Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Das Klima beeinflusst das Leben der Menschen. Eine wichtige Klimakomponente ist der Niederschlag, das ist die Niederschlagsmenge pro Quadratmeter.

Die Tabelle zeigt den Niederschlag pro Jahr für eine Wetterstation in Leipzig im Zeitraum von 2015 bis 2020.

Jahr	Niederschlag
2015	$471\,\ell$
2016	$469\,\ell$
2017	$542\,\ell$
2018	$338\,\ell$
2019	$397\,\ell$
2020	$425\,\ell$

Berechne das arithmetische Mittel der in der Tabelle angegebenen Niederschläge.

In Leipzig war 2022 ein niederschlagsarmes Jahr.
Der Niederschlag im Jahr 2022 entsprach $68,7\,\%$ des Niederschlags von 2017.
Berechne den Niederschlag für 2022.

Besonders niederschlagsreich war das Jahr 2021.
Der Niederschlag im Jahr 2018 betrug $52,1\,\%$ des Niederschlags von 2021.
Berechne den Niederschlag von 2021.

Für Aufgabe 1 erreichbare BE: 6

Aufgabe 2

Betrachtet werden Funktionen mit der allgemeinen Gleichung $y=a \cdot \sin (b \cdot x)$ für $a>0$ und $b>0.$

Die Funktion $f$ ist durch die Gleichung $y=f(x)=\sin x$ gegeben.

Zeichne den Graphen der Funktion $f$ mindestens im Intervall $-\pi \leq x \leq 2 \pi$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Gib drei Nullstellen der Funktion $f$ an, die außerhalb des angegebenen Intervalls liegen.

Von der Funktion $g$ sind die beiden folgenden Eigenschaften bekannt.

Wertebereich $-2,5 \leq y \leq 2,5$

Nullstellen $\quad x_0=\left\{\ldots,\,-\pi,\,-\dfrac{\pi}{2},\, 0,\, \dfrac{\pi}{2}, \,\pi,\, \dfrac{3}{2} \pi,\, \ldots\right\}$

Gib die Nullstelle $\dfrac{3}{2} \pi$ im Gradmaß an.
Zeichne mindestens eine Periode des Graphen der Funktion $g$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Gib die Funktionsgleichung der Funktion $g$ an.

Für Aufgabe 2 erreichbare BE: 6

Aufgabe 3

Im Rahmen des Projektes „Gesunder Wald“ unterstützt die Klasse 10b den Forstwirtschaftsbetrieb. Sie hilft bei der Aufforstung eines dreieckigen Waldstücks mit den Eckpunkten Hochsitz $(H),$ Schutzhütte $(S)$ und Wasserturm $(W).$

Auf der Infotafel an der Schutzhütte sind die folgenden Informationen zum Waldstück vermerkt (siehe Abbildung).

Abbildung (nicht maßstäblich)

Konstruiere das Dreieck HSW im Maßstab 1 : 5000.

Berechne die Entfernung $\overline{HW}$ vom Hochsitz bis zum Wasserturm.

Berechne den Flächeninhalt des Waldstücks in Hektar.

Für Aufgabe 3 erreichbare BE: 6

Aufgabe 4

Bei einem Spiel sind Wörter mit genau fünf Buchstaben zu legen. Martin hat die drei Buchstaben $A,$ $E$ und $S$ vor sich liegen.

Er zieht nacheinander ohne Zurücklegen zwei weitere Buchstaben aus einem Beutel mit fünf Buchstaben (siehe Abbildung)

Das Ziehen dieser beiden Buchstaben ist ein zweistufiges Zufallsexperiment.

sachsen realschulabschluss 2024 pflichtteil

Abbildung

Zeichne für dieses zweistufige Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschrifte alle Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin $TT$ zieht, um das Wort $T A S T E$ legen zu können.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Martin mit den beiden gezogenen Buchstaben das Wort $A S T E R$ legen kann.

Für Aufgabe 4 erreichbare BE: 6

Aufgabe 5

Die Klasse 5a baut im TC-Unterricht Spielfiguren. Die achsensymmetrischen Spielfiguren sind zusammengesetzt aus einem Kreiszylinder und einer Halbkugel (siehe Abbildung).

Sie haben die folgenden Maße.

$\begin{array}[t]{lll} \text{Durchmesser Halbkugel}& 44\,\text{mm}\\[5pt] \text{Durchmesser Kreiszylinder}& 36\,\text{mm} \\[5pt] \text{Höhe Kreiszylinder}& 60\,\text{mm} \end{array}$

Abbildung (nicht maßstäblich)

Die Spielfiguren werden aus Holz gefertigt. Das Holz hat eine Dichte von $0,85 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}$ .

Berechne das Volumen einer Spielfigur in Kubikzentimeter.
Gib die Gesamtmasse für 12 Spielfiguren an.

Konstruiere ein senkrechtes Zweitafelbild einer solchen Spielfigur.

Für Aufgabe 5 erreichbare BE: 6

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Lösung 1

Rechenweg anzeigen

$\overline{x}\approx \underline{\underline{440,33\,\ell}}$

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 68,7$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 542\,\ell\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 5,42\,\ell \\[5pt] 68,7\,\% & \mathrel{\widehat{\approx}}& \underline{\underline{372\,\ell}} \end{array}$

$:100$

$\cdot 68,7$

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{100\,\%}{542\,\ell}&=&\dfrac{68,7\,\%}{x} \quad\scriptsize \mid\;\cdot x \\[5pt] \dfrac{100\,\%}{542\,\ell}\cdot x&=& 68,7\,\% \quad\scriptsize \mid\;:\dfrac{100\,\%}{542\,\ell} \\[5pt] x&=&\dfrac{68,7\,\%}{100\,\%}\cdot 542\,\ell \\[5pt] x&\approx&\underline{\underline{372\,\ell}} \end{array}$

Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] W&=&\dfrac{542\,\ell \cdot 68,7}{100} \\[5pt] W&\approx&\underline{\underline{372\,\ell}} \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$68,7\,\%\cdot 542\,\ell=0,687\cdot 542\,\ell \approx \underline{\underline{372\,\ell}}$

Der Niederschlag im Jahr 2022 entsprach ungefähr $\underline{\underline{372\,\ell}}.$

Auch hier kann die Lösung über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} G&=& \dfrac{W\cdot 100}{p} \\[5pt] G&=& \dfrac{338\,\ell\cdot 100}{52,1} \\[5pt] G&\approx& \underline{\underline{649\,\ell}} \end{array}$

Der Niederschlag im Jahr 2022 entsprach ungefähr $\underline{\underline{649\,\ell}}.$

Lösung 2

Funktionsgraphen zeichnen

Nullstellen angeben

Die Nullstellen der Funktion sind an den Stelle $k\cdot \pi$ mit $k\in \mathbb Z.$ Drei mögliche Nullstellen sind also:

$x_1=-2\pi\quad x_2=3\pi\quad x_3=4\pi$

Nullstelle im Gradmaß angeben

$\alpha=\dfrac{\frac{3}{2}\pi}{\pi}\cdot 180°=\underline{\underline{270°}}$

Funktionsgraphen zeichnen

Funktionsgleichung angeben

$y=g(x)=\underline{\underline{2,5\cdot \sin(2x)}}$

Lösung 3

Werte im Maßstab anzeigen

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1 : 5000
$280 \,\text{m}$	$280\,\text{m}:5\,000=0,056\,\text{m}=5,6\,\text{cm}$
$310 \,\text{m}$	$310\,\text{m}:5\,000=0,062\,\text{m}=6,2 \,\text{cm}$

Mit diesen Angaben lässt sich das Dreieck konstruieren:

Mit dem Kosinussatz folgt:

Rechenweg anzeigen

$\overline{H W}\approx 260,04 \,\text{m}$

Vom Hochsitz bis zum Wasserturm sind es ungefähr $\underline{\underline{260\,\text{m}}}.$

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{1}{2}\cdot 310\,\text{m}\cdot 280\,\text{m}\cdot \sin(52°) \\[5pt] &\approx& 34\,199,67\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& \underline{\underline{3,42\,\text{ha}}} \end{array}$

Lösung 4

$P(TT)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}=\dfrac{6}{20}=0,3=\underline{\underline{30\,\%}}$

Um das Wort $ASTER$ legen zu können, muss Martin ein $T$ und ein $R$ ziehen.

$P(TR,RT)=\dfrac{3}{5}\cdot \dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{12}{20}=0,6$ $=\underline{\underline{60\,\%}}$

Lösung 5

Volumen einer Spielfigur berechnen

Volumen Zylinder berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_Z&=& \pi\cdot r^2\cdot h \\[5pt] &=& \pi\cdot \left(\dfrac{36\,\text{mm}}{2}\right)^2\cdot 60\,\text{mm} \\[5pt] &\approx& 61\,072,56\,\text{mm}^3 \\[5pt] &\approx& 61\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen Halbkugel berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_H&=& \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot r^3 \\[5pt] &=& \dfrac{2}{3}\cdot \pi\cdot \left(\dfrac{44\,\text{mm}}{2}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 22\,301,12\,\text{mm}^3 \\[5pt] &\approx& 22,3\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen einer Spielfigur berechnen

$V=61\,\text{cm}^3+22,3\,\text{cm}^3=\underline{\underline{83,3\,\text{cm}^3}}$

Gesamtmasse angeben

$m=12\cdot 83,3\,\text{cm}^3\cdot 0,85\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\approx \underline{\underline{849,66\,\text{g}}}$

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