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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1

Insgesamt nahmen $450$ Sportler für Deutschland an den Olympischen Spielen 2016 in Rio de Janeiro teil.
In der Übersicht ist die Verteilung dieser Sportler auf ihre Berufsgruppen dargestellt.
Sportler für Deutschland
BerufsgruppeAnzahl
($\blacksquare = 50;$ $\blacktriangle = 5;$ $\bigstar=1$)
Polizisten und Soldaten$\blacksquare \,\blacksquare\, \blacksquare\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar$
Schüler und Studenten$\blacksquare \,\blacksquare\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle$
sonstige Berufe$\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\bigstar$
Profis
a)
Gib an, wie viele Sportler aus jeder der vier Berufsgruppen teilnahmen.
b)
Berechne den prozentualen Anteil der Polizisten und Soldaten an der Gesamtzahl der Sportler für Deutschland.
c)
Stelle die Verteilung der Sportler auf die vier Berufsgruppen in einem Kreisdiagramm dar.
(6 BE)
#prozent

Aufgabe 2

a)
Zu der Funktion $f$ mit der Gleichung $y= f(x)=(x+4)^2+1$ gehört genau einer der Graphen $A$ bis $D$ (siehe Abbildung).
Gib diesen Graphen an.
b)
Gegeben ist die quadratische Funktion $g$ mit der Gleichung $y=g(x)= x^2 +4x-1.$
  • Gib den Scheitelpunkt der Funktion $g$ an.
  • Zeichne den Graphen der Funktion $g$ mindestens im Intervall $-5\leq x\leq 1$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem.
  • Der Graph der Funktion $g$ wird im Koordinatensystem um $2$ Einheiten nach rechts und um $4$ Einheiten nach oben verschoben. Es entsteht der Graph der Funktion $h.$ Gib eine Funktionsgleichung der Funktion $h$ an.
c)
Von einer weiteren quadratischen Funktion $y= k(x)$ ist die Wertetabelle gegeben.
$x$$-2 $$ 0$$1 $$ 3$$4 $
$y$$ 5$$-3 $$-4 $$0 $$5 $
$x$$y$
$-2 $$5 $
$0 $$-3 $
$1 $$ -4$
$ 3$$ 0$
$ 4$$5 $
Der Graph der Funktion $k$ hat die Form einer Normalparabel. Ermittle graphisch die Nullstellen der Funktion.
(7 BE)
#scheitelpunkt

Aufgabe 3

Herr Seifert pachtet für seine Ponys eine Weide. Diese hat die Form eines Dreiecks $ABC$ mit den Seitenlängen $\overline{AC} = 270\,\text{m},$ $\overline{BC} = 210\,\text{m}$ und dem Winkel $ACB = \gamma = 75^{\circ}.$
a)
Konstruiere das Dreieck $ABC$ im Maßstab $1: 3\, 000.$
b)
Herr Seifert möchte die Weide einzäunen.
Berechne die Länge des benötigten Zauns.
c)
Die Pacht für die Weide beträgt $1.369,20\,€.$
Berechne, wie viel Pacht je Quadratmeter Herr Seifert bezahlt.
(7 BE)
#maßstab

Aufgabe 4

a)
Löse die Gleichung.
$2(x-25) = 5x-29$
b)
Julius kann gedachte Zahlen erraten. Er stellt dazu seinen Freunden das folgende Zahlenrätsel.
„Denke dir eine natürliche Zahl.
Addiere zu deiner Zahl das $7$-fache dieser Zahl.
Das Ergebnis teilst du durch $4.$
Nenne mir dein Endergebnis. “
  • Gib eine natürliche Zahl und das Endergebnis entsprechend des Zahlenrätsels an.
  • Begründe, dass die gedachte Zahl immer die Hälfte des Endergebnisses ist.
(4 BE)

Aufgabe 5

Ein Körper wurde aus zwei Teilkörpern zusammengesetzt. Die Abbildung zeigt das Netz dieses Körpers.
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Abbildung im Quadratraster
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Abbildung im Quadratraster
a)
Benenne die beiden Teilkörper.
b)
Berechne das Volumen des Körpers.
c)
Zeichne ein Zweitafelbild des Körpers.
(6 BE)
#zweitafelbild
Bildnachweise [nach oben]
[1],[2]
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Aufgabe 1Pflichtaufgaben

a)
$\blacktriangleright$  Anzahlen angeben
$\begin{array}[t]{rll} \blacksquare \,\blacksquare\, \blacksquare\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar\,\bigstar &=& 3\cdot 50 + 4\cdot 1 \\[5pt] &=& 154 \\[10pt] \blacksquare \,\blacksquare\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle&=& 2\cdot 50 +9\cdot5 \\[5pt] &=& 145 \\[10pt] \blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\blacktriangle\,\bigstar&=& 9\cdot 5 + 1\cdot 1 \\[5pt] &=& 46 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} …&=& 154 \\[10pt] …&=& 145 \\[10pt] …&=& 46 \end{array}$
Alle Teilnehmer, die nicht zu einer der drei angegebenen Berufsgruppen gehören, gehören zu den Profis. Zu den drei Berufsgruppen gehören insgesamt:
$154 + 145+46 = 345$
Insgesamt nahmen $450$ Sportler teil. Die Anzahl der Profis ist also:
$450 - 345 = 105$
Aus der Berufsgruppe der Polizisten und Soldaten nahmen $154$ Sportler teil, aus der Berufsgruppe der Schüler und Studenten waren es $145$ Sportler, aus den sonstigen Berufen waren es $46$ und dazu nahmen noch $105$ Profis teil.
b)
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
Von insgesamt $450$ Teilnehmern, stammten $154$ aus der Berufsgruppe der Polizisten und Soldaten.
$\frac{154}{450} \approx 0,3422 = 34,22\,\%$
Von der Gesamtzahl der Sportler für Deutschland sind ca. $34,22\,\%$ Polizisten oder Soldaten.
c)
$\blacktriangleright$  Kreisdiagramm erstellen
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Kreisdiagramm
Pflichtaufgaben
Abb. 1: Kreisdiagramm

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Graphen angeben
Bei dem Graphen muss es sich um eine Parabel handeln. Den Scheitelpunkt kannst du direkt aus der angegebenen Funktionsgleichung ablesen, $S(-4\mid 1).$ Der einzige Graph mit diesem Scheitelpunkt ist Graph $A.$
Graph $A$ gehört zur Funktion $f.$
b)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt angeben
Mithilfe der quadratischen Ergänzung kannst du die angegebene Funktionsgleichung von $g$ in die Scheitelpunktform umformen:
$\begin{array}[t]{rll} y=g(x)&=& x^2+4x-1 \\[5pt] &=& x^2 + 2\cdot 2\cdot x +2^2-2^2-1 \\[5pt] &=& (x+2)^2-2^2-1 \\[5pt] &=& (x+2)^2-5 \\[5pt] \end{array}$
$ y=g(x)= (x+2)^2-5 $
Die Koordinaten des Scheitelpunkts von $g$ lauten also $S(-2\mid -5).$
$\blacktriangleright$  Graphen zeichnen
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Graph von $g$
Pflichtaufgaben
Abb. 2: Graph von $g$
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung angeben
$\begin{array}[t]{rll} h(x)&=& g(x-2)+4 \\[5pt] &=& (x-2)^2 +4(x-2)-1+4 \\[5pt] &=& x^2-4x+4 +4x-8-1+4 \\[5pt] &=& x^2-1 \\[5pt] \end{array}$
$ h(x)= x^2-1 $
c)
$\blacktriangleright$  Nullstellen ermitteln
Zeichne den Graphen von $k$ anhand der Wertetabelle in ein Koordinatensystem.
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Graph von $k$
Pflichtaufgaben
Abb. 3: Graph von $k$
Aus der Abbildung lassen sich die Nullstellen $x_1 = -1 $ und $x_2= 3$ ablesen.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Dreieck konstruieren
Zum Zeichnen eignet sich am besten die Einheit $\text{cm}.$ Rechne also zunächst die Längenangaben auf $\text{cm}$ um:
  • $\overline{AC} = 270\,\text{m} = 27.000\,\text{cm}$
  • $\overline{BC} = 210\,\text{m} = 21.000\,\text{cm}$
  • $\overline{AC} = 27.000\,\text{cm}$
  • $\overline{BC} = 21.000\,\text{cm}$
Wende nun den Maßstab an:
$\cdot 9$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1\,\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 3.000\,\text{cm}\\[5pt] &9\,\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 27.000\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$ Pflichtaufgaben
$\cdot 9$
$9\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}} 27.000\,\text{cm} $
Die Strecke $\overline{AC}$ muss also $9\,\text{cm}$ lang gezeichnet werden.
$\cdot 7$
Pflichtaufgaben
$\begin{array}{rrcll} &1\,\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 3.000\,\text{cm}\\[5pt] &7\,\text{cm}&\mathrel{\widehat{=}}& 21.000\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$ Pflichtaufgaben
$\cdot 7$
$ 7\,\text{cm}\mathrel{\widehat{=}} 21.000\,\text{cm} $
Die Strecke $\overline{BC}$ muss $7\,\text{cm}$ lang gezeichnet werden.
Beim Konstruieren kannst du beispielsweise wie folgt vorgehen:
  1. Zeichne die Strecke $\overline{AC}$.
  2. Trage an $\overline{AC}$ im Punkt $C$ den Winkel $ACB=\gamma = 75^{\circ}$ ab.
  3. Zeichne entlang des Winkels die Strecke $\overline{BC}$ mit der entsprechenden Länge. Der Endpunkt ist der Punkt $B.$
  4. Verbinde zum Schluss die Punkte $A$ und $B.$
b)
$\blacktriangleright$  Länge des benötigten Zaunes berechnen
Die benötigte Zaunlänge ist die Summe der drei Seitenlängen. Zwei Seitenlängen sind dir bereits bekannt. Die dritte kannst du mithilfe des Kosinussatzes berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}^2 &=& \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 -2\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BC}\cdot \cos \gamma \\[5pt] \overline{AB}^2 &=& (270\,\text{m})^2 + (210\,\text{m})^2 -2\cdot (270\,\text{m})\cdot (210\,\text{m})\cdot \cos 75^{\circ} \\[5pt] \overline{AB}^2&\approx& 87.650\,\text{m}^2 \\[5pt] \overline{AB}&\approx& 296\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AB}\approx 296\,\text{m} $
Die Gesamtlänge des Zaunes ist daher:
$270\,\text{m} + 210\,\text{m} + 296\,\text{m} = 776\,\text{m}$
Es werden $776\,\text{m}$ Zaun benötigt.
c)
$\blacktriangleright$  Pacht pro Quadratmeter berechnen
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks $ABC:$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{1}{2}\cdot \overline{AC}\cdot \overline{BC}\cdot \sin \gamma \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot (270\,\text{m})\cdot (210\,\text{m})\cdot \sin 75^{\circ} \\[5pt] &=& 27.384\,\text{m}^2 \end{array}$
$ A=27.384\,\text{m}^2 $
Für $27.384\,\text{m}^2$ zahlt Herr Seifert also $1.369,20\,€.$
$1.369,20\,€ : 27.384 = 0,05 \,€$
Pro Quadratmeter zahlt Herr Seifert also $5$ Cent Pacht.
#kosinussatz

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 2(x-25) &=& 5x-29 &\quad \scriptsize \text{Klammer auflösen} \\[5pt] 2x -50 &=& 5x -29 &\quad \scriptsize \mid\;+50 \\[5pt] 2x &=& 5x +21 &\quad \scriptsize \mid\; -5x\\[5pt] -3x &=& 21 &\quad \scriptsize \mid\; :(-3) \\[5pt] x &=& -7 \end{array}$
$ x=-7 $
Die Lösungsmenge der Gleichung ist $\mathbb{L} = \{-7\}.$
b)
$\blacktriangleright$  Natürliche Zahl und zugehöriges Endergebnis angeben
Wähle beispielsweise die Zahl $2.$ Dann erhältst du:
$\begin{array}[t]{rll} 2+7\cdot 2 &=& 16 \\[5pt] 16 :4 &=& 4 \end{array}$
Das Endergebnis zur Zahl $2$ ist $4.$
$\blacktriangleright$  Regel begründen
Du kannst beispielsweise einen Term für das Endergebnis aufstellen. Bezeichne dabei die gedachte Zahl als $x:$
Nach dem ersten Schritt erhältst du das Zwischenergebnis $x +7\cdot x.$ Dies kannst du vereinfachen zu:
$x+7\cdot x = 8\cdot x$
Anschließend soll man durch $4$ teilen:
$8\cdot x :4$
Dies ist das Endergebnis und kann noch weiter vereinfacht werden:
$8\cdot x :4 = 2\cdot x$
Das Endergebnis ist also immer das Doppelte der gedachten Zahl. Die gedachte Zahl ist daher immer die Hälfte des Endergebnisses.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Teilkörper benennen
Es gibt fünf Seitenflächen, die die Form von gleichgroßen Quadraten haben. Einer der Teilkörper ist also ein Würfel.
Der zweite Teilkörper besitzt vier deckungsgleiche Dreiecke als Seitenflächen. Es handelt sich dabei also um eine vierseitige gleichmäßige Pyramide.
b)
$\blacktriangleright$  Volumen des Körpers berechnen
In der Abbildung ist angegeben, dass ein Kästchen $1\,\text{cm}$ entspricht.
1. Schritt: Volumen des Würfels berechnen
Die Kantenlänge des Würfels beträgt $4\,\text{Kästchen} \mathrel{\widehat{=}} 4\,\text{cm}.$ Das Volumen des Würfels beträgt also:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Würfel}} &=& (4\,\text{cm})\cdot (4\,\text{cm}) \cdot (4\,\text{cm}) \\[5pt] &=& 64\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Würfel}} = 64\,\text{cm}^3 $
2. Schritt: Volumen der Pyramide berechnen
Für das Volumen der Pyramide benötigst du die Höhe der Pyramide und den Flächeninhalt der Grundfläche.
Aus der Abbildung kannst du die Höhe der einzelnen Dreiecke ablesen zu $h_1 = 5\,\text{cm}.$ Zudem kennst du die Seitenlängen der Grundfläche, da diese ein Quadrat mit der Seitenlänge $4\,\text{cm}$ ist.
Mit dem Satz des Pythagoras kannst du nun die Höhe $h$ der Pyramide berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} (5\,\text{cm})^2&=& (2\,\text{cm})^2 +h^2 \\[5pt] 25\,\text{cm}^2&=& 4\,\text{cm}^2 + h^2 &\quad \scriptsize \mid\; -4\,\text{cm}^2 \\[5pt] 21\,\text{cm}^2 &=& h^2 \\[5pt] 4,6\,\text{cm} &\approx& h \end{array}$
$ h\approx 4,6\,\text{cm} $
Die Höhe der Pyramide ist also ca. $h\approx 4,6\,\text{cm}.$
Die Grundfläche hat folgenden Flächeninhalt:
$G = 4\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} = 16\,\text{cm}^2$
Das Volumen der Pyramide beträgt daher:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \frac{1}{3}\cdot G \cdot h \\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 16\,\text{cm}^2 \cdot 4,6\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 24,5\,\text{cm}^3 \\[5pt] \end{array}$
$ V_{\text{Pyramide}} \approx 24,5\,\text{cm}^3 $
Das Gesamtvolumen des Körpers ergibt sich daher zu.
$V\approx V_{\text{Würfel}} + V_{\text{Pyramide}} =64\,\text{cm}^3 + 24,5\,\text{cm}^3 = 88,5\,\text{cm}^3$
$ … = 88,5\,\text{cm}^3 $
Der Körper besitzt ein Volumen von ca. $88,5\,\text{cm}^3.$
c)
$\blacktriangleright$  Zweitafelbild zeichnen
Pflichtaufgaben
Abb. 4: Zweitafelbild
Pflichtaufgaben
Abb. 4: Zweitafelbild
#pyramide#würfel#satzdespythagoras
Bildnachweise [nach oben]
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