Bestimmen von Werten für Sinus, Kosinus und Tangens

Zeichnerische Bestimmung von Näherungswerten

Der Einheitskreis ist der Kreis um den Koordinatenursprung $O$ mit dem Radius 1. Die Werte und Eigenschaften für Sinus, Kosinus und Tangens können durch Einzeichnen eines Viertels des Einheitskreises sowie verschiedener rechtwinkliger Dreiecke mit den Winkelgrößen $10^\circ,20^\circ,...,80^\circ$ am Kreismittelpunkt bestimmt werden.

Die Hypotenuse entspricht hierbei jeweils dem Kreisradius. Durch Messen der jeweiligen Ankathete und Gegenkathete können folgende Werte berechnet werden:

$\color{#ffffff}{\alpha}$	$30^\circ$	$45^\circ$	$60^\circ$
$\color{#ffffff}{\sin(\alpha)}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$
$\color{#ffffff}{\cos(\alpha)}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,87$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$	$\dfrac{1}{2}$
$\color{#ffffff}{\tan(\alpha)}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}\approx 0,58$	$1$	$\sqrt{3}\approx 1,73$

Zusammenhang Sinus Kosinus Tangens Sachsen Anhalt

Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens

Für $0^\circ \lt \alpha \lt 90^\circ$ gilt:

$\cos (\alpha)=\sin \left(90^{\circ}-\alpha\right)$

$\sin (\alpha)=\cos \left(90^{\circ}-\alpha\right)$

$\tan (\alpha)=\dfrac{\sin (\alpha)}{\cos (\alpha)}$

$(\sin (\alpha))^2+(\cos (\alpha))^2=1$

Zeichne ein geeignetes rechtwinkliges Dreieck und berechne jeweils Sinus, Kosinus und Tangens für:

$\alpha=45^\circ$

$\alpha=60^\circ$

$\alpha=30^\circ$

Bestimme mit dem Taschenrechner die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens mit folgenden Werten von $\alpha:$

$\color{#fff}{\alpha}$	$\color{#fff}{\sin(\alpha)}$	$\color{#fff}{\cos(\alpha)}$	$\color{#fff}{\tan(\alpha)}$
$98^\circ$
$98,9^\circ$
$98,99 ^\circ$
$98,9999 ^\circ$
$98,999999 ^\circ$

Was fällt auf?

Bestimme mit dem Taschenrechner die Werte für Sinus, Kosinus und Tangens mit folgenden Werten von $\alpha:$

$\color{#fff}{\alpha}$	$\color{#fff}{\sin(\alpha)}$	$\color{#fff}{\cos(\alpha)}$	$\color{#fff}{\tan(\alpha)}$
$1^\circ$
$0,1^\circ$
$0,01 ^\circ$
$0,001 ^\circ$
$0,0001 ^\circ$

Was fällt auf?

Vergleiche $\sin (\alpha)$ und $\tan (\alpha)$ für die folgenden Werte von $\alpha:$

$\color{#fff}{\alpha}$	$\color{#fff}{\sin(\alpha)}$	$\color{#fff}{\tan(\alpha)}$
$1^\circ$
$0,9^\circ$
$0,8^\circ$
$0,7^\circ$

Was fällt auf? Erkläre die Beobachtung am Einheitskreis.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Da das Dreieck einen rechten Winkel sowie einen Winkel von $45^\circ$ besitzen soll, folgt für den übrigen Winkel $\gamma:$

$\gamma=180^\circ-90^\circ-45^\circ=45^\circ$

Das Dreieck ist somit gleichschenklig mit der Schenkellänge $a.$ Für die Hypotenuse $c$ folgt mit dem Satz des Pythagoras:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2+b^2 & \quad \scriptsize \mid\;b=a \\[5pt] c^2&=& 2a^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}\\[5pt] c&=& \sqrt{2}a \end{array}$

Damit ergibt sich:

$\begin{array}[t]{rll} \sin(45^\circ)&=& \dfrac{a}{c}& \\[5pt] &=& \dfrac{a}{\sqrt{2}a}&\\[5pt] &=&\dfrac{1}{\sqrt{2}} &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \sqrt{2} \end{array}$

Aufgrund der Gleichschenkligkeit gilt:

$\cos(45^\circ)=\sin(45^\circ)=\dfrac{1}{2}\sqrt{2}$

Außerdem ergibt sich:

$\tan(45^\circ)=\dfrac{a}{a}=1$

Dreieck Sinus Kosinus Tangens Sachsen Anhalt Mathe

In jedem gleichseitigen Dreieck sind alle Winkel $60^\circ$ groß. Die Höhe einer Seite $a$ halbiert hierbei das gleichseitige Dreieck mit dem gegenüberliegenden Winkel in zwei rechtwinklige Dreiecke mit den Winkelgrößen $60^\circ$ und $30^\circ$ .

Die Höhe $h$ entspricht nun der Gegenkathete und ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras zu:

$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \; -\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] a^2 -\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 &=& h^2 & \\[5pt] \dfrac{4a^2}{4} -\dfrac{a^2}{4} &=& h^2 & \\[5pt] \dfrac{3}{4}\cdot a^2 &=& h^2 &\quad \scriptsize \,\bigg \vert \, \;\sqrt{\;} \\[5pt] \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}\cdot a &=& h &\ \\[5pt] \dfrac{a}{2}\sqrt{3}&=& h \end{array}$

Damit ergeben sich:

$\sin(60^\circ)=\dfrac{h}{a}=\dfrac{\frac{a}{2}\sqrt{3}}{a}=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}$

$\cos(60^\circ)=\dfrac{\frac{a}{2}}{a}=\dfrac{1}{2}$

$\tan(60^\circ)=\dfrac{h}{\frac{a}{2}}=\dfrac{\dfrac{a}{2}\sqrt{3}}{\frac{a}{2}}=\sqrt{3}$

Analog zu Aufgabenteil b) ergibt sich mit der Höhe $h=\dfrac{a}{2}\sqrt{3}$ und dem Winkel $\alpha=30^\circ:$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(30^\circ)&=& \cos(90^\circ-30^\circ)& \\[5pt] &=& \cos(60^\circ )& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \cos(30^\circ)&=& \sin(90^\circ-30^\circ) & \\[5pt] &=& \sin(60^\circ)& \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} \tan(30^\circ)&=& \dfrac{\frac{a}{2}}{h}& \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{a}{2}}{\frac{a}{2}\sqrt{3}} & \\[5pt] &=& \dfrac{1}{\sqrt{3}}&\quad \scriptsize \,\bigg \vert \,\; \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\\[5pt] &=& \dfrac{1\cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}& \\[5pt] &=&\dfrac{1}{3}\sqrt{3} \end{array}$

$\color{#fff}{\alpha}$	$\color{#fff}{\sin(\alpha)}$	$\color{#fff}{\cos(\alpha)}$	$\color{#fff}{\tan(\alpha)}$
$98^\circ$	$0,999$	$0,017$	$57,289$
$98,9^\circ$	$1,000$	$0,016$	$572,957$
$98,99 ^\circ$	$1,000$	$0,016$	$5729,112$
$98,9999 ^\circ$	$1,000$	$0,016$	$572963,033$
$98,999999 ^\circ$	$1,000$	$0,016$	$-$

Es kann beobachtet werden, dass sich der Tangens stark erhöht, je näher der Winkel $90^\circ$ kommt. Für $\tan(89^\circ)$ ist der Wert relativ klein, während der Wert bei einem Winkel von $89,9999^\circ$ bereits so groß ist, dass dieser nicht mehr mit dem Taschenrechner bestimmbar ist.

Das gleiche Phänomen tritt auch für die Sinuswerte auf. Auch sie werden immer größer, je näher der Winkel $90^\circ$ ist. Die Werte für Sinus und Kosinus sind jedoch begrenzt durch 0 und 1.

$\color{#fff}{\alpha}$	$\color{#fff}{\sin(\alpha)}$	$\color{#fff}{\cos(\alpha)}$	$\color{#fff}{\tan(\alpha)}$
$1^\circ$	$0,017$	$1,000$	$0,017$
$0,1^\circ$	$0,002$	$1,000$	$0,002$
$0,01 ^\circ$	$0,000$	$1,000$	$0,000$
$0,001 ^\circ$	$0,000$	$1,000$	$0,000$
$0,0001 ^\circ$	$0,000$	$1,000$	$0,000$

Der Tangens ist für Winkel nahe $0^\circ$ sehr klein und ändert sich nur sehr langsam. Je kleiner also der Winkel, desto kleiner wird auch der Tangenswert.

Ebenso wie in Aufgabenteil a) festgestellt sind die Sinus- und Kosinuswerte beschränkt durch die Werte 0 und 1. Je kleiner der Winkel, desto kleiner sind die Werte für den Sinus und desto stärker nähern sich die Werte für den Kosinus dem Wert 1 an.

Es wird außerdem klar, dass sich der Tangenswert für kleine Winkelgrößen dem Sinuswert annähert.

$\color{#fff}{\alpha}$	$\color{#fff}{\sin(\alpha)}$	$\color{#fff}{\tan(\alpha)}$
$1^\circ$	$0,017$	$0,017$
$0,9^\circ$	$0,016$	$0,016$
$0,8^\circ$	$0,014$	$0,014$
$0,7^\circ$	$0,012$	$0,012$

Zusammenhang Sinus Tangens Sachsen Anhalt Mathe

Für kleine Winkelgrößen sind die Werte von Sinus und Tangens ungefähr gleich.

Am Einheitskreis entspricht der Sinuswert der $y$ -Koordinate und der Tangenswert ungefähr der Steigung der Hypotenuse. Der Tangens beschreibt somit das Verhältnis zwischen Sinus und Kosinus. Es gilt: $\;\tan(\alpha)=\dfrac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Für größere Winkel nimmt diese Steigung drastisch zu und überschreitet auch ab einem Winkel von $45^\circ$ den Wert von 1, durch den der Sinus und Kosinus nach oben beschränkt sind. So erreicht der Tangens deutlich höhere Werte für große Winkel, wie in Aufgabenteil 1 gezeigt wurde.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?