Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Für ihre Ausbildung benötigt Franka ein Notebook, einen Rucksack und einen Eingabestift.

Berechne den prozentualen Anteil des Preises für das Notebook am Gesamtpreis der benötigten Waren.

Ein Händler bietet in der Werbeaktion am Tag seines 11-jährigen Geschäftsjubiläums alle Waren $11\,\%$ günstiger an.
Berechne den Gesamtpreis, den Franka an diesem Tag bezahlen muss.

Für einen Betrag von $296,00\,€$ muss Franka ihren Überziehungskredit $27$ Tage in Anspruch nehmen. Der Zinssatz beträgt $13,2\,\%$ pro Jahr.
Berechne die Zinsen, die Franka dafür bezahlen muss.

Für Aufgabe 1 erreichbare BE: 6

Aufgabe 2

Gegeben sind zwei quadratische Funktionen $f$ und $g$ .
Die Gleichung der Funktion $f$ lautet $y=f(x)=x^2-6x+8.$
Der Graph der Funktion $g$ ist eine nach oben geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(2;-3).$

Berechne die Nullstellen der Funktion $f$ .

Gib die Gleichung der Funktion $g$ in der Scheitelpunktsform $y = g(x) = (x + d)^2 + e$ an.

Zeichne die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem mindestens im Intervall $0 \leq x \leq 5.$

Für Aufgabe 2 erreichbare BE: 6

Aufgabe 3

Forstwirtin Maier pflanzt Bäume auf einem dreieckigen Waldstück, das durch drei unterschiedlich lange Wege begrenzt wird.
Die Wege werden vereinfacht als Seiten eines Dreiecks betrachtet.
Die längste Seite ist $7,3\,\text{km}$ lang und die kürzeste Seite $2,4\,\text{km}.$
Der Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt, hat eine Größe von $110^{\circ}.$

Skizziere ein entsprechendes Dreieck und trage die gegebenen Werte ein.

Zeichne ein solches Dreieck im Maßstab $1:100\,000.$

Um das gesamte Waldstück soll ein Zaun zum Schutz der Bäume vor Fraß durch Wildtiere gebaut werden.
Berechne die Länge des Zauns.

Für Aufgabe 3 erreichbare BE: 6

Aufgabe 4

In einem Gefäß befinden sich drei gelbe Kugeln, zwei schwarze und eine rote Kugel. Lena zieht nacheinander zwei Kugeln. Die zuerst gezogene Kugel legt sie vor dem Ziehen der zweiten Kugel wieder zurück.
Das Ziehen der Kugeln ist ein zweistufiges Zufallsexperiment.

Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und trage alle Wahrscheinlichkeiten ein.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ergebnis:
Lena zieht zweimal die rote Kugel.

Berechne die Wahrscheinlichkeit für das folgende Ergebnis:
Lena zieht zwei Kugeln mit unterschiedlichen Farben.

Für Aufgabe 4 erreichbare BE: 6

Aufgabe 5

Bei der Sanierung einer Schule werden zur besseren Isolierung neue Dämmplatten angebracht. Diese werden mit Baukleber befestigt, welcher in einem Silo angeliefert wird (siehe Abbildung).

Dieses Silo wird vereinfacht als ein zusammengesetzter Körper aus einem Kreiskegel und einem Kreiszylinder betrachtet.
Die Gundflächen der beiden Teilkörper sind zueinander kongruent.

(Abbildung nicht maßstäblich)

Das Silo an der Schule hat die folgenden Maße:
Gesamthöhe des zusammengesetzten Körpers: $6,50\,\text{m}$
Höhe des Kreiskegels: $2,00\,\text{m}$
Durchmesser der Grundfläche: $2,50\,\text{m}$

Berechne das Fassungsvermögen dieses Silos.

Es gibt weitere Silos für Baukleber mit einem Fassungsvermögen von $5\,\text{m}^3, 12 \,\text{m}^3, 18 \,\text{m}^3$ oder $20 \,\text{m}^3.$

Die Dichte des Bauklebers beträgt $1500 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}.$

Ein leeres Silo mit einem Fassungsvermögen von $18 \,\text{m}^3$ hat eine Masse von $2,4 \,\text{t}.$
Gib die Gesamtmasse des gefüllten Silos an.
Auf einer anderen Baustelle müssen auf einer Fläche von $2950 \,\text{m}^2$ Dämmplatten angebracht werden. Für einen Quadratmeter benötigt man $6\,\text{kg}$ Baukleber.
Entscheide und begründe rechnerisch, welches Silo geliefert werden sollte.

Für Aufgabe 5 erreichbare BE: 6

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Lösung 1

Gesamtpreis berechnen

$919,00\,€+65,30\,€+76,00\,€=1\,060,30\,€$

Prozentualen Anteil des Notebooks berechnen

Lösungsweg über den Dreisatz

Dreisatz anzeigen

$919,00\,€ \mathrel{\widehat{=}} \underline{\underline{86,7\,\%}}$

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{919\,€}&=& \dfrac{100\,\%}{1\,060,30\,€}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 919\,€ \\[5pt] x&=& \dfrac{100\,\%}{1\,060,30\,€}\cdot 919\,€& \\[5pt] x&\approx& \underline{\underline{ 86,7\,\%}} \end{array}$

Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} p\,\%&=&\dfrac{W\cdot 100}{G}\,\% \\[5pt] p\,\%&=&\dfrac{919\,€ \cdot 100}{1\,060,30\,€}\,\% \\[5pt] p\,\%&\approx& \underline{\underline{ 86,7\,\%}} \\[5pt] \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$\dfrac{919\,€}{1\,060,30\,€}\approx0,867=\underline{\underline{ 86,7\,\%}}$

Der prozentuale Anteil des Notebooks beträgt etwa $86,7\,\%.$

Auch hier kann die Lösung über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dezimalbruch

Der Prozentsatz beträgt $100\,\%-11\,\%=89\,\%.$

$1\,060,30\,€\cdot 89\,\%=1\,060,30\,€\cdot 0,89\approx \underline{\underline{ 943,67\,€}}$

Franka muss an diesem Tag $943,67\,€$ bezahlen.

Zunächst werden die Zinsen für ein Jahr benötigt. Diese können ebenfalls über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dezimalbruch

$296,00\,€\cdot 13,2\,\%=296,00\,€\cdot 0,132\approx39,07\,€$

Damit können die Zinsen für 27 Tage berechnen werden.

Ein Jahr besteht bei Tageszinsen aus 360 Tagen.

Daraus folgt: $39,07\,€\cdot \dfrac{27}{360}\approx \underline{\underline{ 2,93\,€}}$

Franka muss $2,93\,€$ Zinsen bezahlen.

Lösung 2

$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x+8&=&0 \\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2-8} \\[5pt] x_{1,2}&=&3\pm\sqrt{1} \\[5pt] x_{1}&=&3+1=\underline{\underline{ 4}} \\[5pt] x_{2}&=&3-1=\underline{\underline{ 2}} \end{array}$

Die Nullstellen lauten $x_1=4$ und $x_2=2.$

$\underline{\underline{ y=g(x)=(x-2)^2-3}}$

Da der Graph der Funktion $g$ eine Normalparabel ist und der Scheitelpunkt bereits gegeben ist, kann dieser Graph direkt eingezeichnet werden.

Für den Graph der Funktion $f$ müssen zunächst die Koordinaten des Scheitelpunkts $S(x_S;y_S)$ berechnet werden:

$x_S=-\dfrac{p}{2}=-\dfrac{(-6)}{2}=3$
$y_S=-\dfrac{p^2}{4}+q=-\dfrac{(-6)^2}{2}+8=-1$

Der Scheitelpunkt lautet $S(3;-1).$ Anhand der Nullstellen $x_1=4$ und $x_2=2$ und dem Scheitelpunkt $S(3;-1)$ erkennt man, dass es sich bei dem Graph der Funktion $f$ auch um eine Normalparabel handelt. Mit diesen Infos kann auch dieser Graph gezeichnet werden:

Lösung 3

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:100 000
$2,4\,\text{km}$	$2,4\,\text{km}:100\,000$ $=2\,400\,\text{m}:100\,000$ $=0,024\,\text{m}=2,4\,\text{cm}$
$7,3\,\text{km}$	$7,3\,\text{km}:100\,000$ $=7\,300\,\text{m}:100\,000$ $=0,073\,\text{m}=7,3\,\text{cm}$

Mit diesen Angaben lässt sich das Dreieck konstruieren:

Strecke $\overline{AC}=2,4\,\text{cm}$ zeichnen.
Winkel $\sphericalangle BAC=110^\circ$ in Punkt $A$ abtragen.
Kreisbogen mit dem Radius $\overline{BC}=7,3\,\text{cm}$ um Punkt $C$ zeichnen.

Winkelgröße von $\beta$ über den Sinussatz berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{b}{\sin\beta}&=& \dfrac{a}{\sin\alpha}& \\[5pt] \dfrac{\sin\beta}{b}&=& \dfrac{\sin\alpha}{a}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot b\\[5pt] \sin\beta&=& \dfrac{\sin\alpha}{a}\cdot b&\\[5pt] \beta&=& \dfrac{\sin110^\circ}{7,3\,\text{km}}\cdot 2,4\,\text{km}&\\[5pt] \beta&\approx & 0,309&\quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1}\\[5pt] \beta&\approx & 18^\circ \end{array}$

Winkelgröße von $\gamma$ berechnen

$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta=180^\circ-110^\circ-18^\circ=52^\circ$

Seitenlänge von $c$ mit dem Sinussatz berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{c}{\sin\gamma}&=& \dfrac{a}{\sin\alpha}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin\gamma \\[5pt] c&=& \dfrac{a}{\sin\alpha}\cdot \sin\gamma& \\[5pt] c&=& \dfrac{7,3\,\text{km}}{\sin110^\circ}\cdot \sin52^\circ& \\[5pt] c&\approx & 6,1\,\text{km} \end{array}$

Länge des Zauns berechnen

$\begin{array}[t]{rll} u&=&a+b+c \\[5pt] u&=&7,3\,\text{km}+2,4\,\text{km}+6,1\,\text{km} \\[5pt] u&=&\underline{\underline{ 15,8\,\text{km}}} \end{array}$

Der Zaun ist $15,8\,\text{km}$ lang.

Lösung 4

Wahrscheinlichkeiten angeben

$P(g)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$
$P(s)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$P(r)=\dfrac{1}{6}$

Baumdiagramm zeichnen

$P(r;r)=\dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{6}=\underline{\underline{ \dfrac{1}{36}}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lena zweimal die rote Kugel zieht, beträgt $\dfrac{1}{36}.$

Für die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse gilt:

$P(g,s)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}$
$P(s,g)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}$
$P(r,g)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{12}$
$P(g,r)=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{12}$
$P(s,r)=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{18}$
$P(r,s)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{18}$

Daraus folgt:

$P(\text{versch. Farben})$

$\begin{array}[t]{rll} =&\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{18}+\dfrac{1}{18} \\[5pt] =&\underline{\underline{ \dfrac{11}{18}}} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Lena zwei Kugeln mit verschiedenen Farben zieht, beträgt $\dfrac{11}{18}.$

Lösung 5

Radius der Grundfläche berechnen

$r=d:2=2,50\,\text{m}:2=1,25\,\text{m}$

Volumen des Kegels berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_K&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2\cdot h_K \\[5pt] V_K&=& \dfrac{1}{3}\cdot \pi \cdot (1,25\,\text{m})^2\cdot 2,00\,\text{m}\\[5pt] V_K&\approx& 3,27\,\text{m}^3 \end{array}$

Höhe des Zylinders berechnen

$h_Z=h-h_K=6,50\,\text{m}-2,00\,\text{m}=4,50\,\text{m}$

Volumen des Zylinders berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_Z&=& \pi\cdot r^2\cdot h_Z \\[5pt] V_Z&=& \pi\cdot (1,25\,\text{m})^2\cdot 4,50\,\text{m}\\[5pt] V_Z&\approx& 22,09\,\text{m}^3 \end{array}$

Fassungsvermögen (Volumen) des Silos berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& V_K+V_Z\\[5pt] V&=& 3,27\,\text{m}^3+22,09\,\text{m}^3\\[5pt] V&=& \underline{\underline{ 25,36\,\text{m}^3}} \end{array}$

Das Fassungsvermögen des Silos beträgt $25,36\,\text{m}^3.$

Gesamtmasse des gefüllten Silos angeben

Masse des Klebers berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \rho&=& \dfrac{m}{V}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot V \\[5pt] \rho\cdot V&=& m\\[5pt] m&=& \rho\cdot V\\[5pt] m&=& 1\,500 \frac{\text{kg}}{\text{m}^3}\cdot 18 \,\text{m}^3\\[5pt] m&=& 27\,000\,\text{kg}\\[5pt] m&=& 27\,\text{t} \end{array}$

Gesamtmasse berechnen

$27\,\text{t}+2,4\,\text{t}=\underline{\underline{ 29,4\,\text{t}}}$

Die Gesamtmasse des gefüllten Silos beträgt $29,4\,\text{t}.$

Welches Silo sollte geliefert werden?

Bedarf an Baukleber in Kilogramm berechnen

$2\,950\cdot 6\,\text{kg}=17\,700\,\text{kg}$

Bedarf an Baukleber in Kubikzentimeter berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \rho&=&\dfrac{m}{V} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot V \\[5pt] \rho\cdot V&=&m &\quad \scriptsize \mid\;:\rho \\[5pt] V&=&\dfrac{m}{\rho} \\[5pt] V&=&\dfrac{17\,700\,\text{kg}}{1\,500\frac{\text{kg}}{\text{m}^3}} \\[5pt] V&=&11,8\,\text{m}^3 \end{array}$

Da $11,8\,\text{m}^3$ Kleber benötigt werden, sollte ein $\underline{\underline{ 12\,\text{m}^3}}$ -Silo geliefert werden.

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