Linearfaktorzerlegung quadratischer Terme

Definition

Hat die quadratische Funktion mit $f(x)=x^2+p x+q$ die Nullstellen $m$ und $n,$ so ergibt sich die Linearfaktorzerlegung zu $\boldsymbol{f(x)=(x-m)(x-n)}.$

Die Terme $(x-m)$ und $(x-n)$ werden als Linearfaktoren des Funktionsterms bezeichnet.

Hat die quadratische Funktion $f$ nur eine Nullstelle $n$ , so gilt $f(x)=(x-n)^2$ .

Hat die Funktion keine Nullstelle, so kann ihr Funktionsterm nicht in Linearfaktorzerlegung angegeben werden.

Funktionsterme quadratischer Funktionen

Der Funktionsterm einer quadratischen Gleichung kann in verschiedenen Formen angegeben werden:

Allgemeine Form: $f(x)=a x^2+b x+c$
Aus dieser Darstellung kann der $y$ -Achsenabschnitt $c$ abgelesen werden.

Scheitelpunktform: $f(x)=a(x+d)^2+e$
Aus dieser Form kann der Scheitelpunkt $S(-d \mid e)$ abgelesen werden.

Linearfaktorzerlegung: $f(x)=a(x-m)(x-n)$
Aus dem Produkt der linearen Terme können die Nullstellen $m$ und $n$ abgelesen werden.

Die unterschiedlichen Funktionsterme können durch Ausmultiplizieren und Anwenden der binomischen Formeln in die jeweils anderen Formen umgewandelt werden.

Beispiel

liearfaktorzerlegung quadratischer terme

$f(x)=-2x^2+8x-3,5$

$f(x)=-2\cdot (x-2)^2+4,5$

$f(x)=-2\cdot (x-0,5)(x-3,5)$

Satz von Vieta

Ist eine quadratische Gleichung in der Normalform $x^2+px+\mathrm{q}=0$ angegeben und die Lösungen bestimmt mit $x_1$ und $x_2,$ dann gilt:

$x_1+x_2=-p\quad$ und $\quad x_1 \cdot x_2=q$

Stimmen die beiden Lösungen $x_1$ und $x_2$ überein, so hat die Gleichung nur eine Lösung und es gilt:

$2 x_1=-p \quad$ und $\quad x_1^2=q$

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform ergeben sich die Nullstellen von $f$ zu:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-3)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-(-10)}& \\[5pt] x_{1;2}&=& 1,5\pm \sqrt{1,5^2+10}& \\[5pt] x_{1;2}&=& 1,5 \pm 3,5 & \\[5pt] x_1&=& -2& \\[5pt] x_2&=& 5 \end{array}$

Die Linearfaktorzerlegung folgt also mit:

$f(x)=(x+2)(x-5)$

Es gilt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& -x^2-8 x+9 & \\[5pt] &=& -(x^2+8x-9) & \\[5pt] \end{array}$

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform folgt:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{8}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{8}{2}\right)^2-(-9)}& \\[5pt] x_{1;2}&=& -4\pm \sqrt{16+9}& \\[5pt] x_{1;2}&=& -4\pm 5 & \\[5pt] x_1&=& -9& \\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$

Die Linearfaktorzerlegung ergibt sich also zu:

$f(x)=-(x+9)(x-1)$

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform ergeben sich die Nullstellen von $f$ zu:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4}& \\[5pt] x_{1;2}&=& -2\pm \sqrt{4-4}& \\[5pt] x_{1;2}&=& -2\pm 0& \\[5pt] x_1&=& -2& \\[5pt] x_2&=& -2 \end{array}$

Da die Funktion also nur eine Nullstelle besitzt, gilt für die Linearfaktorzerlegung:

$f(x)=(x+2)^2$

Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform ergeben sich die Nullstellen von $f$ zu:

$\begin{array}[t]{rll} x_{1;2}&=& -\dfrac{(-6)}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{(-6)}{2}\right)^2-10}& \\[5pt] x_{1;2}&=& 3\pm \sqrt{9-10}& \\[5pt] x_{1;2}&=& 3\pm \sqrt{-1}& \\[5pt] \end{array}$

Da die Wurzel einer negativen Zahl in den reellen Zahlen nicht definiert ist, besitzt die Funktion $f$ keine Nullstelle und kann somit auch nicht in Linearfaktorzerlegung angegeben werden.

Funktionen umformen

Ausmultiplizieren ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& (x-3)(x-1)& \\[5pt] &=& x^2-1x-3x+3& \\[5pt] &=& x^2-4x+3 \end{array}$

Die Normalform von $f$ ist somit gegeben durch $f(x)=x^2-4x+3.$

Mit quadratischer Ergänzung folgt außerdem:

$f(x)= (x-2)^2-1$

Rechenweg anzeigen

Die Scheitelpunktform folgt also mit $f(x)=(x-2)^2-1.$

Ausmultiplizieren ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=& 2(x-2)(x+4)& \\[5pt] &=& 2(x^2+4x-2x-8)& \\[5pt] &=& 2x^2+4x-16 \end{array}$

Die Normalform von $f$ ist somit gegeben durch $g(x)=2x^2+4x-16.$

Mit quadratischer Ergänzung folgt außerdem:

$g(x)=2\cdot (x+1)^2-18$

Rechenweg anzeigen

Die Scheitelpunktform folgt also mit $g(x)=2\cdot (x+1)^2-18.$

Ausmultiplizieren ergibt:

$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& -\dfrac{1}{2}(x+8)(x-2)& \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}(x^2-2x+8x-16)& \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}x^2-3x+8 \end{array}$

Die Normalform von $f$ ist somit gegeben durch $h(x)=-\dfrac{1}{2}x^2-3x+8.$

Mit quadratischer Ergänzung folgt außerdem:

$h(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (x+3)^2+12,5$

Rechenweg anzeigen

Die Scheitelpunktform folgt also mit $h(x)=-\dfrac{1}{2}\cdot (x+3)^2+12,5.$

Graphen einzeichnen

Aus der Scheitelform können jeweils die Koordinaten des Scheitelpunkts abgelesen werden. Die Linearfaktorzerlegungen geben zudem die Nullstellen der Funktionen an. Somit folgt:

Linearfaktorzerlegung quadratischer Terme Sachsen Anhalt Mathe

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