Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Die Geschwister Jule, Paul und Anton verfügen jeder über ein Sparbuch. Der Zinssatz für das Jahr 2015 ist für alle drei Sparbücher gleich und beträgt $0,90\,\%$ pro Jahr.
Die Zinsen für die Spareinlagen werden immer zum 31. Dezember des jeweiligen Kalenderjahres gutgeschrieben.

Jule zahlte am 1. Mai 2015 einen Betrag von $650,00\,€$ auf ihr Sparbuch ein.
Berechne die Zinsen, die sie bis zum Jahresende für diesen Betrag erhielt.

Paul legte für das gesamte Jahr 2015 einen bestimmten Betrag auf seinem Sparbuch an.
Er erhielt am Ende des Jahres dafür $4,23\,€$ Zinsen gutgeschrieben.
Berechne die Höhe des angelegten Betrages.

Anton hatte 2015 für einige Monate einen Betrag von $550,00\,€$ auf seinem Sparbuch angelegt. Er erhielt dafür $1,65\,€$ Zinsen.
Ermittle, wie viel Monate Anton diesen Betrag auf seinem Sparbuch hatte.

Für Aufgabe 1 erreichbare BE: 6

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion $f$ durch die Gleichung $y=f(x)=0,5x^3.$

Übernimm die Wertetabelle und vervollständige diese.

$\color{#ffffff}{x}$	$-2$	$-1,8$	$-0,8$	$0$	$0,6$	$1$	$2$
$\color{#ffffff}{y}$

Zeichne den Graphen der Funktion $f$ mindestens im Intervall $-2\leq x \leq 2$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.

Der Punkt $P(1;4)$ liegt auf dem Graphen einer Funktion $y=g(x)=ax^3.$
Gib den Wert für $a$ an.

Für Aufgabe 2 erreichbare BE: 5

Aufgabe 3

Für eine Gartenschau wird ein altes Bahnhofsgelände umgestaltet. Dazu gehört auch der Platz mit der ehemaligen Drehscheibe.

Der Platz kann als zusammengesetzte Fläche aus einem Parallelogramm und einem Trapez betrachtet werden (siehe Abbildung).

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die ehemalige Drehscheibe hat einen Flächeninhalt von $123,0 \,\text{m}^2.$

Bepflanzt werden $26\,\%$ der ehemaligen Drehscheibe. Pro Quadratmeter plant der Gärtner fünf Pflanzen.
Berechne, wie viele Pflanzen der Gärtner einplanen muss.

Als Sichtschutz wird eine hohe Hecke gepflanzt.
Berechne die Länge des Sichtschutzes.

Um die ehemalige Drehscheibe wird eine Rasenfläche angelegt.
Berechne den Flächeninhalt der Rasenfläche.

Für Aufgabe 3 erreichbare BE: 7

Aufgabe 4

Ilja untersucht im Rahmen eines Projektes seine tägliche Fahrzeit zur Schule.
Er notiert die Fahrzeiten von zwei Schulwochen der Reihe nach und erhält die folgende Urliste:

23 min; 25 min; 23 min; 24 min; 23 min;
23 min; 48 min; 34 min; 23 min; 54 min

Berechne das arithmetische Mittel der Fahrzeiten.

Ermittle den Zentralwert der Fahrzeiten.

Gib den Modalwert der Fahrzeiten an.

Ilja hat die Fahrzeiten in einem Diagramm dargestellt.

Begründe, warum dieses Diagramm den Sachverhalt falsch veranschaulicht.

Für Aufgabe 4 erreichbare BE: 6

Aufgabe 5

Gold ist eine Wertanlage. Man kann es in Barren oder Münzen verschiedener Größen erwerben. Ein Kubikzentimeter Gold hat eine Masse von $19,3$ Gramm.

Ein Goldbarren hat eine Masse von $250,0\,\text{g}.$

Berechne das Volumen dieses Goldbarrens auf hundertstel Kubikzentimeter genau.
Dieser Goldbarren wird zu einem Tagespreis von $8\,623,00\,€$ gehandelt.
Gib an, für wie viel Euro ein Kubikzentimeter Gold an diesem Tag gehandelt wird.

Ein anderer Goldbarren hat ein Volumen von $26,4\,\text{cm}^3.$
Aus ihm sollen $12$ gleiche, zylinderförmige Goldmünzen mit einem Durchmesser von $3,28\,\text{cm}$ gegossen werden.

Berechne die Höhe einer solchen Goldmünze in Millimeter.

Für Aufgabe 5 erreichbare BE: 6

Lösung 1

Zinsen für ein Jahr berechnen

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 0,90$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 650\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{650}{100}\,€\\[5pt] 0,90\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{650}{100}\cdot 0,90\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 0,90$

$0,90\,\%\mathrel{\widehat{=}}5,85\,€$

Lösungsweg über die Verhältnisformel

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{0,90\,\%}&=&\dfrac{650\,€}{100\,\%} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 0,90\,\% \\[5pt] x&=&\dfrac{650\,€}{100\,\%}\cdot 0,90\,\% \\[5pt] x&=&5,85\,€ \end{array}$

Lösungsweg über die Zinsformel

$\begin{array}[t]{rll} Z&=&\dfrac{K\cdot p}{100} \\[5pt] Z&=&\dfrac{650\,€\cdot 0,90}{100} \\[5pt] Z&=&5,85\,€ \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$650\,€\cdot 0,90\,\%=650\,€\cdot 0,009=5,85\,€$

Zinsen für den Zeitraum 01.05. bis 31.12. berechnen

Dieser Zeitraum besteht aus $8$ Monaten.

$:12$

$\cdot 8$

$\begin{array}{rcl} 12 & \mathrel{\widehat{=}}& 5,85\,€\\[5pt] 1& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{5,85}{12}\,€\\[5pt] 8& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{5,85}{12}\cdot 8\,€ \end{array}$

$:12$

$\cdot 8$

$8 \mathrel{\widehat{=}}\underline{\underline{ 3,90\,€}}$

Jule erhielt $3,90\,€$ Zinsen.

Die Höhe des angelegten Betrags kann wieder über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Zinsformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über die Zinsformel

$\begin{array}[t]{rll} K&=& \dfrac{Z\cdot 100}{p} \\[5pt] K&=& \dfrac{4,23\,€ \cdot 100}{0,90} \\[5pt] K&=& \underline{\underline{ 470,00\,€ }} \end{array}$

Paul hat $470,00\,€$ angelegt.

Zunächst werden die Zinsen für ein Jahr benötigt. Diese können wieder über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Zinsformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über die Zinsformel

$\begin{array}[t]{rll} Z&=& \dfrac{K\cdot p}{100} \\[5pt] Z&=& \dfrac{550\,€\cdot 0,90}{100} \\[5pt] Z&=& 4,95\,€ \end{array}$

Damit kann die Anzahl der Monate berechnet werden:

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:4,95$

$\cdot 1,65$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 4,95\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& 12\\[5pt] 1\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{12}{4,95}\\[5pt] 1,65\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{12}{4,95}\cdot 1,65\\[5pt] \end{array}$

$:4,95$

$\cdot 1,65$

$1,65\,€ \mathrel{\widehat{=}} \underline{\underline{ 4}}$

Anton hatte 2015 für $4$ Monate sein Geld angelegt.

Lösung 2

Wertetabelle übernehmen und vervollständigen

$\color{#ffffff}{x}$	$-2$	$-1,8$	$-0,8$	$0$	$0,6$	$1$	$2$
$\color{#ffffff}{y}$	$-4$	$-2,916$	$-0,256$	$0$	$0,108$	$0,5$	$4$

Graphen der Funktion zeichnen

Um den Wert für $a$ anzugeben, werden die $x$ - und $y$ -Koordinate von $P(1;4)$ in die Funktionsgleichung eingesetzt:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&ax^3 \\[5pt] 4&=&a\cdot 1^3 \\[5pt] a&=&\underline{\underline{ 4}} \\[5pt] \end{array}$

Der Wert für $a$ lautet $4.$

Lösung 3

Zunächst wird die Fläche, die bepflanzt wird, in Quadratmeter benötigt. Diese kann über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 26$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 123\,\text{m}^2\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{123}{100}\,\text{m}^2\\[5pt] 26\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{123}{100}\cdot 26\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$

$:100$

$\cdot 26$

$26\,\% \mathrel{\widehat{=}} 31,98\,\text{m}^2$

Damit kann die Anzahl der Pflanzen berechnet werden:

$5\cdot 31,98=159,9\approx \underline{\underline{ 160}}$

Der Gärtner muss $160$ Pflanzen einplanen.

Satz des Pythagoras anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&(10,8\,\text{m})^2+(2,2\,\text{m})^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] c&=&\sqrt{(10,8\,\text{m})^2+(2,2\,\text{m})^2} \\[5pt] c&\approx&\underline{\underline{ 11,0\,\text{m}}} \end{array}$

Die Länge des Sichtschutzes beträgt etwa $11,0\,\text{m}.$

Flächeninhalt des Parallelogramms berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_P&=&a\cdot h_a \\[5pt] A_P&=&17,2\,\text{m}\cdot 10,8\,\text{m} \\[5pt] A_P&=&185,76\,\text{m}^2 \end{array}$

Flächeninhalt des Trapezes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_T&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h \\[5pt] A_T&=& \dfrac{17,2\,\text{m}+16,0\,\text{m}}{2}\cdot 8,8\,\text{m} \\[5pt] A_T&=& 146,08\,\text{m}^2 \end{array}$

Flächeninhalt der Rasenfläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_R&=&A_P+A_T-A_D \\[5pt] A_R&=&185,76\,\text{m}^2 +146,08\,\text{m}^2 -123,0 \,\text{m}^2 \\[5pt] A_R&\approx&\underline{\underline{ 208,8\,\text{m}^2 }} \end{array}$

Der Flächeninhalt der Rasenfläche beträgt etwa $208,8\,\text{m}^2.$

Lösung 4

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}= \underline{\underline{ 30\,\text{min}}}$

Um den Zentralwert zu ermitteln, werden die Fahrzeiten zunächst der Größe nach sortiert:

$23$	$23$	$23$	$23$	$\color{#ffffff}{23}$	$\color{#ffffff}{24}$	$25$	$34$	$48$	$54$

Da die Liste eine gerade Anzahl an Werten beinhaltet, werden die beiden Werte in der Mitte addiert und das Ergebnis durch zwei geteilt:

$z=\dfrac{23+24}{2}\,\text{min}=\underline{\underline{ 23,5\,\text{min}}}$

Der Modalwert ist der Wert, der am häufigsten vorkommt.

$m=\underline{\underline{ 23\,\text{min}}}$

Die Höhen der Säulen entsprechen nicht den Größen der Daten aus der Urliste. Grund dafür ist die falsche Einteilung der $y$ -Achse: Sie beginnt nicht bei $0\,\text{min}$ und die Abstände sind nicht regelmäßig. Dadurch veranschaulicht das Diagramm den Sachverhalt falsch.

Lösung 5

Volumen des Goldbarrens auf hundertstel Kubikzentimeter genau berechnen

$250,0\,\text{g}:19,3\,\text{g}\approx\underline{\underline{ 12,95}}$

Das Volumen des Goldbarrens beträgt etwa $12,95\,\text{cm}^3.$

Für wie viel Euro wird ein Kubikzentimeter Gold an diesem Tag gehandelt?

$8\,623,00\,€:12,95\approx \underline{\underline{ 665,87\,€}}$

An diesem Tag wird ein Kubikzentimeter Gold für $665,87\,€$ gehandelt.

Volumen einer Münze berechnen

$V=26,4\,\text{cm}^3:12=2,2\,\text{cm}^3$

Flächeninhalt der kreisförmigen Grundfläche einer Münze berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=&\pi\cdot r^2 \\[5pt] A_G&=&\pi\cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \\[5pt] A_G&=&\pi\cdot \left(\dfrac{3,28\,\text{cm}}{2}\right)^2 \\[5pt] A_G&\approx&8,45\,\text{cm}^2 \end{array}$

Höhe einer Münze berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=&A_G\cdot h &\quad \scriptsize \mid\;:A_G \\[5pt] \dfrac{V}{A_G}&=&h\\[5pt] h&=&\dfrac{V}{A_G} \\[5pt] h&=&\dfrac{2,2\,\text{cm}^3}{8,45\,\text{cm}^2 } \\[5pt] h&\approx&0,26\,\text{cm} \\[5pt] h&=&\underline{\underline{ 2,6\,\text{mm}}} \end{array}$

Die Höhe einer Goldmünze beträgt etwa $2,6\,\text{mm}.$