Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Insgesamt nahmen $450$ Sportler für Deutschland an den Olympischen Spielen 2016 in Rio de Janeiro teil.
In der Übersicht ist die Verteilung dieser Sportler auf ihre Berufsgruppen dargestellt.

Sportler für Deutschland

Berufsgruppe	Anzahl $\color{#ffffff}{(\blacksquare = 50;\blacktriangle = 5;\bigstar=1)}$
Polizisten und Soldaten	$\blacksquare \,\blacksquare\, \blacksquare\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar$
Schüler und Studenten	$\blacksquare \,\blacksquare\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle$
sonstige Berufe	$\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\bigstar$
Profis	...

Gib an, wie viele Sportler aus jeder der vier Berufsgruppen teilnahmen.

Berechne den prozentualen Anteil der Polizisten und Soldaten an der Gesamtzahl der Sportler für Deutschland.

Stelle die Verteilung der Sportler auf die vier Berufsgruppen in einem Kreisdiagramm dar.

Für Aufgabe 1 erreichbare BE: 6

Aufgabe 2

Zu der Funktion $f$ mit der Gleichung $y=f(x)=(x+4)^2+1$ gehört genau einer der Graphen $A$ bis $D$ (siehe Abbildung).
Gib diesen Graphen an.

Gegeben ist die quadratische Funktion $g$ mit der Gleichung $y=g(x)= x^2 +4x-1.$

Gib den Scheitelpunkt der Funktion $g$ an.
Zeichne den Graphen der Funktion $g$ mindestens im Intervall $-5\leq x\leq 1$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
Der Graph der Funktion $g$ wird im Koordinatensystem um $2$ Einheiten nach rechts und um $4$ Einheiten nach oben verschoben. Es entsteht der Graph der Funktion $h.$
Gib eine Funktionsgleichung der Funktion $h$ an.

Von einer weiteren quadratischen Funktion $y=k(x)$ ist die Wertetabelle gegeben.

$\color{#ffffff}{x}$	$-2$	$0$	$1$	$3$	$4$
$\color{#ffffff}{y}$	$5$	$-3$	$-4$	$0$	$5$

Der Graph der Funktion $k$ hat die Form einer Normalparabel. Ermittle graphisch die Nullstellen der Funktion $k.$

Für Aufgabe 2 erreichbare BE: 7

Aufgabe 3

Herr Seifert pachtet für seine Ponys eine Weide. Diese hat die Form eines Dreiecks $ABC$ mit den Seitenlängen $\overline{AC} = 270\,\text{m},$ $\overline{BC} = 210\,\text{m}$ und dem Winkel $ACB = \gamma = 75^{\circ}.$

Konstruiere das Dreieck $ABC$ im Maßstab $1: 3\, 000.$

Herr Seifert möchte die Weide einzäunen.
Berechne die Länge des benötigten Zauns.

Die Pacht für die Weide beträgt $1\,369,20\,€.$
Berechne, wie viel Pacht je Quadratmeter Herr Seifert bezahlt.

Für Aufgabe 3 erreichbare BE: 7

Aufgabe 4

Löse die Gleichung.

$2(x-25)=5x-29$

Julius kann gedachte Zahlen erraten. Er stellt dazu seinen Freunden das folgende Zahlenrätsel.

„Denke dir eine natürliche Zahl.
Addiere zu deiner Zahl das $7$ -fache dieser Zahl.
Das Ergebnis teilst du durch $4.$
Nenne mir dein Endergebnis.“

Gib eine natürliche Zahl und das Endergebnis entsprechend des Zahlenrätsels an.
Begründe, dass die gedachte Zahl immer die Hälfte des Endergebnisses ist.

Für Aufgabe 4 erreichbare BE: 4

Aufgabe 5

Ein Körper wurde aus zwei Teilkörpern zusammengesetzt. Die Abbildung zeigt das Netz dieses Körpers.

Abbildung im Quadratraster

Benenne die beiden Teilkörper.

Berechne das Volumen des Körpers.

Zeichne ein Zweitafelbild des Körpers.

Für Aufgabe 5 erreichbare BE: 6

Lösung 1

Berufsgruppe	Anzahl $\color{#ffffff}{(\blacksquare = 50;\blacktriangle = 5;\bigstar=1)}$
Polizisten und Soldaten	$\blacksquare \,\blacksquare\, \blacksquare\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar$ $3\cdot 50+4\cdot 1=\underline{\underline{ 154}}$
Schüler und Studenten	$\blacksquare \,\blacksquare\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle$ $2\cdot 50+9\cdot 5=\underline{\underline{ 145}}$
sonstige Berufe	$\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\bigstar$ $9\cdot 5+1\cdot 1=\underline{\underline{ 46}}$
Profis	... $450-154-145-46=\underline{\underline{ 105}}$

Lösungsweg über den Dreisatz

$:450$

$\cdot 154$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 450 & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{450}\,\%\\[5pt] 154 & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{450}\cdot 154\,\%\\[5pt] \end{array}$

$:450$

$\cdot 154$

$154 \mathrel{\widehat{=}}\underline{\underline{ 34,2\,\%}}$

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{154}&=&\dfrac{100\,\%}{450} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 154 \\[5pt] x&=&\dfrac{100\,\%}{450}\cdot 154 &\\[5pt] x&\approx&\underline{\underline{ 34,2\,\%}} \end{array}$

Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=&\dfrac{W\cdot 100}{G}\,\% \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{154\cdot 100}{450}\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx&\underline{\underline{ 34,2\,\%}} \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$\dfrac{154}{450}\approx0,342=\underline{\underline{ 34,2\,\%}}$

Der prozentuale Anteil der Polizisten und Soldaten an der Gesamtzahl der Sportler beträgt $34,2\,\%.$

Berufsgruppe	Anzahl	Winkelgröße
Polizisten und Soldaten	$154$	$\dfrac{154}{450}\cdot 360^\circ\approx123^\circ$
Schüler und Studenten	$145$	$\dfrac{145}{450}\cdot 360^\circ=116^\circ$
sonstige Berufe	$46$	$\dfrac{46}{450}\cdot 360^\circ\approx37^\circ$
Profis	$105$	$\dfrac{105}{450}\cdot 360^\circ=84^\circ$

Mit den berechneten Winkelgrößen kann das Kreisdiagramm gezeichnet werden:

Lösung 2

$\underline{\underline{ A}}$

Begründung

Der Graph ist eine um $4$ Einheiten nach links und um $1$ Einheit nach oben verschobene Normalparabel. Somit muss der Scheitelpunkt $S(-4;1)$ sein. Das trifft auf den Graphen $A$ zu.

Scheitelpunkt der Funktion $\boldsymbol{g}$ angeben

Die allgemeine Funktionsgleichung einer quadratische Funktion ist $y=x^2+px+q.$

Der Scheitelpunkt $S(x_S; y_S)$ hat die Koordinaten $x_S=-\dfrac{p}{2}$ und $y_S=-\dfrac{p^2}{4}+q.$

Daraus folgt:

$x_S=-\dfrac{p}{2}=-\dfrac{4}{2}=-2$
$y_S=-\dfrac{p^2}{4}+q=-\dfrac{4^2}{4}+(-1)=-5$

Der Scheitelpunkt der Funktion $g$ ist $\underline{\underline{ S(-2; -5)}}.$

Graphen der Funktion zeichnen

Da in der Gleichung der Funktion $g$ kein Faktor vor dem $x^2$ steht, handelt es sich um eine verschobene Normalparabel. Mit dem Scheitelpunkt $S(-2; -5)$ und der Schablone lässt sich der Graph von $g$ zeichnen:

Eine Funktionsgleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$ angeben

$\underline{\underline{ y=h(x)=x^2-1}}$

Die Nullstellen der Funktion $k$ sind $\underline{\underline{ x_1=-1}}$ und $\underline{\underline{ x_2=3}}.$

Lösung 3

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:3000
$270\,\text{m}$	$270\,\text{m}:3\,000=0,09\,\text{m}=9\,\text{cm}$
$210\,\text{m}$	$210\,\text{m}:3\,000=0,07\,\text{m}=7\,\text{cm}$

Mit diesen Angaben lässt sich das Dreieck konstruieren:

Länge der Strecke $c$ berechnen

Kosinussatz anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma \quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] c&=&\sqrt{a^2+b^2-2\cdot a\cdot b\cdot \cos\gamma} \\[5pt] c&=&\sqrt{210^2+270^2-2\cdot 210\cdot 270\cdot \cos 75^\circ}\\[5pt] c&\approx&296 \end{array}$

Länge des Zauns berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&a+b+c \\[5pt] u&=&210\,\text{m}+270\,\text{m}+296\,\text{m} \\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 776\,\text{m}}} \end{array}$

Die Länge des Zauns beträgt $776\,\text{m}.$

Flächeninhalt der Weide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin\gamma\\[5pt] A&=&\dfrac{1}{2}\cdot 210\,\text{m}\cdot 270\,\text{m}\cdot \sin 75^\circ\\[5pt] A&\approx&27\,384\,\text{m}^2 \end{array}$

Pacht pro Quadratmeter berechnen

$1\,369,20\,€:27\,384=\underline{\underline{ 0,05\,€}}$

Herr Seifert bezahlt $0,05\,€$ Pacht pro Quadratmeter.

Lösung 4

$\begin{array}[t]{rll} 2(x-25)&=&5x-29 \\[5pt] 2x-50&=&5x-29 &\quad \scriptsize \mid\;-5x \\[5pt] -3x-50&=&-29 &\quad \scriptsize \mid\;+50 \\[5pt] -3x&=&21 &\quad \scriptsize \mid\;:(-3) \\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 7 }} \end{array}$

Eine natürliche Zahl und das Endergebnis angeben

Eine mögliche Zahl: $n=2$

Für $n=2$ ergibt sich folgendes Endergebnis des Zahlenrätsels:

„Addiere zu deiner Zahl das $7$ -fache dieser Zahl“:
$2+7\cdot 2=16$

„Das Ergebnis teilst du durch $4$ “:
$16:4=\underline{\underline{4}}$

Begründen, dass die gedachte Zahl immer die Hälfte des Endergebnisses ist

Für die Begründung wird statt der Zahl die Variable $n$ eingesetzt:

„Addiere zu deiner Zahl das $7$ -fache dieser Zahl“:
$n+7\cdot n=8n$

„Das Ergebnis teilst du durch $4$ “:
$8n:4=2n$

Die Vereinfachung des Terms zeigt, dass das Endergebnis immer das Doppelte der gedachten Zahl ist. Somit ist die gedachte Zahl immer die Hälfte des Endergebnisses.

Lösung 5

Skizze des zusammengesetzten Körpers:

Daraus folgt:

Unterer Teilkörper: Würfel
Oberer Teilkörper: Gerade quadratische Pyramide

Volumen des Würfels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_W&=&a^3 \\[5pt] A_W&=& (4\,\text{cm})^3 \\[5pt] A_W&=& 64\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$

Höhe der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&s^2 & \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt] h^2&=&s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 & \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,}\\[5pt] h&=&\sqrt{s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2} \\[5pt] h&=&\sqrt{(5\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{4\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] h&\approx&4,6\,\text{cm} \end{array}$

Volumen der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_P&=& \dfrac{1}{3}\cdot a^2\cdot h \\[5pt] V_P&=& \dfrac{1}{3}\cdot (4\,\text{cm})^2\cdot 4,6\,\text{cm} \\[5pt] V_P&\approx& 24,5\,\text{cm}^3 \end{array}$

Volumen des Körpers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_K&=&V_W+V_P \\[5pt] V_K&=&64\,\text{cm}^3+24,5\,\text{cm}^3 \\[5pt] V_K&=&\underline{\underline{ 88,5\,\text{cm}^3}} \end{array}$

Das Volumen des Körpers beträgt ca. $88,5\,\text{cm}^3.$