Wahlaufgaben 2
Die Abbildung zeigt die Graphen der in 
definierten linearen Funktion 
und der in definierten differenzierbaren Funktion 
Begründe, dass 
gilt.
Betrachtet wird die in definierte Funktion 
mit 
Bestimme die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt 
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsgröße 
mit dem Erwartungswert 
und der Standardabweichung 
Bestimme einen parameterfreien Term, mit dem die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
berechnet werden kann.
Betrachtet werden die Punkte 
und 
mit 
und 
Für den Punkt gelten die folgenden Aussagen:
-
Für die
- und 
-Koordinate des Punktes gilt: 
-
Die
-Koordinate von ist 
-
Die Gerade
und die Gerade 
verlaufen senkrecht zueinander.
Ermittle die Koordinaten von .
Weiter lernen mit SchulLV Plus!
monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Anhand eines Steigungsdreiecks ergibt sich für die Steigung der Gerade der Wert 
Mit der Abbildung folgt:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
h'(3)&=&f^{\prime}(3) \cdot g(3)+f(3) \cdot g^{\prime}(3) \\[5pt]
&=&0 \cdot 4+(-6)\cdot 2 \\[5pt]
&=&-12
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/64a0f464634e8b52fa0be88f0062f24a596dd58f7489e18650687b1db1768a09_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
h'(3)&=&f^{\prime}(3) \cdot g(3)+f(3) \cdot g^{\prime}(3) \\[5pt]
&=&0 \cdot 4+(-6)\cdot 2 \\[5pt]
&=&-12
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/64a0f464634e8b52fa0be88f0062f24a596dd58f7489e18650687b1db1768a09_dark.svg)
Es gilt 
und 
Mit den Werten aus der Aufgabenstellung ergibt sich:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\sigma&=&2 \\[5pt]
\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt]
\sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt]
20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt]
1-p&=&0{,}2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt]
1&=&0{,}2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}2 \\[5pt]
0{,}8&=&p
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce88dba7da351bb7d259553682c46bf40a2100a7f12150373ba7c03f6c16e904_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
\sigma&=&2 \\[5pt]
\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} &=& 2\\[5pt]
\sqrt{20\cdot (1-p)}&=&2 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt]
20\cdot (1-p)&=&4 &\quad\scriptsize\mid\;:20 \\[5pt]
1-p&=&0{,}2 &\quad\scriptsize\mid\;+p \\[5pt]
1&=&0{,}2 + p &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}2 \\[5pt]
0{,}8&=&p
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/ce88dba7da351bb7d259553682c46bf40a2100a7f12150373ba7c03f6c16e904_dark.svg)
Einsetzen in den Erwartungswert liefert für 
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0{,}8\cdot n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0{,}8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c4015d841d9769cd90ea79d9a69e12065557a232675309356d04bc3faea2df81_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\mu&=&20 \\[5pt] n\cdot p&=&20 \\[5pt] 0{,}8\cdot n &=&20 &\quad\scriptsize\mid\;:0{,}8 \\[5pt] n&=&25 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c4015d841d9769cd90ea79d9a69e12065557a232675309356d04bc3faea2df81_dark.svg)
Der gesuchte parameterfreie Term für die Wahrscheinlichkeit ist somit gegeben durch 
Laut der ersten Bedingung hat die allgemeinen Koordinaten 
Damit liefert die zweite Bedingung:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d487f40240b969b5fb3c25fbc2a919a2297d92325af6efbf86b2873aa50fbd1b_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}\overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{AC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{8\\-2\\4}\circ\pmatrix{x-2\\y+3\\7}&=&0 \\[5pt] 8x-16-2y-6+28&=&0 \\[5pt] 8x-2y+6&=&0 \end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/d487f40240b969b5fb3c25fbc2a919a2297d92325af6efbf86b2873aa50fbd1b_dark.svg)
Zusammen mit der dritten Bedingung lässt sich somit das folgende Gleichungssystem aufstellen:
Addieren der beiden Gleichungen liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt]
9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt]
x&=&-\dfrac{2}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/78924416a5dcbf7eec4223034f32b2ad0fab25ad287c22e18372e289f962cd8e_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
9x+6&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-6 \\[5pt]
9x&=&-6 &\quad\scriptsize\mid\;:9 \\[5pt]
x&=&-\dfrac{2}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/78924416a5dcbf7eec4223034f32b2ad0fab25ad287c22e18372e289f962cd8e_dark.svg)
Einsetzen in Gleichung 
liefert:
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt]
2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt]
y&=&\dfrac{1}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cad35f760818e7e61cac173ca94984a147176787d3d7b4a123e54a88fa21756_light.svg)
![Formula: \begin{array}[t]{rlll}
-\dfrac{2}{3}+2y&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+\frac{2}{3} \\[5pt]
2y&=&\dfrac{2}{3} &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt]
y&=&\dfrac{1}{3}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/4cad35f760818e7e61cac173ca94984a147176787d3d7b4a123e54a88fa21756_dark.svg)
Damit ergeben sich die Koordinaten von als 
