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Pflichtaufgaben

Aufgaben
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Aufgabe 1

Die Mehrwertsteuer ist eine in Deutschland und anderen Ländern für alle Güter und Dienstleistungen zu zahlende Steuer.
Die Tabelle zeigt den jeweils gültigen Mehrwertsteuersatz für ausgewählte Länder im Jahr 2016.
LandMehrwertsteuersatz
Dänemark$25\,\%$
Deutschland$19\,\%$
Luxemburg$17\,\%$
Ungarn$27\,\%$
Niederlande
LandMehrwert-steuersatz
Dänemark$25\,\%$
Deutschland$19\,\%$
Luxemburg$17\,\%$
Ungarn$27\,\%$
Niederlande
a)
Der Nettopreis einer Uhr beträgt $78,00\,€.$
Berechne den Bruttopreis dieser Uhr in Deutschland.
b)
Eine Jeans kann man in Ungarn zu einem Bruttopreis von $59,00\,€$ im Laden kaufen.
Berechne den Nettopreis dieser Jeans.
c)
Der Nettopreis einer Kamera beträgt $137,00\,€.$ Diese wird in den Niederlanden für einen Bruttopreis von $165,77\,€$ verkauft.
Ermittel den Mehrwertsteuersatz für die Niederlande.
(6 BE)
#mehrwertsteuer

Aufgabe 2

Aus einem quadratischen Blatt Papier mit der Seitenlänge $a=9,0\,\text{cm}$ wird durch Falten und Schneiden ein Stern mit fünf Spitzen hergestellt.
Der Stern besteht aus zehn zueinander kongruenten Dreiecken (siehe Abbildung).
Abb. 1: nicht maßstäblich
Abb. 1: nicht maßstäblich
a)
Berechne den Abstand $d.$
b)
Berechne den Flächeninhalt des Sterns.
c)
Berechne den Papierabfall bei der Herstellung eines Sterns in Prozent.
(7 BE)
#kongruenz#dreieck

Aufgabe 3

a)
Gegeben ist der folgende Term.
$2a(2a-5) -(10a-25)$
Löse die Klammern auf und fasse dn Term so weit wie möglich zusammen.
b)
Löse die quadratische Gleichung und führe die Probe durch.
$2x^2+6x-5,5=8$
c)
Gegeben ist eine weitere quadratische Gleichung $x^2+4x+q=0.$
Gib den Wert für $q$ so an, dass die Gleichung genau eine Lösung hat.
(6 BE)
#quadratischegleichung#termevereinfachen#klammerausmultiplizieren

Aufgabe 4

Anna und Beate spielen mit zwei unterschiedlichen Würfeln gegeneinander. Jede Seitenfläche eines Würfels hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden.
Auf jeder Seitenfläche ist eine Zahl abgebildet (siehe Würfelnetze).
Abb. 3: Beates Würfel
Abb. 3: Beates Würfel
Zuerst würfelt Anna einmal danach Beate einmal. Es interessiert die jeweils oben liegende Zahl.
Dieses Würfelspiel ist ein zweistufiges Zufallsexperiment.
a)
Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschrift alle Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.
b)
Gib die Ergebnismenge des Zufallsexperiments an.
c)
Es gewinnt diejenige, die die größere Zahl würfelt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Anna gewinnt gegen Beate“.
(5 BE)
#ergebnismenge#baumdiagramm

Aufgabe 5

Gegeben ist eine quadratische Pyramide $ABCDS$ mit der Grundkantenlänge $\overline{AB}= a = 24\,\text{mm}$ und der Höhe $h =30\,\text{mm}.$
a)
Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ im Maßstab $2:1.$
b)
Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide.
(6 BE)
#pyramide
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Bruttopreis berechnen
$:100$
$\begin{array}{rrcll} &78,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] &0,78\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] &92,82\,€&\mathrel{\widehat{=}}&119\,\%& \end{array}$
$:100$
$\cdot 119$
$\cdot 119$
$ 92,82\,€\mathrel{\widehat{=}} 119\,\% $
Der Bruttopreis der Uhr beträgt in Deutschland $92,82\,€.$
b)
$\blacktriangleright$  Nettopreis berechnen
$:127$
$\begin{array}{rrcll} &59,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 127\,\%\\[5pt] &0,4646\,€&\mathrel{\widehat{=}}&1\,\%\\[5pt] &46,46\,€&\mathrel{\widehat{=}}&100\,\%& \end{array}$
$:127$
$\cdot 100$
$\cdot 100$
$ 46,46\,€\mathrel{\widehat{=}} 100\,\% $
Der Nettopreis der Jeans beträgt $46,46\,€.$
c)
$\blacktriangleright$  Mehrwertsteuerstaz berechnen
$:137$
$\begin{array}{rrcll} &137,00\,€&\mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] &1\,€&\mathrel{\widehat{=}}&0,7299\,\%\\[5pt] &165,77\,€&\mathrel{\widehat{=}}&121,00\,\%& \end{array}$
$:137$
$\cdot 165,77$
$\cdot 165,77$
$ 165,77\,€\mathrel{\widehat{=}}121,00\,\% $
Der Mehrwertsteuersatz beträgt in den Niederlanden ca. $21\,\%.$
#dreisatz

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Abstand $\boldsymbol{d}$ berechnen
Da der Stern regelmäßig ist, muss $\alpha$ ein fünftel eines gesamten Kreises mit $360^{\circ}$ ausmachen:
$\alpha = \frac{360^{\circ}}{5} = 72^{\circ} $
Die beiden an $\alpha$ angrenzenden Seiten, die zusammen mit $d$ ein Dreieck bilden, sind gleich lang und besitzen folgende Länge:
$b= \frac{a}{2} = \frac{9\,\text{cm}}{2} = 4,5\,\text{cm}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& \frac{a}{2} \\[5pt] &=& \frac{9\,\text{cm}}{2} \\[5pt] &=& 4,5\,\text{cm} \end{array}$
Mit dem Kosinussatz ergibt sich dann für $d:$
$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& b^2+b^2 + 2\cdot b\cdot b\cdot \cos \alpha \\[5pt] d^2&=& (4,5\,\text{cm})^2+(4,5\,\text{cm})^2 + 2\cdot 4,5\,\text{cm}\cdot 4,5\,\text{cm}\cdot \cos 72^{\circ} \\[5pt] d^2&\approx& 27,98\,\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] d&\approx& 5,29\,\text{cm} \end{array}$
$ d\approx 5,29\,\text{cm} $
Der Abstand $d$ beträgt ca. $d\approx 5,29\,\text{cm}.$
b)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt des Sterns berechnen
Der Stern besteht aus zehn kongruenten Dreiecken mit den Seitenlängen $b = 4,5\,\text{cm}$ und $c = 2,4\,\text{cm}.$ Der Winkel, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen ist, ist halb so groß wie $\alpha,$ also $\alpha_1 = 36^{\circ}.$
Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks in Abhängigkeit eines Winkels folgt:
$\begin{array}[t]{rll} A_1&=& \frac{1}{2}\cdot b\cdot c \cdot \sin \alpha_1 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 4,5\,\text{cm}\cdot 2,4\,\text{cm} \cdot \sin 36^{\circ}\\[5pt] &\approx& 3,17\,\text{cm}^2 \end{array}$
$ A_1 \approx 3,17\,\text{cm}^2 $
Der Gesamtflächeninhalt des Sterns ist dann:
$A= 10\cdot 3,17\,\text{cm} ^2= 31,7\,\text{cm}^2$
$\begin{array}[t]{rll} A&=& 10\cdot 3,17\,\text{cm} ^2 \\[5pt] &=& 31,7\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Flächeninhalt des Sterns beträgt ca. $31,7\,\text{cm}^2.$
c)
$\blacktriangleright$  Papierabfall berechnen
Der Stern wird aus einem quadratischen Blatt Papier mit der Seitenlänge $a= 9\,\text{cm}$ ausgeschnitten. Der Flächeninhalt des Blatt Papiers kann mit der Formel für den Flächeninhalt eines Quadrats berechnet werden:
$\begin{array}[t]{rll} A_q&=& 9\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=&81\,\text{cm}^2 \end{array}$
Davon werden $31,7\,\text{cm}^2$ für den Stern benötigt, übrig bleibt also:
$81\,\text{cm}^2 -31,7\,\text{cm}^2 = 49,3\,\text{cm}^2.$
$\begin{array}[t]{rll} & 81\,\text{cm}^2 -31,7\,\text{cm}^2 \\[5pt] =&49,3\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{49,3\,\text{cm}^2}{81\,\text{cm}^2}&\approx& 0,6086 \\[5pt] &=&60,86\,\% \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} &\dfrac{49,3\,\text{cm}^2}{81\,\text{cm}^2}\\[5pt] \approx& 0,6086 \\[5pt] =&60,86\,\% \end{array}$
Es bleiben ca. $60,86\,\%$ Abfall übrig.
#kosinussatz

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Term zusammenfassen
$\begin{array}[t]{rll} 2a(2a-5) -(10a-25)&=& 2a\cdot 2a + 2a\cdot(-5) -10a +25 \\[5pt] &=& 4a^2 -10a -10a +25 \\[5pt] &=& 4a^2 -20a +25 \end{array}$
$ 4a^2 -20a +25 $
b)
$\blacktriangleright$  Quadratische Gleichung lösen
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+6x-5,5&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] 2x^2+6x-13,5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x^2+3x-6,75&=&0 &\quad \scriptsize \mid\; pq\text{-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 - (-6,75)} \\[5pt] &=& -1,5\pm\sqrt{2,25 + 6,75} \\[5pt] &=& -1,5\pm\sqrt{9} \\[5pt] x_1&=& -1,5 - 3 \\[5pt] &=&-4,5 \\[5pt] x_2&=& -1,5 + 3 \\[5pt] &=& 1,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=& -4,5 \\[5pt] x_2&=& 1,5 \end{array}$
$\blacktriangleright$  Probe durchführen
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot (-4,5)^2+6\cdot (-4,5)-5,5&=& 8 \\[5pt] 40,5 -27 -5,5&=&8 \\[5pt] 8&=&8 \end{array}$
$ 8=8 $
$\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 1,5^2+6\cdot 1,5-5,5&=& 8 \\[5pt] 4,5 +9 -5,5&=&8 \\[5pt] 8&=&8 \end{array}$
$ 8=8 $
Die lösungen der quadratischen Gleichung sind also $x_1 = -4,5$ und $x_2 = 1,5.$
c)
$\blacktriangleright$  Wert angeben
Die Gleichung besitzt genau eine Lösung, wenn der Radikand unter der Wurzel beim Einsetzen in die $pq$-Formel $0$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} \left( \frac{4}{2}\right)^2 -q&=& 0 \\[5pt] 4-q&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+q \\[5pt] 4&=&q \end{array}$
$ 4= q$
Für $q=4$ besitzt die Gleichung also genau eine Lösung.
#pq-formel

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Abb. 1: Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
b)
$\blacktriangleright$  Ergebnismenge angeben
Die Ergebnismenge kann aus dem Baumdiagramm abgelesen werden.
$\Omega = \{2-3,2-8,4-3,4-8,9-3,9-8\}$
$ \Omega= … $
c)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit ermitteln
Anna gewinnt gegen Beate, wenn sie ien größere Zahl würfelt als Beate. Nach den Pfadregeln und dem Baumdiagramm folgt:
$\begin{array}[t]{rll} P(\text{„Anna gewinnt“})&=& P(4-3)+ P(9-3)+ P(9-8) \\[5pt] &=&\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}+ \frac{1}{3}\cdot \frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{2}{3} \\[5pt] &\approx& 0,6667 \\[5pt] &=& 66,67\,\% \end{array}$
$ P \approx 66,67\,\% $
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $66,67\,\%$ gewinnt Anna gegen Beate.
#pfadregeln

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Schrägbild zeichnen
Eine Umrechnung des Maßstabs liefert für die Grundkantenlänge $a:$
$\cdot 24$
$\begin{array}{rrcll} &2\,\text{mm in der Zeichnung} &\mathrel{\widehat{=}}&1\,\text{mm in der Realität}\\[5pt] &48\,\text{mm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&24\,\text{mm in der Realität}\\[5pt] \end{array}$
$\cdot 24$
$ 48\,\text{mm }\mathrel{\widehat{=}}24\,\text{mm} $
Eine Umrechnung des Maßstabs liefert für die Höhe $h:$
$\cdot 30$
$\begin{array}{rrcll} &2\,\text{mm in der Zeichnung} &\mathrel{\widehat{=}}&1\,\text{mm in der Realität}\\[5pt] &60\,\text{mm in der Zeichnung}&\mathrel{\widehat{=}}&30\,\text{mm in der Realität}\\[5pt] \end{array}$
$\cdot 30$
$ 60\,\text{mm}\mathrel{\widehat{=}}30\,\text{mm} $
Abb. 2: Schrägbild $ABCDS$
Abb. 2: Schrägbild $ABCDS$
b)
$\blacktriangleright$  Oberflächeninhalt berechnen
1. Schritt: Höhe der Seitenflächen berechnen
Abb. 3: Skizze
Abb. 3: Skizze
2. Schritt: Flächeninhalt der Seitenflächen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_S&=& \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\\[5pt] &\approx& \frac{1}{2}\cdot 24\,\text{mm}\cdot 32,31\,\text{mm} \\[5pt] &=& 387,72\,\text{mm}^2 \end{array}$
$ A_S\approx 387,72\,\text{mm}^2 $
3. Schritt: Flächeninhalt der Grundfläche berechnen
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& a^2 \\[5pt] &=& 24\,\text{mm}\cdot 24\,\text{mm}\\[5pt] &=&576\,\text{mm}^2 \end{array}$
$ A_G=576\,\text{mm}^2 $
4. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
Die Oberfläche der Pyramide setzt sich zusammen aus den vier gleichgroßen Dreiecken der Seitenflächen und der quadratischen Grundfläche:
$\begin{array}[t]{rll} A_O&\approx& 4\cdot 387,72\,\text{mm}^2+576\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=&2.126,88\,\text{mm}^2 \end{array}$
$ A_O\approx 2.126,88\,\text{mm}^2 $
Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt ca. $2.126,88\,\text{mm}^2.$
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