Teil B – Pflichtaufgaben

Aufgabe 1

Die Münzen des Euroraumes bestehen aus verschiedenen Materialien (siehe Tabelle).

Berechne, wie viel Gramm Aluminium in einer 50-Cent-Münze enthalten sind.

In einer 5-Cent-Münze sind 3,70 g Eisen enthalten.
Berechne die Masse einer 5-Cent-Münze auf hundertstel Gramm genau.

Felix hat in seiner Sparbüchse Münzen gesammelt. Zum gesamten Inhalt der Sparbüchse hat er eine Tabelle angelegt.

Wert	Anzahl	Masse
10 Cent	$83$
20 Cent		$430,5\,\text{g}$
50 Cent
Gesamt		$1\,582,0\,\text{g}$

Übernimm die Tabelle und ergänze die fehlenden Werte.

Für Aufgabe 1 erreichbare BE: 6

Aufgabe 2

Gegeben sind zwei lineare Funktionen $f$ und $g.$
Die Funktion $f$ hat die Gleichung $y = f(x) = 2x + 3.$
Der Graph der Funktion $g$ verläuft durch die Punkte $A(-2|2)$ und $B(2|0).$

Zeichne die Graphen der Funktionen $f$ und $g$ in ein rechtwinkliges Koordinatensystem mindestens im Intervall $-3\leq x\leq2.$

Gib den Anstieg $m$ der Funktion $g$ an.

Der Graph einer weiteren Funktion $h$ entsteht durch Spiegelung des Graphen der Funktion $f$ an der $x$ -Achse.

Zeichne den Graphen der Funktion $h$ in dasselbe Koordinatensystem.
Gib die Funktionsgleichung der Funktion $h$ an.

Für Aufgabe 2 erreichbare BE: 6

Aufgabe 3

Eine Firma stellt Getriebe-Wellen her.

Bei jeder hergestellten Getriebe-Welle werden nacheinander Länge und Durchmesser kontrolliert. Jede der beiden Kontrollen wird mit „bestanden" oder „fehlerhaft" eingeschätzt.

Bei der Kontrolle der Längen sind erfahrungsgemäß 4 % der Getriebe-Wellen „fehlerhaft".
Bei der Kontrolle der Durchmesser sind erfahrungsgemäß 9 % der Getriebe-Wellen „fehlerhaft".
Das Kontrollverfahren kann als zweistufiges Zufallsexperiment betrachtet werden.

Zeichne für dieses Zufallsexperiment ein Baumdiagramm.
Beschrifte alle Pfade mit den Wahrscheinlichkeiten.

Eine Getriebe-Welle wird in beiden Kontrollen mit „bestanden" eingeschätzt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür.

Eine Getriebe-Welle wird bei genau einer der beiden Kontrollen mit „fehlerhaft" eingeschätzt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür.

Für Aufgabe 3 erreichbare BE: 6

Aufgabe 4

Piloten von Segelflugzeugen müssen zum Erwerb von Leistungsabzeichen Streckenflüge zurücklegen.
Eine Karte mit dem Start $S$ und den drei Wendepunkten $W_1,W_2,W_3$ ist in der Abbildung dargestellt.
Für die Berechnung werden alle Teilstrecken als geradlinig angenommen.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Ein Streckenflug führt vom Start $S$ über den Wendepunkt $W_1$ bis zum Wendepunkt $W_2$ und von dort direkt zurück zum Start $S.$

Berechne die Länge der Strecke $\overline{W_1W_2}.$
Berechne die Länge dieses Streckenfluges.

Andere Streckenflüge führen über den Wendepunkt $W_3$ .
Berechne, wie weit der Wendepunkt $W_3$ vom Start $S$ entfernt ist.

Für Aufgabe 4 erreichbare BE: 6

Aufgabe 5

Für das Verlegen von Versorgungsleitungen müssen Gräben ausgehoben werden.
Jeder Graben hat die Form eines Prismas mit trapezförmiger Grundfläche.
Die Maße der Grundfläche sind von der Bodenbeschaffenheit abhängig.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Ein Graben im lehmhaltigen Boden hat eine Tiefe von 1,20 m.
Die Sohlenbreite beträgt ebenfalls 1,20 m.
Die beiden Böschungswinkel sind jeweils 60° groß (siehe Abbildung).
Ermittle die Grabenbreite mithilfe einer Zeichnung im Maßstab 1:20.

Ein anderer Graben im sandigen Boden hat die folgenden Maße.
Sohlenbreite .......................... 1,50 m
Grabenbreite ......................... 2,90 m
Tiefe ...................................... 0,70 m
Länge des Grabens ............ 30,00 m
Berechne das Volumen des Aushubes für diesen Graben.

Für Aufgabe 5 erreichbare BE: 6

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Lösung 1

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 5$

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 7,80\,\text{g}\\[5pt] 1\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{7,80}{100}\,\text{g}\\[5pt] 5\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{7,80}{100}\cdot 5\,\text{g} \end{array}$

$:100$

$\cdot 5$

$5\,\% \mathrel{\widehat{=}} \underline{\underline{ 0,39\,\text{g}}}$

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{5\,\%}&=&\dfrac{7,80\,\text{g}}{100\,\%} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 5 \,\%\\[5pt] x&=&\dfrac{7,80\,\text{g}}{100\,\%}\cdot 5 \,\% \\[5pt] x&=&\underline{\underline{ 0,39\,\text{g}}} \end{array}$

Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} W&=&\dfrac{G\cdot p}{100} \\[5pt] W&=&\dfrac{7,80\,\text{g}\cdot 5}{100} \\[5pt] W&=&\underline{\underline{ 0,39\,\text{g}}} \end{array}$

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$7,80\,\text{g}\cdot 5\,\%=7,80\,\text{g}\cdot 0,05=\underline{\underline{ 0,39\,\text{g}}}$

In einer 50-Cent-Münze sind $0,39\,\text{g}$ Aluminium enthalten.

Eine 5-Cent-Münze besteht aus $94,35\,\%$ aus Eisen. Um die Masse berechnen zu können, muss der Grundwert berechnet werden:

Beispielhafter Lösungsweg über die Prozentformel

$\begin{array}[t]{rll} G&=&\dfrac{W\cdot 100}{p} \\[5pt] G&=&\dfrac{3,70\,\text{g}\cdot 100}{94,35} \\[5pt] G&=&\underline{\underline{ 3,92\,\text{g}}} \end{array}$

Die Masse einer 5-Cent-Münze beträgt $3,92\,\text{g}.$

Wert	Anzahl	Masse
10 Cent	$83$	$\boldsymbol{340,3\,\text{g}}$
20 Cent	$\boldsymbol{75}$	$430,5\,\text{g}$
50 Cent	$\boldsymbol{104}$	$\boldsymbol{811,2\,\text{g}}$
Gesamt	$\boldsymbol{262}$	$1\,582,0\,\text{g}$

Masse der 10-Cent-Münzen berechnen

$83\cdot 4,10\,\text{g}=\underline{\underline{ 340,3\,\text{g}}}$

Anzahl der 20-Cent-Münzen berechnen

$430,5\,\text{g}:5,74\,\text{g}=\underline{\underline{ 75}}$

Masse der 50-Cent-Münzen berechnen

$1\,582,0\,\text{g}-340,3\,\text{g}-430,5\,\text{g}=\underline{\underline{ 811,2\,\text{g}}}$

Anzahl der 50-Cent-Münzen berechnen

$811,2\,\text{g}:7,80\,\text{g}=\underline{\underline{ 104}}$

Gesamtanzahl der Münzen berechnen

$83+75+104=\underline{\underline{ 262}}$

Lösung 2

Um den Anstieg $m$ der Funktion $g$ anzugeben, wird ein Steigungsdreieck eingezeichnet:

Daraus folgt für den Anstieg: $m=\dfrac{-2}{4}=\underline{\underline{ -\dfrac{1}{2}}}$

Graphen der Funktion $\boldsymbol{h}$ zeichnen

Funktionsgleichung der Funktion $\boldsymbol{h}$ angeben

$\underline{\underline{ y=h(x)=-2x-3}}$

Lösung 3

f = „fehlerhaft“
b = „bestanden“

$P(b;b)= 0,96 \cdot 0,91=0,8736=\underline{\underline{ 87,36\,\%}}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Getriebe-Welle in beiden Kontrollen mit „bestanden" eingeschätzt wird, liegt bei $87,36\,\%.$

$\begin{array}[t]{rll} P(\text{1x f}) &=& P(f;b)+P(b;f) \\[5pt] &=& 0,04 \cdot 0,91+0,96 \cdot 0,09 \\[5pt] &=& 0,1228\\[5pt] &=& \underline{\underline{ 12,28\,\%}} \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Getriebe-Welle bei genau einer der beiden Kontrollen mit „fehlerhaft" eingeschätzt wird, liegt bei $12,28\,\%.$

Lösung 4

Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{W_1W_2}}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \cos(48,2^{\circ})&=& \dfrac{\overline{W_1W_2}}{\overline{SW_2}} \quad \scriptsize \mid\; \cdot \overline{SW_2} \\[5pt] \overline{W_1W_2}&=& \cos(48,2^{\circ}) \cdot \overline{SW_2} \\[5pt] \overline{W_1W_2}&=& \cos(48,2^{\circ}) \cdot 85,0\,\text{km} \\[5pt] \overline{W_1W_2}&\approx& \underline{\underline{ 56,66\,\text{km}}} \end{array}$

Die Länge der Strecke $\overline{W_1W_2}$ beträgt $56,66\,\text{km}.$

Länge des Streckenfluges berechnen

Satz des Pythagoras anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \overline{SW_2}^2&=& \overline{SW_1}^2 + \overline{W_1W_2}^2 \quad \scriptsize \mid\; -\overline{W_1W_2}^2 \\[5pt] \overline{SW_1}^2&=& \overline{SW_2}^2 - \overline{W_1W_2}^2 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\,\,\,} \\[5pt] \overline{SW_1}&=& \sqrt{\overline{SW_2}^2 - \overline{W_1W_2}^2} \\[5pt] \overline{SW_1}&=& \sqrt{(85,0\,\text{km})^2-(56,66\,\text{km})^2} \\[5pt] \overline{SW_1}&\approx& 63,36\,\text{km} \end{array}$

Daraus folgt für den gesamten Streckenflug:

$85,0\,\text{km} + 56,66\,\text{km} + 63,36\,\text{km}= \underline{\underline{ 205,02\,\text{km}}}$

Der gesamte Streckenflug hat eine Länge von $205,02\,\text{km}$ .

Größe des Winkels $\gamma$ berechnen

$\gamma=180^\circ-62,0^\circ-48,2^\circ=69,8^\circ$

Länge der Strecke $\overline{SW_3}$ berechnen

Sinussatz anwenden:

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\overline{SW_3}}{\sin48,2^\circ}&=& \dfrac{\overline{SW_2}}{\sin\gamma} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \sin48,2^\circ \\[5pt] \overline{SW_3}&=& \dfrac{\overline{SW_2}}{\sin\gamma}\cdot \sin48,2^\circ \\[5pt] \overline{SW_3}&=& \dfrac{85,0\,\text{km}}{\sin69,8^\circ}\cdot \sin48,2^\circ \\[5pt] \overline{SW_3}&\approx& \underline{\underline{ 67,5\,\text{km}}} \end{array}$

Der Wendepunkt $W_3$ ist $67,5\,\text{km}$ vom Start $S$ entfernt.

Lösung 5

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:20
$1,20\,\text{m}$	$1,20\,\text{m}:20=0,06\,\text{m}=6,0\,\text{cm}$

Bildlänge der Grabenbreite: $c\approx 13,0\,\text{cm}$

Originallänge der Grabenbreite: $20\cdot 13,0\,\text{cm}=260,0\,\text{cm}=\underline{\underline{ 2,60\,\text{m}}}$

Die Grabenbreite beträgt $2,60\,\text{m}.$

Grundflächeninhalt $A_G$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& \dfrac{a+c}{2}\cdot h\\[5pt] A_G&=& \dfrac{1,50\,\text{m}+2,90\,\text{m}}{2}\cdot 0,70\,\text{m}\\[5pt] A_G&=& 1,54\,\text{m}^2 \end{array}$

Volumen $V$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G\cdot \ell \\[5pt] V&=& 1,54\,\text{m}^2\cdot 30,00\,\text{m} \\[5pt] V&=& \underline{\underline{ 46,2\,\text{m}^3}} \end{array}$

Das Volumen des Aushubes beträgt $46,2\,\text{m}^3.$

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