Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Gegeben sind drei lineare Funktionen $f,$ $g$ und $h$ durch ihre Gleichungen.

$y=f(x)= 2x+1$
$y=g(x)= \dfrac{1}{2}x+4$
$y=h(x)= -\dfrac{3}{4}x+11,5$

Gib an, welche dieser Funktionen den größten Anstieg hat.

Der Punkt $A(2; y)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f.$
Gib den Funktionswert von Punkt $A$ an.

Die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ schneiden einander im Punkt $B(x; y).$
Berechne die Koordinaten des Punktes $B.$

Zeichne den Graphen der Funktion $h$ in ein Koordinatensystem (Längeneinheit im Koordinatensystem $1\,\text{cm}$ ).
Der Punkt $C$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h$ im ersten Quadranten. Zum Punkt $P(0;11,5)$ hat dieser Punkt $C$ einen Abstand von $17,5\,\text{cm}.$
Berechne die Koordinaten des Punktes $C.$

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Ein Werkstück setzt sich aus einer Halbkugel und einem aufgesetzten Kreiskegel zusammen (siehe Abbildung).

Abbildung (nicht maßstäblich)

Der Öffnungswinkel $\gamma$ beträgt $102^{\circ},$ die Mantellinie $s$ hat eine Länge von $4,0\,\text{cm}.$

Berechne den Radius der Grundfläche des Kreiskegels.

Zeichne ein Zweitafelbild des Werkstückes.

Berechne das Volumen des Werkstückes.

Es werden $100$ dieser Werkstücke aus dem gleichen Material hergestellt. Sie haben zusammen eine Masse von $23,6\,\text{kg}.$

Material	Dichte in $\color{#ffffff}{\dfrac{\text{g}}{\text{cm}^3}}$
Beton	$2,3$
Aluminium	$2,7$
Stahl	$7,8$
Messing	$8,4$

Gib an, aus welchem der angegebenen Materialien diese Werkstücke bestehen.

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Im Jahr 2016 hatte Artur für sein Office einen Energiebedarf von $2\,745,5\,\text{kWh}.$ Dafür zahlte er $768,74\,€$ ohne Grundgebühr an das örtliche Energieunternehmen.

Artur nutzt zur Beleuchtung seines Offices zwölf Glühlampen, auf die $10\,\%$ des Energiebedarfs des Offices entfallen.

Gib den Preis für eine Kilowattstunde bei diesem Energieunternehmen an.

Gib an, wie viel Euro Artur 2016 für die Beleuchtung seines Offices bezahlt hat.

Artur möchte die bisherigen $60$ -Watt-Glühlampen durch $11$ -Watt-LED-Lampen ersetzen. Er vergleicht für beide Lampenarten die Kosten für die Beleuchtung des Offices bei gleichem Nutzungsverhalten in einem Jahr.

Berechne, wie viel Euro Artur durch den Austausch der zwölf Lampen weniger an das Energieunternehmen pro Jahr bezahlen muss.
Eine solche LED-Lampe kostet $6,89\,€$ in der Anschaffung.
Ermittle, nach wie vielen Monaten er die Anschaffungskosten durch den geringeren Energiebedarf eingespart hat.

Entscheide, ob die Aussage im Werbeplakat wahr oder falsch ist.
Begründe deine Entscheidung rechnerisch.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

Lösung 6.1

Funktion $\underline{\underline{ f}}$ hat den größten Anstieg.

$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x+1\\[5pt] y&=& 2\cdot 2+1\\[5pt] y&=& \underline{\underline{ 5}} \end{array}$

Der Funktionswert von Punkt $A$ ist $5.$

Gleichsetzungsverfahren anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}x+4&=&-\dfrac{3}{4}x+11,5 &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{3}{4}x \\[5pt] \dfrac{5}{4}x+4&=&11,5 &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt] \dfrac{5}{4}x&=&7,5 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 4 \\[5pt] 5x&=&30&\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 6}} \end{array}$

$x=6$ in Gleichung $g$ einsetzen:

$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{1}{2}x+4 \\[5pt] y&=&\dfrac{1}{2}\cdot 6+4 \\[5pt] y&=&\underline{\underline{ 7}} \end{array}$

Der Schnittpunkt hat die Koordinaten $\underline{\underline{ B(6; 7)}}.$

Graphen der Funktion $\boldsymbol{h}$ zeichnen

Koordinaten des Punktes $\boldsymbol{C}$ berechnen

Länge der Hypotenuse $b=\overline{PA}$ berechnen

Satz des Pythagoras anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} b^2&=& 3^2+4^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] b&=& \sqrt{3^2+4^2} \\[5pt] b&=& \sqrt{25} \\[5pt] b&=&5 \end{array}$

Länge der Seite $p=\overline{DC}$ berechnen

Verhältnisgleichung anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{p}{d}&=&\dfrac{q}{b} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot d \\[5pt] p&=&\dfrac{q}{b}\cdot d \\[5pt] p&=&\dfrac{4}{5}\cdot 17,5 \\[5pt] p&=&14 \end{array}$

Der berechnete Wert $p$ entspricht der $x$ -Koordinate des Punktes $C (14;y).$

$x=14$ in Gleichung $h$ einsetzen

$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\dfrac{3}{4}x+11,5 \\[5pt] y&=&-\dfrac{3}{4}\cdot 14+11,5 \\[5pt] y&=&1 \end{array}$

Der Punkt $C$ hat die Koordinaten $\underline{\underline{ C(14;1)}}.$

Lösung 6.2

Die Winkelgröße von $\alpha$ beträgt $\alpha=\gamma:2=102^\circ:2=51^\circ.$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{rll} \sin\alpha&=& \dfrac{r}{s}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot s \\[5pt] \sin\alpha\cdot s&=& r\\[5pt] r&=& \sin 51^\circ \cdot 4,0\,\text{cm}\\[5pt] r&\approx& \underline{\underline{ 3,1\,\text{cm}}} \end{array}$

Der Radius der Grundfläche beträgt etwa $3,1\,\text{cm}.$

Für das Zweitafelbild wird zunächst die Höhe $h$ des Kreiskegels benötigt:

$\begin{array}[t]{rll} h^2+r^2&=& s^2&\quad \scriptsize \mid\;-r^2 \\[5pt] h^2&=& s^2-r^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h&=& \sqrt{s^2-r^2} \\[5pt] h&=& \sqrt{(4,0\,\text{cm})^2-(3,1\,\text{cm})^2} \\[5pt] h&\approx & 2,5\,\text{cm} \end{array}$

Mit dieser Angabe kann das Zweitafelbild gezeichnet werden:

Volumen des Kreiskegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h \\[5pt] V_K&=&\dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot (3,1\,\text{cm})^2\cdot 2,5\,\text{cm} \\[5pt] V_K&\approx&25,2\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen der Halbkugel berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_H&=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \\[5pt] V_H&=&\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot (3,1\,\text{cm})^3 \\[5pt] V_H&\approx&62,4\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$

Volumen des Werkstückes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_W&=& V_K+V_H \\[5pt] V_W&=& 25,2\,\text{cm}^3+62,4\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_W&=& \underline{\underline{ 87,6\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Masse eines Werkstückes berechnen

$m=23,6\,\text{kg}:100=0,236\,\text{kg}=236\,\text{g}$

Dichte des Materials berechnen

$\rho=\dfrac{m}{V}=\dfrac{236\,\text{g}}{87,6\,\text{cm}^3}\approx 2,7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$

Da laut Tabelle Aluminium eine Dichte von $2,7\,\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ hat, muss das Werkstück aus Aluminium bestehen.

Lösung 6.3

$768,74\,€:2\,745,5=\underline{\underline{ 0,28\,€}}$

Eine Kilowattstunde kostet $0,28\,€.$

$10\,\%\cdot 768,74\,€=0,1\cdot 768,74\,€\approx\underline{\underline{ 76,87\,€}}$

Artur hat 2016 für die Beleuchtung seines Offices $76,87\,€$ bezahlt.

Wie viel Euro muss Artur durch den Austausch weniger an das Energieunternehmen pro Jahr bezahlen?

Die Kosten für die $11$ -Watt-LED-Lampen können über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:60$

$\cdot 11$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 60\,\text{W}& \mathrel{\widehat{=}}& 76,87\,€\\[5pt] 1\,\text{W}& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{76,87}{60}\,€\\[5pt] 11\,\text{W}& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{76,87}{60}\cdot 11\,€\\[5pt] \end{array}$

$:60$

$\cdot 11$

$11\,\text{W} \mathrel{\widehat{=}}14,09\,€$

Daraus folgt:

$76,87\,€-14,09\,€=\underline{\underline{ 62,78\,€}}$

Durch den Austausch muss Artus $62,78\,€$ pro Jahr weniger an das Energieunternehmen bezahlen.

Nach wie vielen Monaten hat Artur die Anschaffungskosten durch den geringeren Energiebedarf eingespart?

Die Anschaffungskosten der LED-Lampen betragen $12\cdot 6,89\,€=82,68\,€.$

Die Einsparung pro Monat beträgt $62,78\,€:12\approx 5,23\,€.$

Daraus folgt:

$82,68\,€:5,23\,€\approx15,8\approx\underline{\underline{ 16}}$

Nach 16 Monaten hat Artur die Anschaffungskosten durch den geringeren Energiebedarf eingespart.

Die tatsächliche Einsparung beträgt $60\,\text{W}-11\,\text{W}= \boldsymbol{49\,\text{W}}.$

Die Einsparung laut Werbeplakat kann über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 80$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 60\,\text{W}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{60}{100}\,\text{W}\\[5pt] 80\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{60}{100}\cdot 80\,\text{W}\\[5pt] \end{array}$

$:100$

$\cdot 80$

$80\,\% \mathrel{\widehat{=}} \boldsymbol{48\,\text{W}}$

Mit $49$ Watt werden sogar mehr als $48$ Watt eingespart. Die Werbeaussage ist somit wahr.