Optimierungsprobleme mit quadratischen Funktionen

Ein Optimierungsproblem ist ein mathematisches Problem, bei dem eine Größe maximiert oder minimiert werden soll, die von einer oder mehreren Variablen abhängt und bestimmte Bedingungen erfüllen soll.

Definition

Ist der Graph einer quadratischen Funktion eine nach oben geöffnete Parabel, so entspricht der Scheitelpunkt dem Tiefpunkt des Graphen. Die $y$ -Koordinate des Tiefpunkts ist somit der kleinstmögliche Funktionswert und wird als Minimum der Funktion bezeichnet.

Hat eine quadratische Funktion eine nach unten geöffnete Parabel als Graphen, so ist deren Scheitelpunkt der Hochpunkt. Die $y$ -Koordinate des Hochpunkts ist somit der größtmögliche Funktionswert und wird als Maximum bezeichnet.

Der Überbegriff Extremwert umfasst die beiden Begriffe Minimum und Maximum.

Minimum Maximum Optimierungsproblem Mathe

Lösungsstrategien

Der Extremwert einer quadratischen Funktion kann mit unterschiedlichen Methoden bestimmt werden:

Tabellarisch
Durch systematisches Probieren kann eine Wertetabelle erstellt und aus dieser ein Näherungswert für den Extremwert abgelesen werden. Umso kleiner die Schritte, desto genauer der Näherungswert.

Grafisch
Da der Extremwert bei quadratischen Funktionen der $y$ -Koordinate des Scheitelpunkts entspricht, kann ein Näherungswert dieser direkt aus dem Graphen abgelesen werden.

Algebraisch
Mit der Funktionsgleichung kann der Extremwert auf zwei Weisen bestimmt werden:
1. Aus der Scheitelpunktform $f(x)=a\cdot (x+d)^2+e$ können die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(-d\mid e)$ direkt abgelesen werden. Die $y$ -Koordinate $e$ entspricht dann dem Extremwert.
2. Besitzt die quadratische Funktion zwei Nullstellen, so liegt die $x$ -Koordinate des Scheitelpunkts aufgrund der Symmetrie genau in deren Mitte. Berechnen der $y$ -Koordinate an dieser Stelle liefert dann den Extremwert.

Wird der Preis für eine Mitgliedschaft $x$ -fach um $5\,€$ gesenkt, so gilt für den neuen Betrag in $\,€:$

$40-x\cdot 5$

Da die Mitgliederzahl gleichzeitig $x$ -mal um 30 zunimmt, gilt für diese nach der Peissenkung:

$150+x\cdot 30$

Die Gesamteinnahmen nach einer $x$ -fachen Preissenkung um je $5\,€$ ergeben sich also mit:

$y=(40-5x)\cdot (150+30x)$

Die Koordinaten des Scheitelpunkts dieser quadratischen Funktion können auf zwei Weisen bestimmt werden:

1. Möglichkeit: Umformen zur Scheitelpunktform

Durch Ausmultiplizieren und quadratische Ergänzung ergibt sich:

$y= -150\cdot (x-1,5)^2 +6337,5$

Umformungen anzeigen

Aufgrund des negativen Vorzeichens ist die Parabel nach unten geöffnet. Der Scheitelpunkt $S(1,5\mid 6337,5)$ ist somit der höchste Punkt der Parabel.

Wird der Preis also um $1,5\cdot 5\,€=7,50\,€$ pro Monat gesenkt, so werden mit einer monatlichen Gebühr von $32,50\,€$ und $150+1,5\cdot 30=195$ Mitgliedern maximale Einnahmen von $6337,50\,€$ erzielt.

2. Möglichkeit: Berechnung mit Hilfe der Nullstellen

An den Nullstellen gilt:

$(40-5x)\cdot (150+30x)=0$

Der Term wird genau dann null, wenn einer der beiden Faktoren null ist:

$\begin{array}[t]{rll} 40-5x_1&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +5x_1 \\[5pt] 40&=& 5x_1&\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 8&=& x_1 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} 150+30x_2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -30x_2\\[5pt] 150&=& -30x_2&\quad \scriptsize \mid\; :(-30) \\[5pt] -5&=& x_2 \end{array}$

Da die beiden Nullstellen symmetrisch zur Symmetrieachse der Parabel liegen, verläuft diese durch die Mitte der Nullstellen:

$\dfrac{8+(-5)}{2}=\dfrac{3}{2}=1,5$

Der Funktionswert an der Stelle $x=1,5$ folgt nun mit:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& (40-5\cdot 1,5)\cdot (150+30\cdot 1,5)& \\[5pt] &=& 6337,5 \end{array}$

Der Scheitelpunkt $S(1,5\mid 6337,5)$ ist somit der höchste Punkt der Parabel.

1. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen

In Abhängigkeit von den Koordinaten des Punktes $P$ besitzt das Rechteck die Seitenlängen $x$ und $y.$

Für den Flächeninhalt gilt also: $A=x\cdot y$

Da der Punkt $P$ auf der Geraden $g$ liegt, gilt außerdem $y=-\dfrac{3}{2}x+3.$

Einsetzen in die Gleichung für den Flächeninhalt liefert:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& x\cdot \left(-\dfrac{3}{2}x+3\right)& \\[5pt] &=& -\dfrac{3}{2}x^2+3x \end{array}$

2. Schritt: Nullstellen berechnen

Der Term $x\cdot \left(-\dfrac{3}{2}x+3\right)$ wird genau dann null, wenn einer der beiden Faktoren null ist. Es folgt direkt $x_1=0.$ Für den zweiten Term ergibt sich weiterhin:

$\begin{array}[t]{rll} -\dfrac{3}{2}x_2+3&=& 0&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; +\dfrac{3}{2}x_2 \\[5pt] 3&=& \dfrac{3}{2}x_2 &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; : \dfrac{3}{2} \\[5pt] 2&=& x_2 \end{array}$

Die Symmetrieachse verläuft also durch $x=\dfrac{2+0}{2}=1.$

3. Schritt: $y$ -Koordinate berechnen

An der Stelle $x=1$ gilt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& -\dfrac{3}{2}\cdot 1+3 & \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \end{array}$

Für die Koordinaten $P(1\mid 1,5)$ wird also der maximale Flächeninhalt von $A=1\cdot 1,5=1,5 \;\text{FE}$ erreicht.

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