Quadratische Funktionen – Definition

Definition

Eine Funktion $f$ mit $f(x)=a x^2+b x+c$ und $a \neq 0$ heißt quadratische Funktion.

Die Graphen dieser Funktionen, in denen das Quadrat der Variablen vorkommt, werden Parabeln genannt.

Beispiel: Maximierungsproblem

Entlang einer Hauswand soll ein rechteckiger Gemüsegarten mit einem Holzzaun abgegrenzt werden. Das Budget reicht für genau 12 Meter Holzzaun.

Berechne, in welchem Abstand von der Hauswand die Eckpfosten des Zauns gesetzt werden müssen, sodass der Gemüsegarten eine möglichst große Fläche hat.

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Da eine Seite des Rechtecks bereits durch die Hauswand abgegrenzt ist, müssen die restlichen drei Seiten insgesamt eine Länge von 12 Metern haben. Wird der Abstand eines Eckpfostens zur Hauswand als $x$ bezeichnet, so bleibt für den Abstand der beiden Pfosten zueinander eine Zaunlänge von $12-2x$ übrig.

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Hilfsskizze
(nicht maßstäblich)

Für den Flächeninhalt des rechteckigen Gemüsegartens gilt also:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& x\cdot (12-2x) & \\[5pt] &=& 12x-2x^2 \end{array}$

Da der Abstand der beiden Pfosten von der Hauswand nicht Null oder negativ sein kann, gilt $x\gt0.$ Da die beiden Abstände außerdem zusammen nicht größer als die vorgegebene Zaunlänge sein können, gilt $2x\lt 12,$ also $x\lt 6.$

2. Schritt: Maximalen Flächeninhalt bestimmen

Um den Abstand $x$ zu finden, für den der Flächeninhalt $A=12x-2x^2$ am größten ist, kann mit Hilfe einer Wertetabelle der entsprechende Graph gezeichnet werden. Zum besseren Zeichnen können die Randwerte hinzugenommen werden.

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{12x-2x^2}$
$0$	$0$
$1$	$10$
$2$	$16$
$3$	$18$
$4$	$16$
$5$	$10$
$6$	$0$

Der Graph ist symmetrisch und hat seinen höchsten Punkt an der Stelle $x=3.$ Der zugehörige Funktionswert ist 18.

Die Eckpfosten müssen also 3 Meter von der Hauswand und somit $12\,\text{m}-2\cdot 3\,\text{m}=6\,\text{m}$ voneinander entfernt gesetzt werden, sodass der Gemüsegarten den größtmöglichen Flächeninhalt von $18\,\text{m}^2$ besitzt.

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1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

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Hilfsskizze
(nicht maßstäblich)

Für den Oberflächeninhalt eines Quaders mit quadratischer Grundfläche gilt:

$O=2 a^2+4ab$

Da der Draht eine Länge von 4 Metern hat, darf die gesamte Kantenlänge diesen Wert nicht überschreiten:

$\begin{array}[t]{rll} 4&=& 8a+4b &\quad \scriptsize \mid\; -8a \\[5pt] 4-8a&=& 4b &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 1-2a&=& b \end{array}$

Es muss somit $b=1-2a$ gelten.

Der Oberflächeninhalt kann also mit folgender Formel berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2a^2+4a\cdot (1-2a)&\\[5pt] &=& 2a^2+4a-8a^2&\\[5pt] &=& -6a^2+4a \end{array}$

Da die Kantenlänge $a$ der Grundfläche nicht null oder negativ sein kann, muss $a\gt0$ gelten. Die Summe der Kantenlängen darf außerdem nicht größer als $4\,\text{m}$ sein. Da die Kantenlänge $a$ im Quader genau acht mal vorkommt, muss also auch $8a\lt 4$ und somit $a\lt 0,5$ gelten.

2. Schritt: Maximalen Oberflächeninhalt bestimmen

Um die Kantenlänge $a$ der Grundfläche zu finden, für die der Oberflächeninhalt $O$ am größten ist, kann mit Hilfe einer Wertetabelle der entsprechende Graph gezeichnet werden. Zum besseren Zeichnen können die Randwerte hinzugenommen werden.

$\color{#fff}{a}$	$\color{#fff}{-6a^2+4a}$
$0$	$0$
$1$	$10$
$2$	$16$
$3$	$18$
$4$	$16$
$5$	$10$
$6$	$0$

Der Graph hat seinen höchsten Punkt etwa an der Stelle $a=0,33.$ Der zugehörige Funktionswert ist ungefähr 0,67.

Die Breite und Länge des Gebäudes müssen im Modell somit etwa $0,33\,\text{m}$ und die Höhe dementsprechend $1-2\cdot 0,33\approx 0,34 \,\text{m}$ betragen, sodass das Modell einen größtmöglichen Oberflächeninhalt von $0,67\,\text{m}^2$ besitzt.

Dies bedeutet, dass der Oberflächeninhalt des Quaders genau dann am größten ist, wenn alle Kantenlängen gleich groß sind. Das Modell entspricht in diesem Fall also einem Würfel.

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

Aufgrund der Symmetrie teilen die Eckpunkte des kleinen Quadrats die Seiten des großen Quadrats jeweils in gleich lange Abschnitte. Da die Seitenlänge des äußeren, größeren Quadrats $3\,\text{m}$ beträgt, ergeben sich für die beiden unterteilten Abschnitte jeweils die Längen $x$ und $3-x.$

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Hilfsskizze
(nicht maßstäblich)

Die dabei entstehenden rechtwinkligen Dreiecke zwischen den beiden Quadraten sind kongruent zueinander. Für ihren Flächeninhalt gilt:

$A_Δ=\dfrac{1}{2}\cdot x\cdot (3-x)$

Der Flächeninhalt des kleineren Quadrats ergibt sich nun aus dem Flächeninhalt des größeren Quadrats, von welchem der Flächeninhalt der vier kongruenten Dreiecke abgezogen wird. Es ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& 3^2-4\cdot A_Δ&\\[5pt] &=& 3^2-4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x\cdot (3-x) &\\[5pt] &=& 9-2x\cdot (3-x)&\\[5pt] &=& 9-6x+2x^2&\\[5pt] &=& 2x^2-6x+9 \end{array}$

Da die Seitenlänge des äußeren Quadrats $3\,\text{m}$ beträgt, muss auch $0\lt x\lt 3$ gelten.

2. Schritt: Minimalen Flächeninhalt bestimmen

Um die Länge $x$ zu bestimmen, für die der Flächeninhalt des kleineren Quadrats minimal ist, kann mit Hilfe einer entsprechenden Wertetabelle der Graph für den Flächeninhalt $A$ in Abhängigkeit von $x$ gezeichnet und dessen Tiefpunkt bestimmt werden. Zum vereinfachten Zeichnen können die Randwerte hinzugenommen werden, auch wenn diese im Sachzusammenhang bedeutungslos sind.

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{2x^2-6x+9}$
$0$	$0$
$1$	$10$
$2$	$16$
$3$	$18$
$4$	$16$
$5$	$10$
$6$	$0$

Der Graph ist symmetrisch und hat seinen tiefsten Punkt an der Stelle $x=1,5.$ Der zugehörige Funktionswert ist 4,5.

Für die Unterteilung in die Abschnitte $x=1,5$ und $3-1,5=1,5$ ist der Flächeninhalt mit einem Wert von $4,5 \,\text{m}^2$ am kleinsten.

Die Eckpunkte des inneren Quadrats unterteilen die Seiten des äußeren Quadrats somit jeweils genau in der Hälfte und stellen deren Mittelpunkte dar.

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