Quadratische Ergänzung

Jeder Term der Form $f(x)=x^2+px+q$ kann durch geschickte Addition von $0$ und Anwendung einer binomischen Formel wie folgt umgeformt werden:

$\begin{array}[t]{rll} & x^2+px+q \\[5pt] =& x^2+px\boldsymbol{+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}+q \\[5pt] =& \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q \end{array}$

Dieses Vorgehen wird quadratische Ergänzung genannt.

Beispiel

$y=x^2+4x+1$

Quadratische Ergänzung:

$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+4x+\boldsymbol{4}-\boldsymbol{4}+1 \\[5pt] &=& (x^2+4x+\boldsymbol{4})-\boldsymbol{4}+1 \\[5pt] &=& (x+2)^2-4+1 \\[5pt] &=& (x+2)^2-3 \end{array}$

Quadratische Gleichung der Form $\boldsymbol{x^2+px+q=0}$ lösen

Jede Gleichung der Form $x^2+px+q=0$ kann mithilfe der quadratischen Ergänzung in eine Gleichung der Form $(x+d)^2=r$ gebracht werden. Dazu wird die Zahl $\color{#0096c8}{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}$ zum Term $\color{#44B350}{x^2+px}$ addiert. Dieser Term kann dann mit einer binomischen Formel als Quadrat geschrieben werden.

Beispiel

$\begin{array}[t]{rll} x^2+6x-7&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +7 \\[5pt] \color{#44B350}{x^2+6x}&=& 7 \quad \scriptsize \mid\; +\color{#0096c8}{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2} \\[5pt] x^2+6x+9&=& 16 \\[5pt] (x+3)^2&=& 16 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x+3= 4 &\text{oder}& x+3=-4 \\[5pt] x=1 &\text{oder}& x=-7 \\[5pt] L=\{-7;1\}&& \end{array}$