Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Ein Schausteller bietet das Spiel "Würfelbude" an.

Pro Versuch wirft ein Spieler drei unterscheidbare Würfel. Bei jedem Würfel ist das Werfen der Augenzahlen $1$ bis $6$ gleichwahrscheinlich.
Es interessiert jeweils nur, ob die Augenzahl $6$ oben liegt oder nicht.

Zeichne für dieses dreistufige Zufallsexperiment ein Baumdiagramm.
Trage die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten ein.

Die Zufallsgröße $X$ ordnet jedem Ergebnis des Zufallsexperimentes den Auszahlungsbetrag in Euro zu (siehe Abbildung).

Gib an, welche Werte die Zufallsgröße $X$ annehmen kann.
Berechne die Wahrscheinlichkeit für jeden Wert der Zufallsgröße $X.$
Jeder Versuch kostet $1,50\,€$ .
Ermittle, wie viel Gewinn der Schausteller durchschnittlich pro Versuch erwarten kann.

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Eine Seniorengruppe und eine Familiengruppe treffen sich am Parkplatz $P.$

Abbildungen (nicht maßstäblich)

Beide Gruppen wandern zunächst vom Parkplatz $P$ direkt zum Rastplatz $R.$

Die Seniorengruppe wandert vom Rastplatz $R$ über den Aussichtspunkt $A$ zum Parkplatz $P.$
Die Familiengruppe wandert vom Rastplatz $R$ über den Spielplatz $S$ zum Parkplatz $P$ (siehe Abbildungen).

Die Teilstrecken werden als geradlinig angenommen.

Skizziere das Viereck $PARS$ und trage alle gegebenen Werte ein.

Berechne die Entfernung vom Rastplatz $R$ zum Aussichtspunkt $A.$

Berechne die Länge des Weges, den die Familiengruppe insgesamt zurücklegt.

Beide Gruppen wandern mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von $4\,\frac{\text{km}}{\text{h}}$ und möchten zeitgleich am Parkplatz $P$ zurück sein.
Ermittle, wie viele Minuten die Familiengruppe länger Pause machen kann.

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Herr Müller arbeitet in Chemnitz. Im Jahr 2019 erhielt er einen monatlichen Bruttolohn von $2\, 920,00\,€.$

Abgaben pro Monat im Jahr 2019
Steuern	Lohnsteuer und Solidaritäts- zuschlag	$417,26\,€$
Sozial- abgaben	Arbeitslosen- versicherung	$1,25\,\%$ vom Bruttolohn
	Rentenversicherung	$9,3\,\%$ vom Bruttolohn
	Krankenversicherung	$7,6\,\%$ vom Bruttolohn
	Pflegeversicherung	$2,025\,\%$ vom Bruttolohn

Berechne den monatlichen Nettolohn.

Stelle die Anteile für Steuern, Sozialabgaben und Nettolohn am Bruttolohn in einem Kreisdiagramm dar.

Herr Müller weiß, dass er 2018 bei gleichem Bruttolohn wie 2019 höhere Sozialabgaben zahlte.
Für das gesamte Jahr 2018 zahlte Herr Müller $525,60\,€$ Arbeitslosenversicherung, und der Beitrag für die Krankenversicherung betrug $8,4 \,\%$ vom Bruttolohn.

Berechne den Prozentsatz, der im Jahr 2018 für die Arbeitslosenversicherung galt.
Berechne, wie viel Euro Herr Müller insgesamt im Jahr 2019 für Arbeitslosenversicherung und Krankenversicherung weniger zahlte als im Jahr 2018.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

Lösung 6.1

Welche Werte kann die Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ annehmen?

Die Zufallsgröße $X$ kann die Werte $6\,€,$ $4\,€,$ $2\,€$ und $0\,€$ annehmen.

Wahrscheinlichkeit für jeden Wert der Zufallsgröße $\boldsymbol{X}$ berechnen

Wahrscheinlichkeit für $X=6\,€$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(6\,€)&=&\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6} \\[5pt] &=&\dfrac{1}{216} \\[5pt] &\approx&0,00463 \\[5pt] &=&\underline{\underline{ 0,463\,\%}} \end{array}$

Wahrscheinlichkeit für $X=4\,€$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(4\,€)&=& 3\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{5}{72} \\[5pt] &\approx& 0,06944 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 6,944 \,\% }} \end{array}$

Wahrscheinlichkeit für $X=2\,€$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(2\,€)&=& 3\cdot\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{5}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{25}{72} \\[5pt] &\approx& 0,34722 \\[5pt] &=& \underline{\underline{ 34,722 \,\% }} \end{array}$

Wahrscheinlichkeit für $X=0\,€$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} P(0\,€)&=&\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{5}{6} \\[5pt] &=& \dfrac{125}{216} \\[5pt] &\approx& 0,57870 \\[5pt] &=& \underline{\underline{57,870 \,\% }} \end{array}$

Wie viel Gewinn kann der Schausteller durchschnittlich pro Versuch erwarten?

$E(X)$ $=\dfrac{1}{216}\cdot 6\,€+\dfrac{5}{72}\cdot 4\,€+\dfrac{25}{72}\cdot 2\,€+\dfrac{125}{216}\cdot 0\,€$ $=1,00\,€$

Pro Versuch zahlt der Schausteller durchschnittlich $1,00\,€$ aus.

Da allerdings jeder Versuch $1,50\,€$ kostet, kann der Schausteller pro Versuch einen durchschnittlichen Gewinn von $1,50\,€-1,00\,€=\underline{\underline{ 0,50\,€}}$ erwarten.

Lösung 6.2

Satz des Pythagoras anwenden:

$\left(\overline{RP}\right)^2+\left(\overline{RA}\right)^2= \left(\overline{PA}\right)^2\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-\left(\overline{RP}\right)^2$

$\begin{array}[t]{rll} \left(\overline{RA}\right)^2&=& \left(\overline{PA}\right)^2-\left(\overline{RP}\right)^2&\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] \overline{RA}&=& \sqrt{\left(\overline{PA}\right)^2-\left(\overline{RP}\right)^2} \\[5pt] \overline{RA}&=& \sqrt{(7,5\,\text{km})^2-(3,6\,\text{km})^2} \\[5pt] \overline{RA}&\approx &\underline{\underline{6,6\,\text{km}}} \end{array}$

Die Entfernung vom Rastplatz $R$ zum Aussichtspunkt $A$ beträgt etwa $6,6\,\text{km}.$

Winkelgröße von $\alpha$ mit dem Sinussatz berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{RP}}{\sin\alpha}&=&\dfrac{\overline{SP}}{\sin\gamma} \\[5pt] \dfrac{\sin\alpha}{\overline{RP}}&=&\dfrac{\sin\gamma}{\overline{SP}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \overline{RP} \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{\sin\gamma}{\overline{SP}}\cdot \overline{RP} \\[5pt] \sin\alpha&=&\dfrac{\sin106^\circ}{6,5\,\text{km}}\cdot 3,6\,\text{km} \\[5pt] \sin\alpha&\approx&0,53239 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&\approx&32^\circ \end{array}$

Winkelgröße von $\beta$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \beta&=&180^\circ-\alpha-\gamma \\[5pt] \beta&=&180^\circ-32^\circ-106^\circ \\[5pt] \beta&=&42^\circ \end{array}$

Seitenlänge von $\overline{SR}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{SR}}{\sin\beta}&=&\dfrac{\overline{SP}}{\sin\gamma} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin\beta \\[5pt] \overline{SR}&=&\dfrac{\overline{SP}}{\sin\gamma} \cdot \sin\beta\\[5pt] \overline{SR}&=&\dfrac{6,5\,\text{km}}{\sin106^\circ} \cdot \sin42^\circ\\[5pt] \overline{SR}&\approx&\underline{\underline{ 4,5\,\text{km}}} \end{array}$

Weglänge der Familiengruppe berechnen

$\begin{array}[t]{Lll} \overline{PR}+\overline{SR}+\overline{SP} \\[5pt] =3,6\,\text{km}+4,5\,\text{km}+6,5\,\text{km} \\[5pt] =\underline{\underline{ 14,6\,\text{km} }} \end{array}$

Die Familiengruppe legt einen Weg von $14,6\,\text{km}$ zurück.

Wanderzeit der Familiengruppe berechnen

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot t \\[5pt] v\cdot t&=&s &\quad \scriptsize \mid\;:v \\[5pt] t&=&\dfrac{s}{v} \\[5pt] t&=&\dfrac{14,6\,\text{km}}{4\,\frac{\text{km}}{\text{h}}}\\[5pt] t&=&3,65\,\text{h}\\[5pt] t&=&3,65\cdot 60\,\text{min}\\[5pt] t&=&219\,\text{min} \end{array}$

Weglänge der Seniorengruppe berechnen

$\begin{array}[t]{Lll} \overline{PR}+\overline{RA}+\overline{PA} \\[5pt] =3,6\,\text{km}+6,6\,\text{km}+7,5\,\text{km} \\[5pt] =17,7\,\text{km} \end{array}$

Wanderzeit der Seniorengruppe berechnen

$\begin{array}[t]{rll} v&=&\dfrac{s}{t} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot t \\[5pt] v\cdot t&=&s &\quad \scriptsize \mid\;:v \\[5pt] t&=&\dfrac{s}{v} \\[5pt] t&=&\dfrac{17,7\,\text{km}}{4\,\frac{\text{km}}{\text{h}}}\\[5pt] t&=&4,425\,\text{h}\\[5pt] t&=&4,425\cdot 60\,\text{min}\\[5pt] t&=&265,5\,\text{min} \end{array}$

Längere Pausenzeit der Familiengruppe berechnen

$265,5\,\text{min}-219\,\text{min}=\underline{\underline{ 46,5\,\text{min}}}$

Die Familiengruppe kann gut $46\,\text{min}$ länger Pause machen.

Lösung 6.3

Abgabe für die Arbeitslosenversicherung

$\begin{array}[t]{lll} 1,25\,\%\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =0,0125\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =36,50\,€ \end{array}$

Abgabe für die Rentenversicherung

$\begin{array}[t]{lll} 9,3\,\%\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =0,093\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =271,56\,€ \end{array}$

Abgabe für die Krankenversicherung

$\begin{array}[t]{lll} 7,6\,\%\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =0,076\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =221,92\,€ \end{array}$

Abgabe für die Pflegeversicherung

$\begin{array}[t]{lll} 2,025\,\%\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =0,02025\cdot 2\, 920,00\,€ \\[5pt] =59,13\,€ \end{array}$

Nettolohn berechnen

$2\, 920,00\,€-417,26\,€ -36,50\,€-271,56\,€$ $-221,92\,€-59,13\,€ =\underline{\underline{ 1\,913,63\,€}}$

Herr Müllers monatlicher Nettolohn beträgt $1\,913,63\,€.$

Winkelgröße für das Segment „Steuern“ berechnen

$\dfrac{417,26\,€}{2\,920,00\,€}\cdot 360^\circ\approx 51^\circ$

Winkelgröße für das Segment „Sozialabgaben“ berechnen

$36,50\,€+271,56\,€+221,92\,€+59,13\,€$ $=589,11\,€$

Daraus folgt:

$\dfrac{589,11\,€}{2\,920,00\,€}\cdot 360^\circ\approx 73^\circ$

Winkelgröße für das Segment „Nettolohn“ berechnen

$\dfrac{1\,913,63\,€}{2\,920,00\,€}\cdot 360^\circ\approx 236^\circ$

Mit diesen Angaben kann das Kreisdiagramm erstellt werden:

Prozentsatz für die Arbeitslosenversicherung berechnen

Der Bruttolohn für das Jahr 2018 beträgt $12\cdot 2\,920,00\,€= 35\,040,00\,€.$

Daraus folgt:

$\dfrac{525,60\,€}{35\,040,00\,€}=0,015=\underline{\underline{ 1,5\,\%}}$

Im Jahr 2018 betrug der Prozentsatz für die Arbeitslosenversicherung $\underline{\underline{ 1,5\,\%}}.$

Wie viel Euro zahlte Herr Müller weniger?

Krankenversicherung für das Jahr 2018: $8,4\,\%\cdot 35\,040,00\,€=0,084\cdot 35\,040,00\,€$ $=2\,943,36\,€$

Krankenversicherung und Arbeitslosenversicherung für das Jahr 2018: $2\,943,36\,€+525,60\,€=3\,468,96\,€$

Krankenversicherung und Arbeitslosenversicherung für das Jahr 2019: $12\cdot (221,92\,€+36,50\,€)=3\,101,04\,€$

Differenz zwischen 2019 und 2018: $3\,468,96\,€-3\,101,04\,€=\underline{\underline{ 367,92\,€}}$

Herr Müller zahlte im Jahr 2019 für die Arbeitslosen- und Krankenversicherung $367,92\,€$ weniger als im Jahr 2018.