Teil B – Wahlaufgaben
Wahlaufgabe 6.1
Familie Naumann macht Urlaub im Harz.
a)
Die Familie wandert vom Kloster Wendhusen 
zum Schlangeneck 
weiter zum Rastplatz 
und von dort aus nach Quedlinburg 
(siehe Abbildung).
Alle Teilstrecken werden als geradlinig angenommen.
Abbildung (nicht maßstäblich)
- Berechne die Länge der Strecke vom Schlangeneck
zum Rastplatz
- Berechne die Länge der gesamten Wanderstrecke.
b)
An einem anderen Tag fährt das Ehepaar Naumann mit den drei Töchtern im Alter von 9, 12 und 17 Jahren mit der Seilbahn zum Hexentanzplatz.
- Berechne die Größe des Anstiegswinkels dieser Seilbahn, wenn deren Verlauf als geradlinig angenommen wird.
- Gib den günstigsten Fahrpreis für die Fahrt mit der Seilbahn zum Hexentanzplatz und zurück für Familie Naumann an.
Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8
Wahlaufgabe 6.2
Gegeben ist ein gerades dreiseitiges Prisma 
mit den folgenden Maßen.
Abbildung (nicht maßstäblich)
a)
Berechne die Länge der Kante 
b)
Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.
c)
Zeichne ein senkrechtes Zweitafelbild des Prismas 
d)
Aus genau vier solchen Prismen können verschiedene Quader zusammengesetzt werden.
Gib für zwei verschiedene Quader die Kantenlängen an.
Gib für zwei verschiedene Quader die Kantenlängen an.
Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8
Wahlaufgabe 6.3
Hannah bezieht ihre erste eigene Wohnung. Sie kann einen alten Kühlschrank kostenlos bekommen oder einen neuen Kühlschrank kaufen.
Sie erstellt sich die folgende Übersicht.
| alter Kühlschrank | neuer Kühlschrank | |
|---|---|---|
| Anschaffungskosten | ||
| Energiekosten pro Monat |
a)
Berechne, um wie viel Prozent die monatlichen Energiekosten für den neuen Kühlschrank niedriger sind als die für den alten Kühlschrank.
b)
Hannah vergleicht die gesamten Kosten für beide Kühlschränke in Abhängigkeit von der Nutzungsdauer. Sie hat in die Wertetabelle für das Jahr Null als gesamte Kosten die Anschaffungskosten eingetragen.
In den folgenden Jahren setzen sich die gesamten Kosten aus den Anschaffungskosten und den Energiekosten zusammen.
In den folgenden Jahren setzen sich die gesamten Kosten aus den Anschaffungskosten und den Energiekosten zusammen.
| Nutzungsdauer in Jahren | ||||
|---|---|---|---|---|
| gesamte Kosten für den alten Kühlschrank |
||||
| gesamte Kosten für den neuen Kühlschrank |
- Übernimm die Wertetabelle und trage die fehlenden Werte ein.
- Stelle die Zuordnung
Nutzungsdauer in Jahrengesamte Kosten für den alten Kühlschrank
in einem Koordinatensystem für die ersten 5 Jahre dar. - Ermittle, nach wie viel Jahren die gesamten Kosten für den neuen Kühlschrank geringer werden als für den alten Kühlschrank.
Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8
Lösung 6.1
a)
Länge der Strecke vom Schlangeneck 
zum Rastplatz 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\cos\alpha&=& \dfrac{w}{r}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot r\\[5pt]
\cos\alpha\cdot r&=& w \\[5pt]
w&=& \cos23,6^\circ \cdot 2,7\,\text{km} \\[5pt]
w&\approx &\underline{\underline{ 2,5\,\text{km} }}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/80b00ea99c660192ae113e6833d11cf5646983a990d5f8e76676624d86751a02?color=5a5a5a)
Die Länge der Strecke vom Schlangeneck zum Rastplatz beträgt etwa 
Länge der gesamten Wanderstrecke berechnen
Länge der Strecke 
mit dem Kosinussatz berechnen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
s^2&=&w^2+p^2-2wp\cdot \cos\beta \quad\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
s&=&\sqrt{w^2+p^2-2wp\cdot \cos\beta} \\[5pt]
s&=&\sqrt{2,5^2+6,0^2-2\cdot 2,5\cdot 6,0\cdot \cos 129,7^\circ } \\[5pt]
s&\approx&7,8 \\[5pt]
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bb4cee2be45288c8396d1d0e0cd04088815e2ecb95330b3fd26cc9726c9b5713?color=5a5a5a)
Daraus folgt:
![\(\begin{array}[t]{lll}
r+w+s \\[5pt]
=2,7\,\text{km}+2,5\,\text{km}+7,8\,\text{km} \\[5pt]
=\underline{\underline{ 13\,\text{km}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/23f5a76da7c93f27a428a506dbd63b0b1c68ad29a418f4540a4ab2214418e79a?color=5a5a5a)
Die Länge der gesamten Wanderstrecke beträgt 
b)
Größe des Anstiegswinkel berechnen
Der Höhenunterschied 
zwischen der Berg- und Talstation beträgt 
Daraus folgt:
![\(\begin{array}[t]{rll}
\sin\alpha&=& \dfrac{h}{f} \\[5pt]
\sin\alpha&=& \dfrac{244\,\text{m}}{720\,\text{m}} &\quad \scriptsize \mid\;\sin^{-1} \\[5pt]
\alpha&\approx&\underline{\underline{19,8^\circ}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/774f96485370f8aed52f76db5b8ac20bf3ca4e66d6a63ee7082719f71e2383c6?color=5a5a5a)
Die Größe des Anstiegswinkels beträgt etwa 
Günstigsten Fahrpreis angeben
Variante 1: 3 Erwachsene + 2 Kinder
Variante 2: Familienkarte A + 1 Erwachsener
Der günstigste Fahrpreis beträgt 
Lösung 6.2
a)
Satz des Pythagoras anwenden:
![\(\begin{array}[t]{rll}
a^2+b^2&=&c^2 &\quad \scriptsize \mid\;-a^2 \\[5pt]
b^2&=&c^2-a^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt]
b&=&\sqrt{c^2-a^2 } \\[5pt]
b&=&\sqrt{(65\,\text{mm})^2-(25\,\text{mm})^2} \\[5pt]
b&=&\underline{\underline{ 60\,\text{mm}}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/bc3f35e46beaf2ecc181270158bddef3c4024022b2cea0d8f426a3615aa20e75?color=5a5a5a)
Die Länge der Kante 
beträgt 
b)
Grundflächeninhalt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_G&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot b \\[5pt]
A_G&=&\dfrac{1}{2}\cdot 25\,\text{mm}\cdot 60\,\text{mm} \\[5pt]
A_G&=&750\,\text{mm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a521e6a9a9845a7150066273d4b4e4cfc9787c5a16a83103f5a18b217bd9026c?color=5a5a5a)
Mantelflächeninhalt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_M&=&a\cdot h+b\cdot c+c\cdot h \\[5pt]
A_M&=& (a+b+c)\cdot h \\[5pt]
A_M&=& (25\,\text{mm}+60\,\text{mm}+65\,\text{mm})\cdot 50\,\text{mm} \\[5pt]
A_M&=& 7\,500\,\text{mm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/abf94fb92baad763a4bde2da1421243e76ac9e5ce1ddbcde016fb980b02b2de8?color=5a5a5a)
Oberflächeninhalt 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_O&=&2\cdot A_G+A_M \\[5pt]
A_O&=&2\cdot 750\,\text{mm}^2+ 7\,500\,\text{mm}^2 \\[5pt]
A_O&=&\underline{\underline{9\,000\,\text{mm}^2}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4d676b0fb29714d9ebc47c89880e89ef8c8836bd5ec3b5fefe6e30a4ec95c5dc?color=5a5a5a)
Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt 
c)
Es gibt zwei Möglichkeiten, die Kanten für das Zweitafelbild auszurichten:
Lösungsweg 1
Die Kante 
verläuft parallel zur Aufrissebene.
Lösungsweg 2
Die Kante verläuft parallel zur Aufrissebene.
d)
Im ersten Schritt kann aus zwei Prismen ein Quader zusammengesetzt werden:
60 mm x 25 mm x 50 mm
Damit lassen sich drei größere Quader bilden, die aus jeweils vier Prismen bestehen:
120 mm x 25 mm x 50 mm
60 mm x 25 mm x 100 mm
60 mm x 50 mm x 50 mm
Lösung 6.3
a)
Die monatlichen Energiekosten für den neuen Kühlschrank sind um 
niedriger. Der dazugehörige Prozentwert kann über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel und den Dezimalbruch berechnet werden:
Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz
![\(\begin{array}{rcl}
11\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt]
1\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{11}\,\%\\[5pt]
7\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{11}\cdot 7\,\%
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/069b4aa77d4ad2c52ef19ca32439c545cb3b523ac2e5499f0c41995b27a0e493?color=5a5a5a)
Die monatlichen Energiekosten für den neuen Kühlschrank sind um etwa 
niedriger als für den alten Kühlschrank.
b)
Wertetabelle übernehmen und fehlende Werte eintragen
Kosten für den alten Kühlschrank berechnen
Zuordnung darstellen
Nach wie viel Jahren werden die gesamten Kosten für den neuen Kühlschrank geringer als für den alten Kühlschrank?
Grafischer Lösungsweg
Zuordnung für den neuen Kühlschrank in das bestehende Koordinatensystem einzeichnen:
Der Schnittpunkt markiert den Zeitpunkt, in dem die Kosten der beiden Kühlschränke gleich sind. Dieser liegt annähernd bei 
Nach diesem Zeitpunkt, also nach etwa 3 Jahren, werden die gesamten Kosten für den neuen Kühlschrank geringer als für den alten Kühlschrank.
Rechnerischer Lösungsweg
Die gesamten Kosten der beiden Kühlschränke können auch durch Gleichungen beschrieben werden:
-Koordinate des Schnittpunkts mit dem Gleichsetzungsverfahren bestimmen:
![\(\begin{array}[t]{rll}
132x&=&48x+252 &\quad \scriptsize \mid\;-48x \\[5pt]
84x&=&252 &\quad \scriptsize \mid\;:84 \\[5pt]
x&=&\underline{\underline{ 3}}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/8b57607e335dbe7eb38750555c98f9347927cd8da379511525d96767d52e7e99?color=5a5a5a)
Nach 3 Jahren werden die gesamten Kosten für den neuen Kühlschrank geringer als für den alten Kühlschrank.
- Jahr 1:
- Jahr 2:
- Jahr 5:
- Jahr 1:
- Jahr 2:
- Jahr 5:
| Nutzungsdauer in Jahren | ||||
|---|---|---|---|---|
| gesamte Kosten für den alten Kühlschrank |
||||
| gesamte Kosten für den neuen Kühlschrank |
- Alter Kühlschrank:
- Neuer Kühlschrank: