Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Die Mehrwertsteuer ist eine in Deutschland und anderen Ländern für alle Güter und Dienstleistungen zu zahlende Steuer.

Die Tabelle zeigt den jeweils gültigen Mehrwertsteuersatz für ausgewählte Länder im Jahr 2016.

Land	Mehrwertsteuersatz
Dänemark	$25\,\%$
Deutschland	$19\,\%$
Luxemburg	$17\,\%$
Ungarn	$27\,\%$
Niederlande

Der Nettopreis einer Uhr beträgt $78,00\,€.$
Berechne den Bruttopreis dieser Uhr in Deutschland.

Eine Jeans kann man in Ungarn zu einem Bruttopreis von $59,00\,€$ im Laden kaufen.
Berechne den Nettopreis dieser Jeans.

Der Nettopreis einer Kamera beträgt $137,00\,€.$ Diese wird in den Niederlanden für einen Bruttopreis von $165,77\,€$ verkauft.
Ermittle den Mehrwertsteuersatz für die Niederlande.

Für Aufgabe 1 erreichbare BE: 6

Aufgabe 2

Aus einem quadratischen Blatt Papier mit der Seitenlänge $a=9,0\,\text{cm}$ wird durch Falten und Schneiden ein Stern mit fünf Spitzen hergestellt.

Der Stern besteht aus zehn zueinander kongruenten Dreiecken (siehe Abbildungen).

Abbildung (nicht maßstäblich)

Berechne den Abstand $d.$

Berechne den Flächeninhalt des Sterns.

Berechne den Papierabfall bei der Herstellung eines Sterns in Prozent.

Für Aufgabe 2 erreichbare BE: 7

Aufgabe 3

Gegeben ist der folgende Term.

$2a(2a-5) -(10a-25)$

Löse die Klammern auf und fasse den Term so weit wie möglich zusammen.

Löse die quadratische Gleichung und führe die Probe durch.

$2x^2+6x-5,5=8$

Gegeben ist eine weitere quadratische Gleichung $x^2+4x+q=0.$
Gib den Wert für $q$ so an, dass die Gleichung genau eine Lösung hat.

Für Aufgabe 3 erreichbare BE: 6

Aufgabe 4

Anna und Bea spielen mit zwei unterschiedlichen Würfeln gegeneinander.
Jede Seitenfläche eines Würfels hat die gleiche Wahrscheinlichkeit gewürfelt zu werden.
Auf jeder Seitenfläche ist eine Zahl abgebildet (siehe Würfelnetze).

Annas Würfel

Beas Würfel

Zuerst würfelt Anna einmal danach Bea einmal. Es interessiert die jeweils oben liegende Zahl.
Dieses Würfelspiel ist ein zweistufiges Zufallsexperiment.

Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschrifte alle Pfade mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten.

Gib die Ergebnismenge des Zufallsexperiments an.

Es gewinnt diejenige, die die größere Zahl würfelt.
Ermittle die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis „Anna gewinnt gegen Bea“.

Für Aufgabe 4 erreichbare BE: 6

Aufgabe 5

Gegeben ist eine quadratische Pyramide $ABCDS$ mit der Grundkantenlänge $\overline{AB}=a=24\,\text{mm}$ und der Höhe $h =30\,\text{mm}.$

Zeichne das Schrägbild der Pyramide $ABCDS$ im Maßstab 2:1.

Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide.

Für Aufgabe 5 erreichbare BE: 6

Lösung 1

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 119$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 78\,€\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{78}{100}\,€\\[5pt] 119\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{78}{100}\cdot 119\,€ \end{array}$

$:100$

$\cdot 119$

$119\,\% \mathrel{\widehat{=}}\underline{\underline{ 92,82\,€}}$

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{119\,\%}&=&\dfrac{78\,€}{100\,\%} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 119\,\% \\[5pt] x&=&\dfrac{78\,€}{100\,\%}\cdot 119\,\% \\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 92,82\,€}} \end{array}$

Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] W&=&\dfrac{78\,€\cdot 119}{100} \\[5pt] W&=&\underline{\underline{ 92,82\,€}} \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$78\,€\cdot 1,19=\underline{\underline{ 92,82\,€}}$

Der Bruttopreis der Uhr beträgt $92,82\,€.$

Der Nettopreis der Jeans kann wieder über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch berechnet werden.

Beispielhafter Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{W\cdot 100}{p} \\[5pt] G&=&\dfrac{59\,€ \cdot 100}{127} \\[5pt] G&\approx&\underline{\underline{ 46,46\,€}} \end{array}$

Der Nettopreis der Jeans beträgt $46,46\,€.$

Auch hier kann der Mehrwertsteuersatz über den Dreisatz, die Verhältnisgleichung, die Prozentformel oder den Dezimalbruch ermittelt werden.

Beispielhafter Lösungsweg über den Dreisatz

$:137$

$\cdot 165,77$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 137\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& 100\,\%\\[5pt] 1\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{137}\,\%\\[5pt] 165,77\,€ & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{100}{137}\cdot 165,77\,\%\\[5pt] \end{array}$

$:137$

$\cdot 165,77$

$165,77\,€ \mathrel{\widehat{=}}121\,\%$

Daraus folgt: $121\,\%-100\,\%=\underline{\underline{ 21\,\%}}$

Der Mehrwertsteuersatz der Niederlande beträgt $21\,\%.$

Lösung 2

Die Winkelgröße von $\alpha$ beträgt $\alpha=360^\circ:5=72^\circ.$

Die Seitenlänge $b$ beträgt $b=\dfrac{a}{2}=\dfrac{9,0\,\text{cm}}{2}=4,5\,\text{cm}.$

Daraus folgt mit dem Kosinussatz:

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos\alpha \quad\quad\quad\quad \quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] d&=&\sqrt{b^2+b^2-2\cdot b\cdot b\cdot \cos\alpha} \\[5pt] d&=&\sqrt{4,5^2+4,5^2-2\cdot 4,5\cdot 4,5\cdot \cos72^\circ} \\[5pt] d&\approx &\underline{\underline{ 5,3}} \end{array}$

Der Abstand beträgt etwa $5,3\,\text{cm}.$

Die Winkelgröße von $\beta$ beträgt $\beta=\alpha:2=36^\circ.$

Flächeninhalt des Dreiecks $MDC$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_{MDC}&=&\dfrac{1}{2}\cdot b\cdot c\cdot \sin\beta \\[5pt] A_{MDC}&=&\dfrac{1}{2}\cdot 4,5\,\text{cm}\cdot 2,4\,\text{cm}\cdot \sin36^\circ \\[5pt] A_{MDC}&\approx&3,174\,\text{cm}^2 \end{array}$

Flächeninhalt des Sterns berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A&=&10\cdot A_{MDC} \\[5pt] A&=&10\cdot 3,174\,\text{cm}^2 \\[5pt] A&=&\underline{\underline{ 31,74\,\text{cm}^2}} \end{array}$

Der Flächeninhalt des Sterns beträgt $31,74\,\text{cm}^2.$

Der Flächeninhalt des Papiers beträgt $9\,\text{cm}\cdot 9\,\text{cm}=81\,\text{cm}^2.$

Der Papierabfall beträgt $81\,\text{cm}^2-31,74\,\text{cm}^2=49,26\,\text{cm}^2.$

Daraus folgt:

$\dfrac{49,26\,\text{cm}^2}{81\,\text{cm}^2}\approx 0,608=\underline{\underline{ 60,8\,\%}}$

Der Papierabfall bei der Herstellung eines Sterns beträgt etwa $60,8\,\%.$

Lösung 3

$\begin{array}[t]{lll} 2a(2a-5)-(10a-25) \\[5pt] = 4a^2-10a-10a+25 \\[5pt] = \underline{\underline{4a^2-20a+25}} \end{array}$

Quadratische Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+6x-5,5&=&8 & \quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] 2x^2+6x-13,5&=&0 & \quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x^2+3x-6,75&=&0 \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=&-\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{3}{2}\right)^2-(-6,75)} \\[5pt] x_{1,2}&=&-1,5\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+6,75} \\[5pt] x_{1,2}&=&-1,5\pm\sqrt{9} \\[5pt] x_{1}&=&-1,5+3=\underline{\underline{ 1,5}}\\[5pt] x_{2}&=&-1,5-3=\underline{\underline{ -4,5}} \end{array}$

Probe für $x_1$ durchführen

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+6x-5,5&=& 8\\[5pt] 2\cdot 1,5^2+6\cdot 1,5-5,5&=& 8&\quad \scriptsize ? \\[5pt] 8&=& 8&\quad \scriptsize \text{wahr} \\[5pt] \end{array}$

Probe für $x_2$ durchführen

$\begin{array}[t]{rll} 2x^2+6x-5,5&=& 8\\[5pt] 2\cdot (-4,5)^2+6\cdot (-4,5)-5,5&=& 8&\quad \scriptsize ? \\[5pt] 8&=& 8&\quad \scriptsize \text{wahr} \\[5pt] \end{array}$

Die quadratische Gleichung hat die Lösungen $x_1=1,5$ und $x_2=-4,5.$

$\begin{array}[t]{rll} x^2+4x+q&=&0 \\[5pt] x_{1,2}&=&-\dfrac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-q} \\[5pt] x_{1,2}&=&-2\pm\sqrt{4-q} \\[5pt] \end{array}$

Damit die Gleichung genau eine Lösung hat, muss unter der Wurzel eine Null stehen:

$\begin{array}[t]{rll} 4-q&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;+q \\[5pt] q&=&\underline{\underline{ 4}} & \\[5pt] \end{array}$

Wenn gilt $q=4,$ dann steht unter der Wurzel eine Null und die Gleichung hat genau eine Lösung.

Lösung 4

Wahrscheinlichkeiten bei Annas Würfel:

$P(2)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$P(4)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$P(9)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

Wahrscheinlichkeiten bei Beas Würfel:

$P(3)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$
$P(8)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

Mit diesen Wahrscheinlichkeiten kann das Baumdiagramm gezeichnet werden:

$\underline{\underline{ \{(2;3);\,(2;8);\,(4;3);\,(4;8);\,(9;3);\,(9;8)\}}}$

Anna gewinnt bei folgenden Ergebnissen: $(4;3),\,(9;3)$ und $(9;8)$

Daraus folgt:

$\begin{array}[t]{lll} P(4;3)+P(9;3)+P(9;8) \\[5pt] =\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{2}{3} \\[5pt] =\underline{\underline{ \dfrac{4}{9}}} \approx \underline{\underline{0,444}} =\underline{\underline{ 44,4\,\%}} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass Anna gegen Bea gewinnt, beträgt etwa $44,4\,\%.$

Lösung 5

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 2:1
$24\,\text{mm}$	$24\,\text{mm}\cdot 2=48\,\text{mm}=4,8\,\text{cm}$
$30\,\text{mm}$	$30\,\text{mm}\cdot 2=60\,\text{mm}=6,0\,\text{cm}$

Mit diesen Angaben lässt sich die quadratische Pyramide zeichnen:

Grundflächeninhalt $A_G$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& a\cdot a \\[5pt] A_G&=& 24\,\text{mm}\cdot 24\,\text{mm} \\[5pt] A_G&=& 576\,\text{mm}^2 \end{array}$

Seitenlänge von $s$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} s^2&=& \left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] s&=& \sqrt{\left(\dfrac{a}{2}\right)^2+h^2} \\[5pt] s&=& \sqrt{\left(\dfrac{24\,\text{mm}}{2}\right)^2+(30\,\text{mm})^2} \\[5pt] s&=& \sqrt{(12\,\text{mm})^2+(30\,\text{mm})^2} \\[5pt] s&\approx& 32,3\,\text{mm} \end{array}$

Flächeninhalt einer Seitenfläche berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_S&=&\dfrac{1}{2}\cdot a\cdot s \\[5pt] A_S&=&\dfrac{1}{2}\cdot 24\,\text{mm}\cdot 32,3\,\text{mm}\\[5pt] A_S&=&387,6\,\text{mm}^2 \end{array}$

Oberflächeninhalt der Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_O&=&A_G+4\cdot A_S \\[5pt] A_O&=&576\,\text{mm}^2 +4\cdot 387,6\,\text{mm}^2 \\[5pt] A_O&=&\underline{\underline{ 2\,126,4\,\text{mm}^2}} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt der Pyramide beträgt etwa $2\,126,4\,\text{mm}^2.$