SchulLV Logo
Mein Lernbereich
Sachsen-AnhaltGymnasium

Lerninhalte in Mathe

Quadratische Ergänzung

Jeder Term der Form \(f(x)=x^2+px+q\) kann durch geschickte Addition von \(0\) und Anwendung einer binomischen Formel wie folgt umgeformt werden:
\(\begin{array}[t]{rll} & x^2+px+q \\[5pt] =& x^2+px\boldsymbol{+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}+q \\[5pt] =& \left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2-\left(\dfrac{p}{2}\right)^2+q \end{array}\)
Dieses Vorgehen wird quadratische Ergänzung genannt.
Beispiel
\(y=x^2+4x+1\)
Quadratische Ergänzung:
\(\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+4x+\boldsymbol{4}-\boldsymbol{4}+1 \\[5pt] &=& (x^2+4x+\boldsymbol{4})-\boldsymbol{4}+1 \\[5pt] &=& (x+2)^2-4+1 \\[5pt] &=& (x+2)^2-3 \end{array}\)

Quadratische Gleichung der Form \(\boldsymbol{x^2+px+q=0}\) lösen

Jede Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) kann mithilfe der quadratischen Ergänzung in eine Gleichung der Form \((x+d)^2=r\) gebracht werden. Dazu wird die Zahl \(\color{#0096c8}{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2}\) zum Term \(\color{#44B350}{x^2+px}\) addiert. Dieser Term kann dann mit einer binomischen Formel als Quadrat geschrieben werden.
Beispiel
\(\begin{array}[t]{rll} x^2+6x-7&=& 0 \quad \scriptsize \mid\; +7 \\[5pt] \color{#44B350}{x^2+6x}&=& 7 \quad \scriptsize \mid\; +\color{#0096c8}{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2} \\[5pt] x^2+6x+9&=& 16 \\[5pt] (x+3)^2&=& 16 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] x+3= 4 &\text{oder}& x+3=-4 \\[5pt] x=1 &\text{oder}& x=-7 \\[5pt] L=\{-7;1\}&& \end{array}\)