt außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-8x-10&=& 0& \\[5pt] 2\cdot (x^2-4x-5)&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] x^2-4x-5&=& 0 \end{array}$

1. Möglichkeit: Quadratische Ergänzung

Rechnung anzeigen

$x=2 \pm 3$

Die Gleichung hat also die Lösungen $-1, 0$ und $5.$

2. Möglichkeit: Lösungsformel

Mit der Lösungsformel folgt mit $p=-4$ und $q=-5$ direkt:

$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& -\dfrac{(-4)}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-(-5)} & \\[5pt] &=& 2+\sqrt{4+5} & \\[5pt] &=& 2+3& \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_3&=& -\dfrac{(-4)}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{-4}{2}\right)^2-(-5)} & \\[5pt] &=& 2-\sqrt{4+5} & \\[5pt] &=& 2-3& \\[5pt] &=& -1 \end{array}$

Die Gleichung hat also die Lösungen $-1, 0$ und $5.$

Ausklammern von $x$ ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} x^3-2x^2-15x&=& 0 & \\[5pt] x\cdot (x^2-2x-15)&=& 0 \end{array}$

Durch Nullsetzen beider Faktoren folgt direkt $x_1=0.$

Weitere Lösungen ergeben sich außerdem mit:

$x^2-2x-15=0$

1. Möglichkeit: Quadratische Ergänzung

Rechnung anzeigen

$x=1 \pm 4$

Die Gleichung hat also die Lösungen $-3, 0$ und $5.$

2. Möglichkeit: Lösungsformel

Mit der Lösungsformel folgt mit $p=-2$ und $q=-15$ direkt:

$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& -\dfrac{(-2)}{2}+\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-15)} & \\[5pt] &=& 1+\sqrt{1+15} & \\[5pt] &=& 1+4& \\[5pt] &=& 5 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_2&=& -\dfrac{(-2)}{2}-\sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(-15)} & \\[5pt] &=& 1-\sqrt{1+15} & \\[5pt] &=& 1-4& \\[5pt] &=& -3 \end{array}$

Die Gleichung hat also die Lösungen $-3, 0$ und $5.$

Durch Nullsetzen beider Faktoren folgt aus dem ersten Term:

$\begin{array}[t]{rll} x-2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] x&=& 2 \end{array}$

Für den zweiten Term ergibt sich außerdem:

$\begin{array}[t]{rll} x^2+4&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] x^2&=& -4 \end{array}$

Da die Quadratwurzel von negativen Zahlen im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert ist, ist $x=2$ die einzige Lösung der Gleichung.

1. Schritt: Lösung nachweisen

Um zu zeigen, dass $x=2$ eine Lösung der Gleichung $x^3-6x^2+11 x-6=0$ ist, kann $x=2$ in die Gleichung eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} 2^3-6\cdot 2^2+11 \cdot 2-6&=& 0& \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

Somit besitzt die Gleichung die Lösung $x=2.$

2. Schritt: Linearfaktor abspalten

Da $x=2$ eine Lösung der Gleichung ist, kann der Linearfaktor $(x-2)$ abgespalten werden, sodass ein quadratischer Term übrig bleibt:

$x^3-6x^2+11 x-6=...$

Umformung anzeigen

3. Schritt: Koeffizientenvergleich

Durch Koeffizientenvergleich können nun die Werte von $a,b$ und $c$ ermittelt werden:

Es ergibt sich direkt $a=1.$

Damit folgt für den Wert von $b:$

$\begin{array}[t]{rll} -6&=& b-2a&\quad \scriptsize \mid\;a=1 \\[5pt] -6&=& b-2&\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] -4&=& b \end{array}$

Außerdem soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 11&=& c-2b&\quad \scriptsize \mid\; b=-4 \\[5pt] 11&=& c+8&\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] 3&=& c \end{array}$

Überprüfen mit dem letzten Term $-2c=-6$ bestätigt die Ergebnisse.

Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$(x-2)\cdot (x^2-4x+3)=0$

4. Schritt: Gleichung lösen

Aus dem ersten Term folgt direkt $x=2.$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich für den zweiten Term außerdem:

$x= 2\pm 1$

Rechenweg anzeigen

Die gegebene Gleichung hat also die Lösungen $1,2$ und $3.$

1. Schritt: Lösung nachweisen

Um zu zeigen, dass $x=-5$ eine Lösung der Gleichung $x^3+3 x^2-18x-40=0$ ist, kann $x=-5$ in die Gleichung eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} (-5)^3+3 \cdot (-5)^2-18 \cdot (-5)-40&=& 0& \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

Somit besitzt die Gleichung die Lösung $x=-5.$

2. Schritt: Linearfaktor abspalten

Da $x=-5$ eine Lösung der Gleichung ist, kann der Linearfaktor $(x+5)$ abgespalten werden, sodass ein quadratischer Term übrig bleibt:

$x^3+3x^2-18x-40=...$

Umformung anzeigen

3. Schritt: Koeffizientenvergleich

Durch Koeffizientenvergleich können nun die Werte von $a,b$ und $c$ ermittelt werden:

Es ergibt sich direkt $a=1.$

Damit folgt für den Wert von $b:$

$\begin{array}[t]{rll} 3&=& b+5a&\quad \scriptsize \mid\;a=1 \\[5pt] -7&=& b+5&\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] -2&=& b \end{array}$

Außerdem soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} -18&=& c+5b&\quad \scriptsize \mid\; b=-2 \\[5pt] -18&=& c-10&\quad \scriptsize \mid\; +10 \\[5pt] -8&=& c \end{array}$

Überprüfen mit dem letzten Term $5c=5\cdot (-8)=40$ bestätigt die Ergebnisse.

Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$(x+5)\cdot (x^2-2x-8)=0$

4. Schritt: Gleichung lösen

Aus dem ersten Term folgt direkt $x=-5.$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich für den zweiten Term außerdem:

$x= 1\pm 3$

Rechenweg anzeigen

Die gegebene Gleichung hat also die Lösungen $-5,-2$ und $4.$

1. Schritt: Lösung nachweisen

Um zu zeigen, dass $x=-1$ eine Lösung der Gleichung $2x^3-4 x^2-2x+4=0$ ist, kann $x=-1$ in die Gleichung eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (-1)^3-4 \cdot (-1)^2-2 \cdot (-1)+4&=& 0& \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

Somit besitzt die Gleichung die Lösung $x=-1.$

2. Schritt: Linearfaktor abspalten

Da $x=-1$ eine Lösung der Gleichung ist, kann der Linearfaktor $(x+1)$ abgespalten werden, sodass ein quadratischer Term übrig bleibt:

$2x^3-4x^2-2x+4=...$

Umformung anzeigen

3. Schritt: Koeffizientenvergleich

Durch Koeffizientenvergleich können nun die Werte von $a,b$ und $c$ ermittelt werden:

Es ergibt sich direkt $a=2.$

Damit folgt für den Wert von $b:$

$\begin{array}[t]{rll} -4&=& b+a&\quad \scriptsize \mid\;a=2 \\[5pt] -4&=& b+2&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] -6&=& b \end{array}$

Außerdem soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} -2&=& c+b&\quad \scriptsize \mid\; b=-6 \\[5pt] -2&=& c-6&\quad \scriptsize \mid\; +6 \\[5pt] 4&=& c \end{array}$

Überprüfen mit dem letzten Term $c=4$ bestätigt die Ergebnisse.

Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$(x+1)\cdot (2x^2-6x+4)=0$

4. Schritt: Gleichung lösen

Aus dem ersten Term folgt direkt $x=-1.$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich für den zweiten Term außerdem:

$x=1,5 \pm 0,5$

Rechenweg anzeigen

Die gegebene Gleichung hat also die Lösungen $-1,1$ und $2.$

1. Schritt: Lösung nachweisen

Um zu zeigen, dass $x=1$ eine Lösung der Gleichung $3x^3+18x^2+15 x-36=0$ ist, kann $x=1$ in die Gleichung eingesetzt werden:

$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot 1^3+18 \cdot 1^2 +15\cdot 1-36&=& 0& \\[5pt] 0&=& 0 \end{array}$

Somit besitzt die Gleichung die Lösung $x=1.$

2. Schritt: Linearfaktor abspalten

Da $x=1$ eine Lösung der Gleichung ist, kann der Linearfaktor $(x-1)$ abgespalten werden, sodass ein quadratischer Term übrig bleibt:

$3x^3+18x^2+15x-36=...$

Umformung anzeigen

3. Schritt: Koeffizientenvergleich

Durch Koeffizientenvergleich können nun die Werte von $a,b$ und $c$ ermittelt werden:

Es ergibt sich direkt $a=3.$

Damit folgt für den Wert von $b:$

$\begin{array}[t]{rll} 18&=& b-a&\quad \scriptsize \mid\;a=3 \\[5pt] 18&=& b-3&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] 21&=& b \end{array}$

Außerdem soll gelten:

$\begin{array}[t]{rll} 15&=& c-b&\quad \scriptsize \mid\; b=21 \\[5pt] 15&=& c-21&\quad \scriptsize \mid\; +21 \\[5pt] 36&=& c \end{array}$

Überprüfen mit dem letzten Term $-c=-36$ bestätigt die Ergebnisse.

Es ergibt sich also folgende Gleichung:

$(x-1)\cdot (3x^2+21x+36)=0$

4. Schritt: Gleichung lösen

Aus dem ersten Term folgt direkt $x=1.$

Mit quadratischer Ergänzung ergibt sich für den zweiten Term außerdem:

$x=3,5 \pm 0,5$

Rechenweg anzeigen

Die gegebene Gleichung hat also die Lösungen $-4,-3$ und $1.$

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