Spannweite und Standardabweichung

Definition

Häufigkeitsverteilungen können sich trotz gleicher arithmetischer Mittel voneinander unterscheiden, wenn sich deren Werte unterschiedlich um den Mittelwert „streuen“. Zwei Streumaße, um diese Eigenschaft zu vergleichen, sind die Spannweite und die Standardabweichung.

Die Spannweite ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Messwert.

Die Standardabweichung gibt an, wie weit die Messwerte im Durchschnitt vom arithmetischen Mittel abweichen. Je kleiner die Standardabweichung ist, desto näher liegen die Datenpunkte durchschnittlich am arithmetischen Mittel.

Vorgehen zur Berechnung der Standardabweichung

Arithmetisches Mittel $\overline{x}$ berechnen
Für jeden Wert die Abweichung vom arithmetischen Mittel berechnen und diese quadrieren
Arithmetisches Mittel der Quadrate berechnen, um die Varianz zu erhalten
Wurzel aus der Varianz ziehen, um die Standardabweichung zu erhalten

Insgesamt ergibt sich damit folgende Formel:

Formel anzeigen

Standardabweichung bei mehrfach vorkommenden Werten

Treten die Werte $x_1,x_2,...,x_k$ mit den absoluten Häufigkeiten $n_1,n_2,...,n_k$ auf, so gilt für die Standardabweichung:

Formel anzeigen

$s=\sqrt{\dfrac{1}{n_1+n_2+...+n_k}\cdot \bigg[n_1\cdot (x_1-\overline{x})^2+n_2\cdot (x_2-\overline{x})^2+...+n_k\cdot (x_k-\overline{x})^2\bigg]}$
Treten die Werte $x_1,x_2,...,x_k$ mit den relativen Häufigkeiten $h_1,h_2,...,h_k$ auf, so gilt für die Standardabweichung:

Formel anzeigen

$s=\sqrt{h_1\cdot (x_1-\overline{x})^2+h_2\cdot (x_2-\overline{x})^2+...+h_k\cdot (x_k-\overline{x})^2}$

Mia hat eine Woche lang jeden Tag dokumentiert, für wie viele Minuten sie ihr Handy genutzt hat:

Wochentag	Zeit in min
Mo	$65$
Di	$110$
Mi	$70$
Do	$85$
Fr	$125$
Sa	$90$
So	$85$

Berechne die Spannweite und die Standardabweichung.

Herr Schmidt hat in den Klassen 9a und 9b die gleiche Klassenarbeit geschrieben und notiert sich, wie oft jede Note erreicht wurde:

Note	Klasse 9a	Klasse 9b
1	$7$	$1$
2	$7$	$7$
3	$3$	$13$
4	$1$	$3$
5	$5$	$1$
6	$2$	$0$

Berechne für beide Klassen den Notendurchschnitt, die Spannweite der Noten sowie die Standardabweichung.

Vergleiche beide Klassen hinsichtlich der Leistungsfähigkeit und der Leistungsunterschiede.

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