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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 6.1

Gegeben sind drei lineare Funktionen $f,$ $g$ und $h$ durch ihre Gleichungen.
  • $y=f(x)= 2x+1$
  • $y=g(x)= \frac{1}{2}x+4$
  • $h(x)= -\frac{3}{4}x+11,5$
a)
Gib an, welche dieser Funktionen den größten Anstieg hat.
b)
Der Punkt $A(2; y)$ liegt auf dem Graphen der Funktion $f.$
Gib den Funktionswert von Punkt $A$ an.
c)
Die Graphen der Funktionen $g$ und $h$ schneiden einander im Punkt $B(x; y).$
Berechne die Koordinaten des Punktes $B.$
d)
  • Zeichne dei Graphen der Funktion $h$ in ein Koordinatensystem
    (Längeneinheit im Koordinatensystem $1\,\text{cm}$).
  • Der Punkt $C$ liegt auf dem Graphen der Funktion $h$ im ersten Quadranten. Zum Punkt $P(0;11,5)$ hat dieser Punkt $C$ einen Abstand von $17,5\,\text{cm}.$
    Berechne die Koordinaten des Punktes $C.$
(8 BE)
#linearefunktion

Wahlaufgabe 6.2

Abb. 1: nicht maßstäblich
Abb. 1: nicht maßstäblich
a)
Berechne den Radius der Grundfläche des Kreiskegels.
b)
Zeichne ein Zweitafelbild des Werkstückes.
c)
Berechne das Volumen des Werkstückes.
d)
MaterialDichte in $\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$
Beton$2,3$
Aluminium$2,7$
Stahl$7,8$
Messing$8,4$
(8 BE)
#kugel#dichte#kegel

Wahlaufgabe 6.3

Im Jahr 2016 hatte Herr Treu für sien Büro einen Energiebedarf von $2.745,5\,\text{kWh}.$ Dafür zahlte er $768,74\,€$ ohne Grundgebühr an das örtlich Energieunternehmen.
Herr Treu nutzt zur Beleuchtung seines Büros zwölf Glühlampen, auf die $10\,\%$ des Energiebedarfs des Büros entfallen.
a)
Gib den Preis für eine Kilowattstunde bei diesem Energieunternehmen an.
b)
Gib an, wie viel Euro Herr Treu 2016 für die Beleuchtung seines Büros bezahlt hat.
c)
Herr Treu möchte die bisherigen $60$-Watt-Glühlampen durhc $11$-Watt-LED-Lampen ersetzen. Er vergleicht für beide Lampenarten die Kosten für die Beleuchtung des Büros bei gleichem Nutzungsverhalten in einem Jahr.
  • Berechne, wie viel Euro Herr Treu durch den Austausch der zwölf Lampen weniger an das Energieunternehmen pro Jahr bezahlen muss.
  • Eine solche LED-Lampe kostet $6,89\,€$ in der Anschaffung.
    Ermittle, nach wie vielen Monaten er die Anschaffungskosten durch den geringeren Energiebedarf eingespart hat.
d)
Abb. 2: Werbeplakat
Abb. 2: Werbeplakat
(8 BE)
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2017 – SchulLV.
[2]
https://goo.gl/xb3q9N – Gluehlampe 01 KMJ, KMJ, CC BY-SA 3.0.
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Lösungen
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Wahlaufgabe 6.1

a)
$\blacktriangleright$  Funktion mit dem größten Anstieg angeben
Der Anstieg einer linearen Funktion wird durch den Faktor vor dem $x$ angegeben. Die Funktion mit dem größten Anstieg ist demnach $f$ mit einem Anstieg von $m=2.$
b)
$\blacktriangleright$  Funktionswert angeben
$\begin{array}[t]{rll} f(2)&=& 2\cdot 2 +1 \\[5pt] &=& 5 \end{array}$
Der Funktionswert von Punkt $A$ lautet $y =2.$
c)
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
$\begin{array}[t]{rll} g(x)&=&h(x) \\[5pt] \frac{1}{2}x+4&=& -\frac{3}{4}x+11,5 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] \frac{1}{2}x&=& -\frac{3}{4}x+7,5&\quad \scriptsize \mid\;+\frac{3}{4}x \\[5pt] \frac{5}{4}x&=& 7,5 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{5}{4} \\[5pt] x&=& 6 \end{array}$
$ x= 6 $
Die Graphen der Funktionen schneiden sich an der Stelle $x=6.$
$\begin{array}[t]{rll} g(6)&=& \frac{1}{2}\cdot 6+4 \\[5pt] &=&7 \end{array}$
Die Koordinaten des Schnittpunkts $B$ lauten $B(6\mid 7).$
d)
$\blacktriangleright$  Graphen in ein Koordinatensystem zeichnen
Abb. 1: $h(x)= -\frac{3}{4}x+11,5$
Abb. 1: $h(x)= -\frac{3}{4}x+11,5$
$\blacktriangleright$  Koordinaten berechnen
Der Punkt $C$ liegt auf dem Graphen von $h.$ Seine Koordinaten lauten also $C(x; -\frac{3}{4}x+11,5).$
Zudem soll er vom Punkt $P(0; 11,5)$ den Abstand $17,5\,\text{cm}$ besitzen. Mit dem Satz des Pythagoras erhält man folgende Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 17,5^2&=& (x-0)^2 +(-\frac{3}{4}x+11,5 -11,5)^2 \\[5pt] 17,5^2&=& x^2 +\frac{9}{16}x^2 \\[5pt] 17,5^2&=& \frac{25}{16}x^2 &\quad \scriptsize \mid\;:\frac{25}{16} \\[5pt] \frac{16}{25}\cdot 17,5^2&=&x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}; x> 0 \\[5pt] \frac{4}{5}\cdot 17,5&=& x \\[5pt] 14&=& x \end{array}$
$ 14 =x $
Für die $y$-Koordinate folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-\frac{3}{4}\cdot 14+11,5 \\[5pt] &=& 1 \end{array}$
Die Koordinaten von $C$ lauten $C(14; 1).$
#satzdespythagoras

Wahlaufgabe 6.2

a)
$\blacktriangleright$  Radius berechnen
Betrachtet wird das Dreieck, das den Querschnitt des Kegels darstellt. Dieses ist gleichschenklig. Die beiden Schenkel mit der Länge $s = 4,0\,\text{cm}$ schließen den Winkel $\gamma = 102^{\circ}$ ein.
Mit dem Kosinussatz kann der Durchmesser berechnet werden, der die Länge der Grundseite ist:
$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& s^2+s^2 - 2\cdot s\cdot s\cdot \cos \gamma \\[5pt] d^2&=& \left(4,0\,\text{cm} \right)^2+\left(4,0\,\text{cm} \right)^2 - 2\cdot 4,0\,\text{cm} \cdot 4,0\,\text{cm}\cdot \cos 102^{\circ} \\[5pt] d^2&=& 32\,\text{cm}^2 -32\,\text{cm}^2\cdot \cos 102^{\circ}&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,}; d>0 \\[5pt] d&\approx& 6,22\,\text{cm} \end{array}$
$ d\approx 6,22\,\text{cm} $
Der Radius ist die Hälfte des Durchmessers:
$r= \frac{6,22\,\text{cm}}{2} = 3,11\,\text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} &r \\[5pt] =& \frac{6,22\,\text{cm}}{2} \\[5pt] =& 3,11\,\text{cm} \end{array}$
Der Radius der Grundfläche des Kreiskegels beträgt ca. $3,11\,\text{cm}.$
b)
$\blacktriangleright$  Zweitafelbild zeichnen
Abb. 2: Zweitafelbild
Abb. 2: Zweitafelbild
c)
$\blacktriangleright$  Volumen berechnen
1. Schritt: Volumen der Halbkugel berechnen
Mit der Formel für das Volumen einer Kugel ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_H&=&\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{2}{3}\cdot \pi \cdot \left(3,11\,\text{cm}\right)^3\\[5pt] &\approx& 63,0\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V_H\approx 63,0\,\text{cm}^3$
2. Schritt: Höhe des Kegels berechnen
Mit dem Satz des Pythagoras ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& h^2+r^2 \\[5pt] (4\,\text{cm})^2&=& h^2 +(3,11\,\text{cm})^2 \\[5pt] 16\,\text{cm}^2&=& h^2 +9,6721\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;-9,6721\,\text{cm}^2 \\[5pt] 6,3279\,\text{cm}^2&=& h^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,}; h> 0\\[5pt] 2,52\,\text{cm}&\approx& h \end{array}$
$ 2,52\,\text{cm}\approx h $
3. Schritt: Volumen des Kegels berechnen
Mit der Formel zur Berechnung des Volumens eines Kreiskegels ergibt sich:
$\begin{array}[t]{rll} V_K&=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (3,11\,\text{cm})^2 \cdot 2,52\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 25,52\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V_K\approx 25,52\,\text{cm}^3 $
4. Schritt: Gesamtvolumen des Werkstückes berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V_W&\approx& 63,0\,\text{cm}^3 + 25,52\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 88,52\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V_W \approx 88,52\,\text{cm}^3 $
Das Werkstück besitzt ein Volumen von ca. $88,52\,\text{cm}^3.$
d)
$\blacktriangleright$  Material bestimmen
Die Masse $m$ der $100$ Werkstücke ist in der Aufgabenstellung angegeben zu $m = 23,6\,\text{kg} = 23.600\,\text{g}.$ Das Gesamtvolumen der $100$ Werkstücke ist:
$\begin{array}[t]{rll} V&=& 100\cdot 88,52\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 8.852\,\text{cm}^3 \end{array}$
$ V= 8.852\,\text{cm}^3 $
Die Dichte $\rho$ der Werkstücke ergibt sich dann zu:
$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V}\\[5pt] &=&\dfrac{23.600\,\text{g}}{ 8.852\,\text{cm}^3}\\[5pt] &\approx& 2,7\, \dfrac{\text{g}}{ \text{cm}^3} \end{array}$
$ \rho \approx 2,7\, \dfrac{\text{g}}{ \text{cm}^3} $
Diese Dichte entspricht der Dichte von Aluminium. Die Werkstücke bestehen also aus Aluminium.
#dreieck#kosinussatz#satzdespythagoras

Wahlaufgabe 6.3

a)
$\blacktriangleright$  Preis pro Kilowattstunde berechnen
Insgesamt hat Herr Treu $2.745,5\,\text{kWh}$ verbraucht und dafür $768,74\,€$ gezahlt.
$\dfrac{768,74\,€}{2.745,5\,\text{kWh}}= 0,28\, \dfrac{€}{\text{kWh}} $
Eine Kilowattstunde kostet bei dem örtlichen Energieunternehmen $0,28\,€.$
b)
$\blacktriangleright$  Kosten für die Beleuchtung berechnen
$10\,\%$ des Energiebedarfs, und damit auch der Kosten, entfallen auf die Beleuchtung.
$0,1\cdot 768,74\,€\approx 76,87\,€$
Im Jahr 2016 hat Herr Treu ca. $76,87\,€$ für die Beleuchtung des Büros bezahlt.
c)
$\blacktriangleright$  Einsparung durch die neuen Lampen berechnen
Die alten Lampen verbrauchen $60$ Watt, die neuen dagegen nur $11$ Watt. Bei den $60$-Watt-Lampen zahlt Herr Treu jährlich ca. $76,87\,€$ für die Beleuchtung.
$:60$
$\begin{array}{rrcll} &60\,\text{Watt}&\mathrel{\widehat{=}}& 76,87\,€\\[5pt] &1\,\text{Watt}&\mathrel{\widehat{=}}& 1,28\,€\\[5pt] &11\,\text{Watt}&\mathrel{\widehat{=}}& 14,08\,€& \end{array}$
$:60$
$\cdot 11$
$\cdot 11$
$ 11\,\text{Watt}\mathrel{\widehat{=}} 14,08\,€ $
Statt $76,87\,€$ müsste Herr Treu mit den neuen Lampen nur noch ca. $ 14,08\,€$ für die Beleuchtung zahlen.
$76,87\,€- 14,08\,€ = 62,79\,€$
Herr Treu muss mit den neuen Lampen ca. $62,79\,€$ weniger an das Energieunternehmen zahlen.
$\blacktriangleright$  Anzahl der Monate berechnen
Um alle zwölf Lampen auszutauschen, muss Herr Treu $12\cdot 6,89\,€ = 82,68\,€$ zahlen.
In einem Jahr, also in $12$ Monaten, spart Herr Treu $62,79\,€$ Energiekosten:
$:62,79$
$\begin{array}{rrcll} &12 \,\text{Monate}&\mathrel{\widehat{=}}& 62,79\,€ \\[5pt] &\frac{400}{2.093}\,\text{Monate}&\mathrel{\widehat{=}}&1\,€\\[5pt] &15,8&\mathrel{\widehat{=}}&82,68\,€& \end{array}$
$:62,97$
$\cdot 82,68$
$\cdot 82,68$
$ 15,8\mathrel{\widehat{=}}82,68\,€ $
Nach ca. $16$ Monaten hat Herr Treu die Anschaffungskosten durch den geringeren Energiebedarf eingespart.
d)
$\blacktriangleright$  Entscheidung begründen
Die Glühbirnen verbrauchen $60$ Watt während die LED-Lampen nur $11$ Watt, also $49$ Watt weniger, verbrauchen. Der prozentuale Anteil der Einsparung ergibt sich daher zu:
$\dfrac{49}{60}\approx 0,8167 = 81,67\,\%$
Die Energieeinsparung beträgt also ca. $81,67\,\%$ und damit mehr als $80\,\%.$ Die Aussage des Werbeplakats ist also richtig.
#dreisatz#prozent
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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