Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Lina und Niko ziehen im Sommer in eine gemeinsame Wohnung. Bisher nutzten sie unterschiedliche Tarife für elektrische Energie bei den Stadtwerken.

Stadtwerke – Tarif OPTIMAL

0,44 Euro pro Kilowattstunde (kWh)

Stadtwerke – Tarif CLASSIC

Grundgebühr pro Jahr $\quad150,00\,\,\text{€}$
Verbrauchspreis pro kWh $\quad 0,38\,\,\text{€}$

Lina nutzte im letzten Jahr den Tarif OPTIMAL.

Gib an, wie viel Euro Lina für $1275 \,\text{kWh}$ elektrische Energie bezahlte.

Niko nutzte $1\,165 \,\text{kWh}$ elektrische Energie im letzten Jahr.

Gib den Betrag an, den Niko im Tarif CLASSIC dafür bezahlte.

Stelle für beide Tarife jeweils eine Funktionsgleichung für die jährlichen Kosten $y$ in Abhängigkeit von der Menge $x$ an elektrischer Energie auf.

Lina und Niko wollen für ihre gemeinsame Wohnung einen der beiden bisherigen Tarife bei den Stadtwerken wählen.

Entscheide und begründe, ab welcher Energiemenge der Tarif OPTIMAL nicht mehr günstiger ist.

Nikos Eltern sind bei einem anderen Anbieter. Sie nutzten im letzten Jahr $2760 \,\text{kWh}$ elektrische Energie zu $0,32 \,\,\text{€}$ pro $\text{kWh}$ . Sie bezahlten dafür pro Monat $84,60 \,\,\text{€}.$

Berechne die jährliche Grundgebühr ihres Anbieters.

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Die Punkte $A(1 \mid-4) ; \,B(6 \mid 1)$ und $C(-1 \mid 2)$ sind die Eckpunkte des Dreiecks $A B C$ in einem rechtwinkligen Koordinatensystem (Längeneinheit im Koordinatensystem: $1,0 \,\text{cm}$ ).

Zeichne das Dreieck $ABC.$

Berechne die Länge der Seite $\overline{AB}.$

Das Dreieck $ABC$ ist gleichschenklig. Die Symmetrieachse kann als Graph einer linearen Funktion $f$ angenommen werden.

Ermittle die Funktionsgleichung von $f.$

Durch Spiegelung des Dreiecks $A B C$ an der $y$ -Achse entsteht das Bilddreieck $A_1 B_1 C_1.$ Die Punkte $A_1,\, A,\, B$ und $B_1$ sind Eckpunkte eines Vierecks.

Ermittle den Flächeninhalt des Vierecks $A_1 AB B_1$ .

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Eine Firma bietet das Schneiden von Stahlträgern auf Wunschlänge und deren Transport an. Sie benötigt für die Planung der Produktionsabläufe die Länge der Kanten und den Flächeninhalt der Schnittfläche.

sachsen realschulabschluss 2024 wahlteil

Abbildung (nicht maßstäblich)

Berechne die Gesamtlänge der Kanten der Schnittfläche (siehe Abbildung).

Berechne den Flächeninhalt der Schnittfläche (siehe Abbildung).

Ein weiterer prismenförmiger Stahlträger mit einer anderen Schnittfläche hat eine Masse von $170$ Tonnen. Seine Schnittfläche ist $2\,800$ Quadratzentimeter groß.

Der verwendete Stahl hat eine Dichte von $7,85 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}.$

Dieser Stahlträger soll nachts mit einem überlangen Schwertransporter zu einer Brückenbaustelle gebracht werden. Die kürzeste Transportstrecke lässt eine Länge des Stahlträgers von höchstens $70$ Meter zu.

Entscheide und begründe durch Rechnung, ob diese kürzeste Transportstrecke genutzt werden kann.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

Lösung 6.1

$1275\,\text{kWh}\cdot 0,44\,\frac{\text{€}}{\text{kWh}}=\underline{\underline{561,00\,\text{€}}}$

$150,00\,\text{€}+1\,165\,\text{kWh}\cdot 0,38\,\text{€}\,\frac{\text{€}}{\text{kWh}}$ $=\underline{\underline{592,70\,\text{€}}}$

Tarif OPTIMAL: $y=f(x)=0,44\cdot x$

Tarif CLASSIC: $y=g(x)=150+0,38\cdot x$

$\begin{array}[t]{rll} 0,44\cdot x&=& 150+0,38\cdot x \quad \scriptsize \mid\;-0,38\cdot x \\[5pt] 0,06\cdot x&=& 150 \quad \scriptsize \mid\;:0,06 \\[5pt] x&=& 2\,500 \end{array}$

Für $\underline{\underline{2\,500\,\text{kWh}}}$ kosten die beiden Tarife gleich viel. Ab dieser Energiemenge ist der Tarif OPTIMAL nicht mehr günstiger, da der Preis pro Kilowattstunde höher ist als beim Tarif CLASSIC.

$\begin{array}[t]{rll} x+2\,760\cdot 0,32&=& 84,6\cdot 12 \\[5pt] x+883,2&=& 1\,015,2 \quad \scriptsize \mid\; -883,2 \\[5pt] x&=& 132 \end{array}$

Die jährliche Grundegühr betrug $\underline{\underline{132\,\text{€}}}.$

Lösung 6.2

$\begin{array}[t]{rll} |\overline{AB}|&=& \sqrt{(6-1)^2+(1-(-4))^2} \\[5pt] &=& \sqrt{5^2+5^2} \\[5pt] &=& \sqrt{50} \\[5pt] &\approx& \underline{\underline{7,07\,[\text{cm}]}} \end{array}$

Die Symmetrieachse verläuft durch den Punkt $B$ und $(0\mid -1).$ Folglich gilt für den $y$ -Achsenabschnitt $n=-1.$

Die Steigung $m$ lässt sich mit einem Steigungsdreieck berechnen:

$m=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Damit folgt insgesamt:

$y=f(x)=\dfrac{1}{3}x-1$

Skizze

Das entstehende Viereck ist ein Trapez mit den Seitenlängen $a=2\,\text{cm},$ $c=12\,\text{cm}$ und der Höhe $h=5\,\text{cm}.$ Mit der Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes folgt:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h \\[5pt] &=& \dfrac{2\,\text{cm}+12\,\text{cm}}{2}\cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& \underline{\underline{35\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Lösung 6.3

Zunächst muss die Länge der fehlenden Seite $c$ berechnet werden.

$a=150\,\text{mm}-80\,\text{mm}-40\,\text{mm}=30\,\text{mm}$

$b=120\,\text{mm}-30\,\text{mm}-70\,\text{mm}=20\,\text{mm}$

Mit dem Satz des Pythagoras folgt:

$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& a^2+b^2 \\[5pt] c^2&=& (30\,\text{mm})^2+(20\,\text{mm})^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,} \\[5pt] c&=& \sqrt{(30\,\text{mm})^2+(20\,\text{mm})^2} \\[5pt] c&\approx& 36\,\text{mm} \end{array}$

Damit folgt für die Gesamtlänge der Kanten der Schnittfläche:

Rechenweg anzeigen

$\underline{\underline{526\,\text{mm}}}$

Die Fläche kann beispielsweise wie in der Skizze in Teilflächen unterteilt werden.

$\begin{array}[t]{rll} A_{R_1}&=& 150\,\text{mm}\cdot 30\,\text{mm} \\[5pt] &=& 4\,500\,\text{mm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{R_2}&=& (70\,\text{mm}+20\,\text{mm})\cdot 40\,\text{mm} \\[5pt] &=& 3\,600\,\text{mm}^2 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} A_{D}&=& \dfrac{1}{2}\cdot 30\,\text{mm}\cdot 20\,\text{mm} \\[5pt] &=& 300\,\text{mm}^2 \end{array}$

Damit ergibt sich die Gesamtfläche zu:

$\begin{array}[t]{rll} A&=& A_{R_1}+A_{R_2}+A_D \\[5pt] &=& 4\,500\,\text{mm}^2+3\,600\,\text{mm}^2+300\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& \underline{\underline{8\,400\,\text{mm}^2}} \end{array}$

Zunächst muss das Volumen des Stahlträgers berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} V&=& \dfrac{m}{\rho} \\[5pt] &=&\dfrac{170\,\text{t}}{7,85\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} \\[5pt] &=&\dfrac{170\,000\,000\,\text{g}}{7,85\frac{\text{g}}{\text{cm}^3}} \\[5pt] &\approx& 21\,656\,051\,\text{cm}^3 \end{array}$

Damit lässt sich nun die Höhe $h$ des Stahlträgers berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} 2\,800\,\text{cm}^2\cdot h&=& 21\,656\,051\,\text{cm}^3 \quad \scriptsize \mid\; :2\,800\,\text{cm}^2 \\[5pt] h&\approx& 7\,734,3\,\text{cm} \\[5pt] h&\approx& 77,3\,\text{m} \end{array}$

Die kürzeste Transportstrecke kann daher nicht genutzt werden.

Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!

monatlich kündbarSchulLV-PLUS-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?