Analysis

Aufgabe 1A

Ein Bergbauunternehmen plant, in einer Region Kupfererz abzubauen. Der Abbau wird für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ durch die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: k mit $Formula: k(x)=80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 x+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 x+1,5}$ $Formula: k(x)=80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 x+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 x+1,5}$ beschrieben. Dabei ist die ab Beginn des Abbaus vergangene Zeit in Jahren und die Gesamtmenge des bis zu diesem Zeitpunkt abgebauten Kupfererzes in Millionen Tonnen.

Zeige, dass im Modell nach Formula: 8 Jahren etwa Formula: 22 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind. Ermittle den Zeitpunkt, bis zu dem Formula: 100 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut sind.

3 BE

Die Gleichung $Formula: \tfrac{k(c)-k(0)}{c}=1,9$ $Formula: \tfrac{k(c)-k(0)}{c}=1,9$ mit $Formula: c \in \mathbb{R}$ $Formula: c \in \mathbb{R}$ besitzt genau zwei Lösungen.

Gib die kleinere der beiden Lösungen an. Deute die Gleichung und diese Lösung im Sachzusammenhang.

3 BE

Im Modell beschreibt die erste Ableitungsfunktion $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ von für $Formula: x \geq 0$ $Formula: x \geq 0$ die momentane Rate des Abbaus von Kupfererz (momentane Abbaurate) in Millionen Tonnen pro Jahr. Der Graph von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ ist in Abbildung 1 dargestellt. Ohne Nachweis kannst du verwenden: $Formula: k^{\prime}(x)=0,2 x \cdot \mathrm e^{-0,05 x+1,5}$ $Formula: k^{\prime}(x)=0,2 x \cdot \mathrm e^{-0,05 x+1,5}$

Koordinatensystem mit Gitternetz und aufsteigender, abflachender Kurve beschriftet "Graph von k'".

Abb. 1

Berechne den Zeitpunkt, an dem die momentane Abbaurate ihren größten Wert annimmt, und gib diesen größten Wert an.

3 BE

Ermittle rechnerisch die Länge des Zeitraums, innerhalb dessen die momentane Abbaurate mindestens fünf Millionen Tonnen Kupfererz pro Jahr beträgt.

3 BE

Begründe anhand des Graphen von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ in Abbildung 1, dass die folgende Aussage wahr ist.

In den ersten Jahren nach Beginn des Abbaus gibt es keinen Zeitpunkt, ab dem innerhalb einer Zeitspanne von einem Jahr die momentane Abbaurate um eine Million Tonnen pro Jahr zunimmt.

3 BE

Unabhängig vom Sachkontext sind die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierten Funktionen Formula: f mit $Formula: f(x)=\mathrm{e}^{-x+2}-1$ $Formula: f(x)=\mathrm{e}^{-x+2}-1$ und Formula: h mit Formula: h(x)=-2 x-2 gegeben. Abbildung 2 zeigt den Graphen Formula: G_f von sowie den Graphen Formula: G_h von Formula: h.

Gib die Koordinaten des Schnittpunktes von Formula: G_f mit der Formula: y -Achse sowie die Steigung von in diesem Punkt an.

2 BE

Die folgenden Schritte stellen eine Lösung einer Aufgabe in einem geometrischen Zusammenhang dar:

$Formula: f^{\prime}(x)=h^{\prime}(x) \Leftrightarrow x=2-\ln 2$ $Formula: f^{\prime}(x)=h^{\prime}(x) \Leftrightarrow x=2-\ln 2$
Mit und $Formula: f(2-\ln 2)=1$ $Formula: f(2-\ln 2)=1$ ergibt sich $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2.$ $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2.$

Interpretiere das Ergebnis $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2$ $Formula: n=5-2 \cdot \ln 2$ in diesem geometrischen Zusammenhang.

3 BE

Koordinatensystem mit zwei Funktionen: fallende Gerade Gh und abklingende Kurve Gf, Achsen x und y.

Abb. 2

Formula: G_f schließt mit den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Eine zu Formula: G_h parallele Gerade halbiert diese Fläche. Bestimme eine Gleichung der Gerade Formula: g.

5 BE

Aufgabe 1B

Gegeben ist die in $Formula: \mathbb{R}$ $Formula: \mathbb{R}$ definierte Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\tfrac{3}{16}\cdot\left(x^3+2x^2-4x-8\right).$ $Formula: f(x)=\tfrac{3}{16}\cdot\left(x^3+2x^2-4x-8\right).$

Der Graph von Formula: f wird mit Formula: G bezeichnet.

Ermittle die Nullstellen von Formula: f.

Gib das Verhalten von Formula: f für $Formula: x\to-\infty$ $Formula: x\to-\infty$ an.

3 BE

Der Tiefpunkt von Formula: G hat die Formula: x -Koordinate $Formula: \tfrac{2}{3}.$ $Formula: \tfrac{2}{3}.$

Begründe, dass Formula: G auch einen Hochpunkt besitzt.

Gib dessen Koordinaten an.

3 BE

Formula: G besitzt genau einen Wendepunkt.

Zeige, dass der Wendepunkt die Formula: x -Koordinate $Formula: -\tfrac{2}{3}$ $Formula: -\tfrac{2}{3}$ besitzt.

Zeige, dass die Tangente an Formula: G im Wendepunkt einen Winkel der Größe $Formula: 45^{\circ}$ $Formula: 45^{\circ}$ einschließt.

3 BE

Neben dem Wendepunkt gibt es zwei weitere Punkte auf Formula: G, in denen die jeweilige Tangente an den Graphen einen Winkel der Größe $Formula: 45^{\circ}$ $Formula: 45^{\circ}$ mit der Formula: x -Achse einschließt.

Berechne die Formula: x -Koordinaten dieser zwei weiteren Punkte.

2 BE

Betrachtet wird ein $Formula: 3\;\mathrm{m}$ $Formula: 3\;\mathrm{m}$ langes, geradliniges Stück einer Dachrinne aus Blech.

Das Blech ist $Formula: 0,7\;\mathrm{mm}$ $Formula: 0,7\;\mathrm{mm}$ dick, was in der Abbildung im dargestellten Querschnitt veranschaulicht wird.

Die dargestellte Profillinie der Innenseite der Dachrinne kann im verwendeten Koordinatensystem für $Formula: -2\leq x\leq2$ $Formula: -2\leq x\leq2$ durch Formula: G beschrieben werden.

Dabei entspricht eine Längeneinheit $Formula: 5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 5\;\mathrm{cm}$ in der Realität.

Koordinatensystem mit U-förmiger Profillinie der Innenseite und gestrichelter Vergleichslinie.

Dieses Stück der Dachrinne soll in einen quaderförmigen Karton verpackt werden, der über $Formula: 3\;\mathrm{m}$ $Formula: 3\;\mathrm{m}$ lang ist und innen einen Querschnitt mit den Maßen $Formula: 21\;\mathrm{cm}$ $Formula: 21\;\mathrm{cm}$ und $Formula: 9,5\;\mathrm{cm}$ $Formula: 9,5\;\mathrm{cm}$ hat. Untersuche rechnerisch, ob der Karton als Verpackung für dieses Stück der Dachrinne geeignet ist.

3 BE

Die folgenden Rechenschritte stellen einen Lösungsweg für eine Aufgabe im Sachzusammenhang dar:

liefert $Formula: x=x_1\lor x=x_2\lor x=x_3$ $Formula: x=x_1\lor x=x_2\lor x=x_3$ mit $Formula: x_1\approx-3,03,$ $Formula: x_1\approx-3,03,$ $Formula: x_2\approx-0,56$ $Formula: x_2\approx-0,56$ und $Formula: x_3\approx1,59$ $Formula: x_3\approx1,59$
$Formula: \displaystyle\int_{x_2}^{x_3}\left(-1-f(x)\right)\,\mathrm dx\approx1,09$ $Formula: \displaystyle\int_{x_2}^{x_3}\left(-1-f(x)\right)\,\mathrm dx\approx1,09$
$Formula: 1,09\cdot5^2\cdot300=8175$ $Formula: 1,09\cdot5^2\cdot300=8175$
also etwa $Formula: 8175\;\mathrm{cm}^3$ $Formula: 8175\;\mathrm{cm}^3$

Gib eine dazu passende Aufgabenstellung an.

Erläutere den dargestellten Lösungsweg.

5 BE

Nun wird ein Stück einer zweiten Dachrinne betrachtet.

Im Vergleich zum bisher betrachteten Stück ist es ebenfalls geradlinig, hat die gleiche Länge und besteht aus einem Blech gleicher Dicke. Auch das Volumen des Wassers, das beide Stücke maximal fassen können, ist gleich.

Die Profillinie der Innenseite der zweiten Dachrinne hat die Form eines Halbkreises.

Ein Kubikzentimeter des verwendeten Materials hat eine Masse von Formula: 8,96 Gramm.

Bestimme für die zweite Dachrinne die Masse des betrachteten Stücks.

6 BE

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Lösung 1A

Abgebautes Kupfererz nach 8 Jahren

$Formula: \begin{array}[t]{rll} k(8)&=&80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 \cdot 8+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 8+1,5} \\[5pt] &\approx& 22 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} k(8)&=&80 \mathrm{e}^{1,5}-(4 \cdot 8+80) \cdot \mathrm{e}^{-0,05 \cdot 8+1,5} \\[5pt] &\approx& 22 \end{array}$

Zeitpunkt ermitteln

Der GTR liefert für das Auflösen von Formula: k(x)=100 nach Formula: x:

$Formula: x\approx 20,8$ $Formula: x\approx 20,8$

Es sind also nach etwa Formula: 21 Jahren Formula: 100 Millionen Tonnen Kupfererz abgebaut.

Auflösen nach Formula: c mit dem GTR liefert für die kleinere der beiden Lösungen:

$Formula: c\approx5$ $Formula: c\approx5$

Dies bedeutet, dass im Zeitraum bis etwa zum Ende des fünften Jahres durchschnittlich Formula: 1,9 Millionen Tonnen Kupfererz pro Jahr abgebaut werden.

Zeitpunkt berechnen

Für die zweite und dritte Ableitungen von Formula: k ergibt sich:

$Formula: k^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{\left(x - 20\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{100}$ $Formula: k^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{\left(x - 20\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{100}$

$Formula: k^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{\left(x - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{2000}$ $Formula: k^{\prime\prime\prime}(x)=\dfrac{\left(x - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{x}{20}}}{2000}$

Anwenden der notwendigen Bedingung $Formula: k^{\prime\prime} (x)= 0$ $Formula: k^{\prime\prime} (x)= 0$ für Extremwerte von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ liefert durch Auflösen nach Formula: x mit dem GTR:

Formula: x=20

Überprüfen der hinreichenden Bedingung ergibt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime\prime\prime}(20)&=&\dfrac{\left(20 - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{2000}\\[5pt] &\approx&-0{,}02\lt0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime\prime\prime}(20)&=&\dfrac{\left(20 - 40\right) \mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{2000}\\[5pt] &\approx&-0{,}02\lt0 \end{array}$

Somit nimmt die momentane Abbaurate ihren größten Wert Formula: 20 Jahre nach Beginn des Abbaus an.

Wert bestimmen

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime}(20)&=&\dfrac{20\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{5} \\[5pt] &\approx&6{,}6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} k^{\prime}(20)&=&\dfrac{20\mathrm{e}^{\tfrac{3}{2} - \tfrac{20}{20}}}{5} \\[5pt] &\approx&6{,}6 \end{array}$

Der größte Wert der momentanen Abbaurate beträgt etwa Formula: 6,6 Millionen Tonnen pro Jahr.

Für $Formula: k^{\prime}(x)=5$ $Formula: k^{\prime}(x)=5$ liefert das Auflösen nach Formula: x mit dem GTR:

$Formula: x_1\approx8{,}6$ $Formula: x_1\approx8{,}6$

$Formula: x_2\approx38{,}8$ $Formula: x_2\approx38{,}8$

Damit folgt:

$Formula: x_2 - x_1 \approx 30,2$ $Formula: x_2 - x_1 \approx 30,2$

Die Länge des Zeitraums beträgt folglich Formula: 30{,}2 Jahre.

Der Abbildung 1 kann entnommen werden, dass der Graph von $Formula: k^{\prime}$ $Formula: k^{\prime}$ im abgebildeten Bereich rechtsgekrümmt ist. Damit ist der Zuwachs der momentanen Abbaurate im ersten Jahr mit etwa Formula: 0{,}9 Millionen Tonnen pro Jahr der größte jährliche Zuwachs der momentanen Abbaurate im betrachteten Zeitraum.

Die Koordinaten des Schnittpunktes von Formula: G_f mit der Formula: y -Achse sind $Formula: \left(0 \mid \mathrm e^2-1 \right).$ $Formula: \left(0 \mid \mathrm e^2-1 \right).$ Für die Steigung in diesem Punkt gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(0)&=&-\mathrm e^{-0+2} \\[5pt] &=& -\mathrm e^2 \\[5pt] &\approx& -7{,}4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} f^{\prime}(0)&=&-\mathrm e^{-0+2} \\[5pt] &=& -\mathrm e^2 \\[5pt] &\approx& -7{,}4 \end{array}$

Die zu Formula: G_h parallele Tangente an Formula: G_f schneidet die Formula: y -Achse im Punkt $Formula: (0 \mid n).$ $Formula: (0 \mid n).$

Die allgemeine Gleichung der Geraden Formula: g hat die Form Formula: y = -2x + a mit $Formula: a \in \mathbb{R^+}.$ $Formula: a \in \mathbb{R^+}.$ Mit Formula: y=0 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-2x+a &\quad\scriptsize\mid\;+2x \\[5pt] 2x&=&a &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] x&=&\dfrac{a}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0&=&-2x+a &\quad\scriptsize\mid\;+2x \\[5pt] 2x&=&a &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] x&=&\dfrac{a}{2} \end{array}$

Die Gerade Formula: g schneidet die Formula: x -Achse somit im Punkt mit der -Koordinate $Formula: \tfrac{a}{2}.$ $Formula: \tfrac{a}{2}.$ Da die Fläche, die von Formula: G_f und der Koordinatenachse eingeschlossen wird, halbieren soll, soll somit die folgende Gleichung gelten:

$Formula: \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a=\dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle\int_0^2 f(x)\; \mathrm dx$ $Formula: \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{a}{2} \cdot a=\dfrac{1}{2} \cdot \displaystyle\int_0^2 f(x)\; \mathrm dx$

Auflösen nach Formula: a mit dem GTR liefert dann:

$Formula: a=\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$ $Formula: a=\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$

Somit ist die Gleichung der Geraden Formula: g durch $Formula: y=-2x+\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$ $Formula: y=-2x+\sqrt{2\mathrm{e}^2-6}$ gegeben.

Lösung 1B

Nullstellen berechnen

Die Grafikfunktion des GTR liefert für die Nullstellen von Formula: f(x):

$Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&=&-2 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} x_1&=&-2 \\[5pt] x_2&=&2 \end{array}$

Verhalten von $Formula: \boldsymbol{f}$ $Formula: \boldsymbol{f}$ angeben

Mit der graphischen Darstellung des GTR folgt, dass $Formula: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=- \infty$ $Formula: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x)=- \infty$ gilt.

Da Formula: f eine ganzrationale Funktion dritten Grades ist, hat ihr Graph entweder keinen Extrempunkt oder zwei Extrempunkte. Da ein Tiefpunkt vorliegt, ist der andere Extrempunkt ein Hochpunkt.

Für die Koordinaten dieses Punktes folgt mit der graphischen Darstellung $Formula: (-2 \mid 0).$ $Formula: (-2 \mid 0).$

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$ -Koordinate zeigen

Das Bestimmen der ersten zwei Ableitungen liefert:

$Formula: f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)$ $Formula: f^{\prime}(x)=\dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)$

$Formula: f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{9}{8}x + \dfrac{3}{4}$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=\dfrac{9}{8}x + \dfrac{3}{4}$

Lösen von $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ $Formula: f^{\prime\prime}(x)=0$ mit dem solve-Befehl des GTR liefert $Formula: x=-\tfrac{2}{3}.$ $Formula: x=-\tfrac{2}{3}.$ Laut der Aufgabenstellung hat die Funktion genau eine Wendestelle, somit kann die Überprüfung der hinreichenden Bedingung hier vernachlässigt werden.

Winkel zeigen

Die Steigung der Tangente im Wendepunkt ist $Formula: m=f^{\prime}\left(-\tfrac{2}{3}\right).$ $Formula: m=f^{\prime}\left(-\tfrac{2}{3}\right).$

Das Einsetzen liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&\dfrac{3}{16}\left(3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)-4\right) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{8}{3} - 4\right) \\[5pt] &=& -1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}\left(-\dfrac{2}{3}\right)&=&\dfrac{3}{16}\left(3\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)^2+4\cdot\left(-\dfrac{2}{3}\right)-4\right) \\[5pt] &=& \dfrac{3}{16}\left(\dfrac{4}{3} - \dfrac{8}{3} - 4\right) \\[5pt] &=& -1 \end{array}$

Da der Betrag der Steigung eins ist, schließt die Tangente im Wendepunkt mit der Formula: x -Achse einen Winkel der Größe $Formula: 45^{\circ}$ $Formula: 45^{\circ}$ ein.

An solchen Punkten gilt entweder $Formula: f^{\prime}(x)=-1$ $Formula: f^{\prime}(x)=-1$ oder $Formula: f^{\prime}(x)=1.$ $Formula: f^{\prime}(x)=1.$ Aus $Formula: f^{\prime}(x)=1$ $Formula: f^{\prime}(x)=1$ folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}(x)&=& 1 \\[5pt] \dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)&=& 1 &\quad\scriptsize\mid\; :\tfrac{3}{16}\\[5pt] 3x^2+4x-4&=& \dfrac{16}{3} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 3\\[5pt] 9x^2+12x-12&=& 16 &\quad\scriptsize\mid\; -16 \\[5pt] 9x^2+12x-28&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f^{\prime}(x)&=& 1 \\[5pt] \dfrac{3}{16}\left(3x^2+4x-4\right)&=& 1 &\quad\scriptsize\mid\; :\tfrac{3}{16}\\[5pt] 3x^2+4x-4&=& \dfrac{16}{3} &\quad\scriptsize\mid\; \cdot 3\\[5pt] 9x^2+12x-12&=& 16 &\quad\scriptsize\mid\; -16 \\[5pt] 9x^2+12x-28&=&0 \end{array}$

Auflösen nach Formula: x mit dem GTR liefert:

$Formula: x_1\approx -2{,}55$ $Formula: x_1\approx -2{,}55$

$Formula: x_2 \approx 1{,}22$ $Formula: x_2 \approx 1{,}22$

Da es genau zwei weitere Punkte gibt, sind das die gesuchten -Koordinaten.

Die Breite der Innenseite der Dachrinne beträgt Formula: 4 Längeneinheiten, in der Realität entspricht dies:

$Formula: 4 \cdot 5=20\mathrm{~cm}$ $Formula: 4 \cdot 5=20\mathrm{~cm}$

Da das Blech nur $Formula: 0,7\;\text{mm}=0,07\;\text{cm}$ $Formula: 0,7\;\text{mm}=0,07\;\text{cm}$ dick ist, passt die Dachrinne somit hinsichtlich der Breite in den Karton.

Die Höhe der Dachrinne lässt sich mithilfe der Formula: y -Koordinate des Tiefpunkts von Formula: G bestimmen. Für diese gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\dfrac{2}{3}\right)&=& \dfrac{3}{16}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)-8\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{16}{9} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\dfrac{2}{3}\right)&=& \dfrac{3}{16}\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3+2\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^2-4\cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)-8\right) \\[5pt] &=& -\dfrac{16}{9} \end{array}$

Die Höhe beträgt somit $Formula: \tfrac{16}{9}$ $Formula: \tfrac{16}{9}$ Längeneinheiten, in der Realität entspricht dies:

$Formula: \dfrac{16}{9} \cdot 5 \approx 8{,}9\mathrm{~cm}$ $Formula: \dfrac{16}{9} \cdot 5 \approx 8{,}9\mathrm{~cm}$

Auch hier ist die zusätzliche Dicke von $Formula: 0,07\;\text{cm}$ $Formula: 0,07\;\text{cm}$ kein Problem. Da $Formula: 20,07\mathrm{~cm} \lt 21\mathrm{~cm}$ $Formula: 20,07\mathrm{~cm} \lt 21\mathrm{~cm}$ und $Formula: 8{,}97\mathrm{~cm} \lt 9{,}5\mathrm{~cm}$ $Formula: 8{,}97\mathrm{~cm} \lt 9{,}5\mathrm{~cm}$ gilt, folgt, dass der Karton für das Stück der Dachrinne geeignet ist.

Aufgabenstellung angeben

Berechne das Volumen des Wassers im betrachteten Stück der Dachrinne, wenn bis zur vollständigen Befüllung noch $Formula: 5 \mathrm{~cm}$ $Formula: 5 \mathrm{~cm}$ an Höhe fehlen.

Lösungsweg erläutern

Die -Koordinaten der drei Schnittpunkte von und der Gerade mit der Gleichung werden berechnet.
Der Inhalt der Fläche zwischen und dieser Gerade wird berechnet.
Unter Verwendung des Umrechnungsfaktors beim Flächeninhalt wird das Volumen des Wassers berechnet.

Da beide Dachrinnen gleich lang sind und das gleiche maximale Wasservolumen besitzen,

müssen ihre Querschnittsflächen übereinstimmen.

Für die erste Dachrinne gilt:

$Formula: \begin{array}{rll} A&=&5^2\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{3}{16}\left(x^3+2x^2-4x-8\right)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\dfrac{3}{16}\left[\dfrac14x^4+\dfrac23x^3-2x^2-8x\right]_{-2}^{2}\right| \\[5pt] &=&25\cdot|-4| \\[5pt] &=&100\;[\mathrm{cm}^2] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rll} A&=&5^2\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}f(x)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\displaystyle\int_{-2}^{2}\dfrac{3}{16}\left(x^3+2x^2-4x-8\right)\;\mathrm{d}x\right| \\[5pt] &=&25\cdot\left|\dfrac{3}{16}\left[\dfrac14x^4+\dfrac23x^3-2x^2-8x\right]_{-2}^{2}\right| \\[5pt] &=&25\cdot|-4| \\[5pt] &=&100\;[\mathrm{cm}^2] \end{array}$

Für den Radius des halbkreisförmigen Querschnitts der zweiten Dachrinne folgt:

$Formula: \frac12\pi r^2=100$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\pi r^2}{2}&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \pi r^2&=&200 &\quad\scriptsize\mid\; :\pi \\[5pt] r^2&=&\dfrac{200}{\pi} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\phantom{x}}\\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{200}{\pi}} \\[5pt] r&=&10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{\pi r^2}{2}&=&100 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot 2 \\[5pt] \pi r^2&=&200 &\quad\scriptsize\mid\; :\pi \\[5pt] r^2&=&\dfrac{200}{\pi} &\quad\scriptsize\mid\; \sqrt{\phantom{x}}\\[5pt] r&=&\sqrt{\dfrac{200}{\pi}} \\[5pt] r&=&10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}} \end{array}$

Die Blechdicke beträgt $Formula: 0{,}7\,\mathrm{mm}=0{,}07\,\mathrm{cm}.$ $Formula: 0{,}7\,\mathrm{mm}=0{,}07\,\mathrm{cm}.$ Damit beträgt der Außenradius Formula: r+0{,}07.

Für die Querschnittsfläche des Blechs gilt:

$Formula: A_{\text{Blech}}=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)$ $Formula: A_{\text{Blech}}=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)$

Dann folgt für das Volumen des $Formula: 300\mathrm{~cm}$ $Formula: 300\mathrm{~cm}$ langen Dachrinnenstücks:

$Formula: V=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300$ $Formula: V=\frac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300$

Für die Masse gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &=&\dfrac12\pi\left(\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}+0{,}07\right)^2-\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\right)^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &\approx& 4737\mathrm{~g} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} m&=&\dfrac12\pi\left((r+0{,}07)^2-r^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &=&\dfrac12\pi\left(\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}+0{,}07\right)^2-\left(10\sqrt{\dfrac{2}{\pi}}\right)^2\right)\cdot300\cdot8{,}96\\[5pt] &\approx& 4737\mathrm{~g} \end{array}$

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