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Wahlaufgaben

Aufgaben
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Wahlaufgabe 6.1

Körper
Abb. 1: nicht maßstäblich
Körper
Abb. 1: nicht maßstäblich
a)
Berechne, wie viel Quadratmeter Glas zur Herstellung des Werbeträgers benötigt werden.
b)
Die Firma erstellt für die Herstellung, Lieferung und Montage des Werbeträgers einen Kostenvoranschlag.
Ermittle den Wert in Zelle F8.
c)
Von dem zylinderförmigen Sockel aus Beton sind bekannt:
  • Radius: $1,50\,\text{m}$
  • Masse: $12,2\,\text{t}$
  • Dichte von Beton: $2,3\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3}$
Berechne die Höhe des Sockels.
(8 BE)
#dichte#tabellenkalkulation#zylinder#prisma

Wahlaufgabe 6.2

Für ein Freizeitturnier werden zehn Mannschaften in zwei Gruppen $A$ und $B$ eingeteilt. Die Einteilung erfolgt durch Auslosen.
In einer Urne befinden sich fünf Lose $A$ und fünf Lose $B.$ Nacheinander wird für jede Mannschaft ein Los gezogen.
Das jeweils gezogene Los wird nicht zurückgelegt.
a)
Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass zuerst ein Los $A$ gezogen wird.
b)
Der Turnierleiter der Gruppen für die zwei Mannschaften „Superhelden“ und „Girlfriends“ ist ein zweistufiges Zufallsexperiment.
  • Zeichne zu diesem zweistufigen Zufallsexperiment ein Baumdiagramm und beschrifte alle Pfade mit ihren Wahrscheinlichkeiten.
  • Gib die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass für beide Mannschaften ein Los $A$ gezogen wird.
  • Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für beide Mannschaften verschiedene Gruppen ausgelost werden.
c)
In Gruppe $B$ spielt jede der fünf Mannschaften genau einmal gegen jede andere Mannschaft.
Ermittle, wie viele Spiele in der Gruppe $B$ insgesamt stattfinden müssen.
(8 BE)
#baumdiagramm

Aufgabe 6.3

Autofahrer sollten die Kosten für ihr Fahrzeug im Blick behalten.
a)
Herr Lesser betankt sein Fahrzeug immer vollständig. Im Monat September notiert er dafür die folgenden Daten:
Datum$\text{km}$-StandKraftstoff
MengeKosten
05.09.$62\,636$$54,6\,\text{Liter}$$70,98\,€$
12.09.$63\,070$$32,2\,\text{Liter}$$42,18\,€$
30.09.$63\,987$$66,1\,\text{Liter}$$88,56\,€$
  • Gib den Preis für einen Liter Kraftstoff am 05.09. an.
  • Berechne den durchschnittlichen Kraftstoffverbrauch pro hundert Kilometer vom 12.09. bis 30.09.
b)
An einer Tankstelle wurde am 15.10. der Preis für einen Liter Super-E10 fünfmal geändert.
Entscheide und begründe, welches der folgenden Diagramme die Preise an diesem Tag richtig darstellt.
Graph
Abb. 4: Diagramm B
Graph
Abb. 4: Diagramm B
c)
Frau Wetzel verdient monatlich $2.791,38\,€.$ Für ihr Auto hat sie die folgenden Kosten.
  • Kfz-steuer: $276,00\,€$ jährlich
  • Auto-Versicherung: $190,86\,€$ pro Quartal
  • Pflege- und Werkstattkosten sowie Kraftstoff: $360,00\,€$ je Monat
Berechne, wie viel Prozent ihres Einkommens auf die Kosten für das Auto entfallen.
(8 BE)
#prozent
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Wahlaufgabe 6.1

a)
$\blacktriangleright$  Menge des benötigten Glases berechnen
Die Anzahl der benötigten Quadratmeter an Glas erhältst du über die Oberfläche des Prismas.
1. Schritt: Flächeninhalt der Grund- und der Deckfläche berechnen
Die Grund- und die Deckfläche haben die Form eines gleichseitigen Dreiecks mit der Seitenlänge $a= 1,00\,\text{m}.$ Du kannst daher die Höhe $h_a$ des Dreicks zur Grundseite $a$ mit dem Satz des Pythagoras berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} h_a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2&=& a^2 \\[5pt] h_a^2 + \frac{a^2}{4}&=& a^2 &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{a^2}{4} \\[5pt] h_a^2 &=& \frac{3}{4}a^2 &\quad \scriptsize \mid\; a=1,00\,\text{m} \\[5pt] h_a^2 &=& \frac{3}{4}\cdot (1,00\,\text{m})^2 \\[5pt] h_a^2 &=& \frac{3}{4}\,\text{m} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,} \\[5pt] h_a &\approx& 0,87\,\text{m} \end{array}$
$ h_a\approx 0,87\,\text{m} $
Berechne nun den Flächeninhalt des Dreiecks:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Dreieck}} &=& \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_a \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 1,00\,\text{m} \cdot 0,87\,\text{m}\\[5pt] &\approx& 0,44\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ A_{\text{Dreieck}} \approx 0,44\,\text{m}^2$
Jede der dreieckigen Flächen hat also einen Flächeninhalt von ca. $0,44\,\text{m}^2.$
2. Schritt: Flächeninhalt der Seitenflächen berechnen
Alle drei Seitenflächen sind gleich groß. Es handelt sich um Rechtecke mit den Seitenlängen $a= 1,00\,\text{m}$ und $h_w = 3,00\,\text{m}.$
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{Rechteck}}&=& a\cdot h_w \\[5pt] &=& 1,00\,\text{m} \cdot 3,00\,\text{m} \\[5pt] &=& 3,00\,\text{m}^2 \end{array}$
3. Schritt: Gesamtbedarf berechnen
Die Oberfläche des Prismas setzt sich aus zwei der dreieckigen Flächen und drei der rechteckigen Flächen zusammen:
$\begin{array}[t]{rll} G &=& 2\cdot A_{\text{Dreieck}} + 3\cdot A_{\text{Rechteck}} \\[5pt] &=& 2\cdot 0,44\,\text{m}^2 + 3\cdot 3,00\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 9,88\,\text{m}^2 \\[5pt] \end{array}$
$ G= 9,88\,\text{m}^2 $
Es werden also ca. $9,88\,\text{m}^2$ Glas benötigt.
b)
$\blacktriangleright$  Wert der Zelle bestimmen
Der Wert in Zelle F8 gibt den Bruttobetrag des endgültigen Gesamtpreises an. Fülle also zunächst Spalte F auf, indem du den Gesamtpreis der Lohnkosten und den Gesamtpreis der Transportkosten berechnest:
$F4 = 47\cdot 43,50\,€ = 2.044,50\,€$
$F5 = 1\cdot 300,00\,€ = 300,00\,€$
In Zelle F6 wird der Nettobetrag des Gesamtpreises angegeben. Dieser ist die Summe der Zellen F3 bis F5:
$\begin{array}[t]{rll} F6 &=& F3 + F4 +F5 \\[5pt] &=& 838,95\,€ + 2.044,50\,€ + 300,00\,€ \\[5pt] &=& 3.183,45\,€ \end{array}$
$ F6= 3.183,45\,€$
In Zelle F7 steht die Mehrwertsteuer für den Gesamtpreis aus Zelle F6. Die Mehrwertsteuer sind $19\,\%$ des Betrags in Zelle $F6:$
$\begin{array}[t]{rll} F7 &=& 3.183,45\,€ \cdot \frac{19}{100} \\[5pt] &\approx& 604,86\,€ \\[5pt] \end{array}$
Der Wert in Zelle F8 gibt den Gesamtbruttobetrag an und ist daher die Summe aus Nettobetrag und Mehrwertsteuer:
$\begin{array}[t]{rll} F8&=& F6+ F7 \\[5pt] &=& 3.183,45\,€ +604,86\,€\\[5pt] &=& 3.788,31\,€ \end{array}$
Der Wert der Zelle F8 ist $3.788,31\,€.$
c)
$\blacktriangleright$  Höhe des Sockels berechnen
1. Schritt: Volumen berechnen
Mithilfe der angegebenen Dichte $\rho$ von Beton und der Masse $m$ kannst du das Volumen $V$ des Sockels berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \rho &=& \dfrac{m}{V} &\quad \scriptsize \mid\; m = 12,2\,\text{t}; \rho = 2,3\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} \\[5pt] 2,3\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} &=& \dfrac{12,2\,\text{t}}{V}&\quad \scriptsize \mid\; \cdot V\\[5pt] 2,3\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} \cdot V &=& 12,2\,\text{t} &\quad \scriptsize \mid\;:2,3\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} \\[5pt] V&=& \dfrac{12,2\,\text{t}}{2,3\,\frac{\text{t}}{\text{m}^3} } \\[5pt] V&=& \dfrac{12,2\,\text{t}}{2,3 }\cdot \frac{\text{m}^3}{\text{t}} \\[5pt] V &\approx& 5,30\,\text{m}^3 \end{array}$
$ V\approx 5,30\,\text{m}^3 $
2. Schritt: Höhe berechnen
Mithilfe des Volumens $V$ und des angegebenen Radius $r$ kannst du nun die Höhe $h$ des Zylinders berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] 5,30\,\text{m}^3 &=& \pi \cdot (1,50\,\text{m})^2\cdot h \\[5pt] 5,30\,\text{m}^3 &=& \pi \cdot 2,25\,\text{m}^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :( \pi\cdot 2,25\,\text{m}^2) \\[5pt] 0,75\,\text{m} &\approx& h \end{array}$
$ h\approx 0,75\,\text{m} $
Der Sockel ist ca. $0,75\,\text{m}$ hoch.
#rechteck#satzdespythagoras#dreieck

Wahlaufgabe 6.2

a)
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit angeben
Zuerst befinden sich insgesamt $10$ Lose in der Urne. Davon sind $5$ Lose $A.$
$\frac{5}{10} = 0,5 = 50\,\%$
Die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst ein Los $A$ gezogen wird, beträgt $50\,\%.$
b)
$\blacktriangleright$  Baumdiagramm zeichnen
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
Baumdiagramm
Abb. 1: Baumdiagramm
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeiten angeben
Die Wahrscheinlichkeit für den Pfad $A,A$ kannst du mit der Pfadmultiplikationsregel berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} P(A,A)&=& \frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9} \\[5pt] &=& \frac{2}{9} \\[10pt] \end{array}$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass für beide Mannschaften ein Los A gezogen wird, beträgt $\frac{2}{9}.$
$\blacktriangleright$  Wahrscheinlichkeit für verschiedene Gruppen ermitteln
Addiere die Wahrscheinlichkeiten der Pfade für $A,B$ und $B,A.$ Die Wahrscheinlichkeiten dieser Pfade ermittelst du wie oben mit der Pfadmultiplikationsregel:
$\begin{array}[t]{rll} P(A,B) + P(B,A)&=& \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9} + \frac{5}{10}\cdot \frac{5}{9} \\[5pt] &=& \frac{5}{9} \\[5pt] \end{array}$
$ P(A,B) + P(B,A) = \frac{5}{9}$
Mit einer Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{9}$ werden für beide Mannschaften verschiedene Gruppen ausgelost.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Spiele ermitteln
Betrachte die Spiele der einzelnen Mannschaften nacheinander. Die erste Mannschaft muss gegen alle vier übrigen Mannschaften spielen. Dies sind also $4$ Spiele.
Die zweite Mannschaft hat dann schon gegen die erste gespielt, muss dann also nur noch gegen drei Mannschaften spielen. Es kommen also $3$ Mannschaften hinzu.
Die dritte Mannschaft hat dann bereits gegen zwei Mannschaften gespielt und muss nur noch gegen zwei andere Mannschaften spielen, usw. . Insgesamt erhältst du:
$4+3+2+1 = 10$
In der Gruppe $B$ müssen insgesamt $10$ Spiele stattfinden, damit jede der fünf Mannschaften genau einmal gegen jede andere Mannschaft spielt.
#pfadregeln

Wahlaufgabe 6.3

a)
$\blacktriangleright$  Preis für einen Liter angeben
Am 05.09. hat Herr Lesser $70,98\,€$ für $54,6\,\text{Liter}$ Kraftstoff bezahlt:
$70,98\,€ : 54,6\,\text{Liter} = 1,3\,€\,\text{pro Liter}$
$ …=1,3\,€\,\text{pro Liter} $
Am 05.09. hat Herr Lesser $1,30\,€$ pro Liter Kraftstoff bezahlt.
$\blacktriangleright$  Durchschnittlichen Verbrauch berechnen
Am 12.09. betrug der Kilometerstand $63.070,$ am 30.09. betrug er $63.987.$
$63.987 -63.070 = 917 $
In der Zeit vom 12.09. bis 30.09. ist Herr Lesser also $917\,\text{km}$ mit seinem Auto gefahren.
Am 30.09. hat er $66,1\,\text{Liter}$ Kraftstoff getankt. Da er seinen Tank immer volltankt, hat er seit dem letzten Tag also $66,1\,\text{Liter}$ Kraftstoff verbraucht.
$\frac{66,1\,\text{Liter}}{917\,\text{km}} \approx 0,07 \,\frac{\text{Liter}}{\text{km}} = 7\,\frac{\text{Liter}}{100\,\text{km}}$
$ …\approx 7\,\frac{\text{Liter}}{100\,\text{km}} $
Vom 12.09. bis zum 30.09. betrug der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch pro hundert Kilometer ca. $7\,\text{Liter}.$
b)
$\blacktriangleright$  Diagramm zuordnen
Der Preis wird zwischendurch fünfmal geändert. Zwischen den Änderungen muss der Preis konstant gleich bleiben. In Diagramm A steigen oder fallen die Preise aber ständig. Es kann die Preise am 15.10. daher nicht richtig darstellen.
Das richtige Diagramm ist Diagramm B.
c)
$\blacktriangleright$  Prozentualen Anteil berechnen
Berechne zunächst, wie viele Kosten Frau Wetzel jeden Monat für die einzelnen Posten hat:
  • Für die Kfz-Steuer zahlt sie jährlich $276,00\,€.$
    $276,00\,€ : 12 = 23,00\,€$
    Für die Kfz-Steuer fallen im Schnitt also monatlich Kosten in Höhe von $23,00\,€$ an.
  • Für die Auto-Versicherung zahlt Frau Wetzel $190,86\,€$ pro Quartal, also alle drei Monate.
    $190,86\,€ : 3 = 63,62\,€$
    Im Schnitt fallen für die Auto-Versicherung also $63,62\,€$ pro Monat an.
  • Der letzte Posten ist bereits als monatlicher Betrag angegeben: $360,00\,€.$
Im Schnitt fallen pro Monat also folgende Gesamtkosten an:
$23,00\,€ + 63,62\,€ + 360,00\,€ = 446,62\,€$
$ …=446,62\,€ $
Pro Monat verdient Frau Wetzel $2.791,38\,€.$
$\frac{446,62\,€}{2.791,38\,€} \approx 0,16 = 16\,\%$
Etwa $16\,\%$ des Einkommens von Frau Wetzel entfallen auf die Kosten für das Auto.
Bildnachweise [nach oben]
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