Teil B – Wahlaufgaben

Wahlaufgabe 6.1

Erik arbeitet in einem Restaurant und hat für die Nachspeisen besondere Ideen.

Der Pudding soll die Form einer Pyramide mit rechteckiger Grundfläche haben. Dazu wird der noch flüssige Pudding in Formen gegossen (siehe Abbildung).

Abbildung nicht maßstäblich

Eine Pyramide hat die folgenden Maße.

Länge der Grundkante $a$ ............... $11,0\,\text{cm}$
Länge der Grundkante $b$ ................. $8,6\,\,\text{cm}$
Höhe $h$ der Pyramide ...................... $4,0\,\text{cm}$

Zeichne ein Schrägbild der Pyramide.

Für eine Party sollen $80$ Pyramiden aus Pudding gegossen werden.
Berechne, wie viel Liter Pudding dafür mindestens benötigt werden.

Alle Kanten der Pyramiden werden mit essbaren Bändern verziert.
Berechne, wie lang das Band für eine Pyramide mindestens sein muss.

Für Wahlaufgabe 6.1 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.2

Elektromobilität spielt in unserem Alltag eine immer größere Rolle.

Lukas überlegte im September 2022 sein Auto mit Dieselmotor durch ein Auto mit Elektromotor zu ersetzen.

Er fährt täglich auf seinem Arbeitsweg insgesamt $56 \,\text{km}$ mit dem Auto.
Er möchte dafür die entstehenden Kosten für Diesel bzw. elektrischen Strom vergleichen und nutzt die Werte aus der folgenden Tabelle.

Art des Motors	Verbrauch	Preis
Dieselmotor	$5$ Liter pro $100\,\text{km}$	$2,15 \,€$ pro Liter
Elektromotor	$20\,\text{kWh}$ pro $100\,\text{km}$	$0,42 \,€$ pro $\text{kWh}$

Berechne die täglichen Kosten für Diesel, wenn Lukas auf seinem Arbeitsweg das Auto mit Dieselmotor nutzt.
Berechne, um wie viel Prozent die täglichen Kosten für das Auto mit Elektromotor gegenüber dem Auto mit Dieselmotor günstiger sind.
Im September 2022 fuhr Lukas eine Strecke von $1\,500 \,\text{km}$ mit dem Auto mit Dieselmotor.
Berechne, wie viel Euro Lukas eingespart hätte, wenn er stattdessen ein Auto mit Elektromotor genutzt hätte.

Frieda ist mit ihrem Auto mit Elektromotor in den Urlaub gefahren. Der Akku war mit $72 \,\text{kWh}$ vollständig geladen.
Ihr Auto hat durchschnittlich $18 \,\text{kWh}$ auf einer Strecke von $100 \,\text{km}$ verbraucht.
Am Urlaubsort angekommen, zeigte der Akku einen Ladestand von $15 \,\%$ an.
Frieda hatte den Akku unterwegs nicht aufgeladen.
Ermittle die Länge der Strecke, die Frieda mit dem Auto zurückgelegt hat.

Für Wahlaufgabe 6.2 erreichbare BE: 8

Wahlaufgabe 6.3

Die achsensymmetrischen Spitzbögen einer gotischen Kirche sind stark beschädigt.
Ein Steinmetz hat den Auftrag, diese durch neue zu ersetzen.

Abbildung (nicht maßstäblich)

Der Steinmetz benötigt eine maßstäbliche Zeichnung für einen Spitzbogen mit einer Spannweite von $\overline{A B}=2\,400 \,\text{mm}$ und $\overline{AM_1}=400 \,\text{mm}.$
Zeichne diesen Spitzbogen im Maßstab $1:20.$

Die Punkte $M_1, M_2$ und $S$ sind die Eckpunkte eines Dreiecks.
Begründe, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist.

Ein anderer Spitzbogen hat eine Sichthöhe von $8,00 \,\text{m}.$ Der Radius beträgt $8,90 \,\text{m}.$
Ermittle mit Hilfe einer maßstäblichen Zeichnung die Spannweite des Spitzbogens.

Ein weiterer Spitzbogen hat eine Spannweite von $2,80\,\text{m}.$ Die Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ der Kreisbögen haben einen Abstand von $1,40\,\text{m}.$
Berechne die Sichthöhe des Spitzbogens.

Für Wahlaufgabe 6.3 erreichbare BE: 8

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Lösung 6.1

Volumen einer Pyramide berechnen

$\begin{array}[t]{rll} V_1&=&\dfrac{1}{3}\cdot A_G\cdot h \\[5pt] V_1&=&\dfrac{1}{3}\cdot a\cdot b\cdot h \\[5pt] V_1&=&\dfrac{1}{3}\cdot 11\,\text{cm}\cdot 8,6\,\text{cm}\cdot 4\,\text{cm} \\[5pt] V_1&\approx&\underline{\underline{ 126,13\,\text{cm}^3 }} \end{array}$

Volumen der 80 Pyramiden berechnen

$V_2=80\cdot V_1=80\cdot 126,13\,\text{cm}^3\approx10\,090\,\text{cm}^3$

Kubikzentimeter in Liter umrechnen

$10\,090\,\text{cm}^3 = 10,09\,\text{dm}^3=\underline{\underline{ 10,09\,\text{l}}}$

Für die Party werden mindestens $10,09$ Liter Pudding benötigt.

Länge der Diagonale $d$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} d^2&=&a^2+b^2 & \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] d&=&\sqrt{a^2+b^2} \\[5pt] d&=&\sqrt{(11\,\text{cm})^2+(8,6\,\text{cm})^2} \\[5pt] d&\approx&14,0\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$

Länge der Kante $k$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} k^2&=&h^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] k&=&\sqrt{h^2+\left(\dfrac{d}{2}\right)^2} \\[5pt] k&=&\sqrt{(4\,\text{cm})^2+\left(\dfrac{14\,\text{cm}}{2}\right)^2} \\[5pt] k&=&\sqrt{(4\,\text{cm})^2+(7\,\text{cm})^2} \\[5pt] k&\approx&8,1\,\text{cm} \end{array}$

Länge des Bandes berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \ell&=&2\cdot a+2\cdot b+4\cdot k \\[5pt] \ell&=&2\cdot 11,0\,\text{cm}+2\cdot 8,6\,\text{cm}+4\cdot 8,1\,\text{cm} \\[5pt] \ell&=&\underline{\underline{ 71,6\,\text{cm} }} \end{array}$

Das Band für eine Pyramide muss mindestens $71,6\,\text{cm}$ lang sein.

Lösung 6.2

Tägliche Diesel-Kosten berechnen

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$56\,\text{km}\cdot \dfrac{5\,\ell}{100\,\text{km}}=2,8\,\ell$

Daraus folgt:

$2,8\cdot 2,15 \,€=\underline{\underline{6,02\,€}}$

Die täglichen Diesel-Kosten betragen $6,02\,€.$

Um wie viel Prozent sind die täglichen Kosten für das Auto mit Elektromotor günstiger gegenüber dem Auto mit Dieselmotor?

Tägliche Strom-Kosten berechnen

$56\,\text{km}\cdot \dfrac{20\,\text{kWh}}{100\,\text{km}}=11,2\,\text{kWh}$

Daraus folgt:

$11,2\cdot 0,42 \,€ \approx 4,70\,€$

Tägliche Einsparung in Euro berechnen

$6,02\,€-4,70\,€=1,32\,€$

Tägliche Einsparung in Prozent berechnen

Lösungsweg über die Verhältnisgleichung

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{x}{1,32\,€}&=& \dfrac{100\,\% }{6,02\,€}&\quad \scriptsize \mid\;\cdot 1,32\,€\\[5pt] x&=& \dfrac{100\,\% }{6,02\,€}\cdot 1,32\,€ \\[5pt] x&\approx& \underline{\underline{ 21,9\,\%}} \end{array}$

Die täglichen Kosten für das Auto mit Elektromotor sind gegenüber dem Auto mit Dieselmotor um $21,9\,\%$ günstiger.

Wie viel Euro hätte Lukas eingespart, wenn er stattdessen ein Auto mit Elektromotor genutzt hätte?

Diesel-Verbrauch: $1\,500\,\text{km}\cdot \dfrac{5\,\ell}{100\,\text{km}}=75\,\ell$
Diesel-Kosten: $75\cdot 2,15 \,€=161,25\,€$

Strom-Verbrauch: $1\,500\,\text{km}\cdot \dfrac{20\,\text{kWh}}{100\,\text{km}}=300\,\text{kWh}$
Strom-Kosten: $300\cdot 0,42 \,€=126,00\,€$

Einsparung: $161,25\,€-126,00\,€=\underline{\underline{ 35,25\,€}}$

Lukas hätte $35,25\,€$ gespart.

Strom-Verbrauch für die Urlaubsstrecke berechnen

Lösungsweg über den Dreisatz

$:100$

$\cdot 15$ Grau geschwungener Pfeil, der nach rechts unten zeigt.

$\begin{array}{rcl} 100\,\% & \mathrel{\widehat{=}}& 72\,\text{kWh}\\[5pt] 1\,\%& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{72\,\text{kWh}}{100}\\[5pt] 15\,\%& \mathrel{\widehat{=}}& \dfrac{72\,\text{kWh}}{100}\cdot 15 \end{array}$

$:100$

$\cdot 15$

$15\,\% \mathrel{\widehat{=}} 10,8\,\text{kWh}$

Auf der Urlaubsstrecke wurden also $72\,\text{kWh}-10,8\,\text{kWh}=61,2\,\text{kWh}$ verbraucht.

Länge der Urlaubsstrecke ermitteln

Lösungsweg über den Dezimalbruch

$61,2\,\text{kWh}:\dfrac{18\,\text{kWh}}{100\,\text{km}}=\underline{\underline{ 340\,\text{km}}}$

Frieda hat mit ihrem Auto $340\,\text{km}$ zurückgelegt.

Lösung 6.3

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:20
$2\,400\,\text{mm}$	$2\,400\,\text{mm}:20$ $=120\,\text{mm}=12,0\,\text{cm}$
$2\,000\,\text{mm}$	$2\,000\,\text{mm}:20$ $=100\,\text{mm}=10,0\,\text{cm}$
$400\,\text{mm}$	$400\,\text{mm}:20$ $=20\,\text{mm}=2,0\,\text{cm}$

Mit diesen Angaben kann der Spitzbogen konstruiert werden:

Strecke $\overline{AB}=12,0\,\text{cm}$ zeichnen.
Strecke $\overline{AM_1}=2,0\,\text{cm}$ und $\overline{BM_2}=2,0\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um $M_1$ mit dem Radius $r=10,0\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um $M_2$ mit dem Radius $r=10,0\,\text{cm}$ zeichnen.
Der Schnittpunkt der beiden Kreisbögen ist der Punkt $S.$

Die Dreiecksseiten $\overline{SM_1}$ und $\overline{SM_2}$ sind die Radien der beiden Kreisbögen. Da diese Radien gleich lang sind, muss das Dreieck $M_1M_2S$ gleichschenklig sein.

Die Zeichnung kann beispielsweise im Maßstab 1:100 gezeichnet werden.

Originallänge	Bildlänge im Maßstab 1:100
$8,90\,\text{m}$	$8,90\,\text{m}:100=0,089\,\text{m}=8,9\,\text{cm}$
$8,00\,\text{m}$	$8,00\,\text{m}:100=0,08\,\text{m}=8,0\,\text{cm}$

Mit diesen Angaben kann der Spitzbogen gezeichnet werden:

Grundlinie und Sichthöhe mit $8\,\text{cm}$ zeichnen.
Kreisbogen um $S$ mit dem Radius $r=8,90\,\text{cm}$ zeichnen.
Die beiden Schnittpunkte mit der Grundlinie bilden $M_1$ und $M_2.$
Kreisbogen um $M_1$ mit dem Radius $r=8,90\,\text{cm}$ zeichnen.
Der Schnittpunkt mit der Grundlinie bildet $B.$
Kreisbogen um $M_2$ mit dem Radius $r=8,90\,\text{cm}$ zeichnen.
Der Schnittpunkt mit der Grundlinie bildet $A.$

Damit ergibt sich die fertige Zeichnung:

Spannweite in der Zeichnung: $10\,\text{cm}$

Tatsächliche Spannweite: $100\cdot 10\,\text{cm}=1\,000\,\text{cm}=\underline{\underline{ 10\,\text{m}}}$

Der Spitzbogen hat eine Spannweite von $10\,\text{m}.$

Länge der Strecke $\overline{CM_2}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{CM_2}&=&\dfrac{\overline{M_1M_2}}{2} \\[5pt] \overline{CM_2}&=&\dfrac{1,40\,\text{m}}{2} \\[5pt] \overline{CM_2}&=&0,70\,\text{m} \end{array}$

Länge der Strecke $\overline{AC}$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} \overline{AC}&=& \dfrac{\overline{AB}}{2}\\[5pt] \overline{AC}&=& \dfrac{2,80\,\text{m}}{2}\\[5pt] \overline{AC}&=& 1,40\,\text{m} \end{array}$

Länge des Radius $r$ berechnen

$\begin{array}[t]{rll} r&=&\overline{CM_2}+\overline{AC} \\[5pt] r&=&0,70\,\text{m}+ 1,40\,\text{m} \\[5pt] r&=&2,10\,\text{m} \end{array}$

Sichthöhe des Spitzbogens berechnen

$\begin{array}[t]{rll} h^2+\overline{CM_2}^2&=&r^2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;-\overline{CM_2}^2 \\[5pt] h^2&=&r^2-\overline{CM_2}^2 \quad\quad\quad\quad\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,} \\[5pt] h&=&\sqrt{r^2-\overline{CM_2}^2} \\[5pt] h&=&\sqrt{(2,10\,\text{m})^2-(0,70\,\text{m})^2} \\[5pt] h&\approx&\underline{\underline{ 1,98\,\text{m}}} \end{array}$

Die Sichthöhe beträgt etwa $1,98\,\text{m}.$

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