Analytische Geometrie

Aufgabe 3A

In einem Koordinatensystem ist ein Quader mit den Eckpunkten $Formula: O(0\mid 0\mid 0),$ $Formula: O(0\mid 0\mid 0),$ $Formula: A(4\mid 0\mid 0)$ $Formula: A(4\mid 0\mid 0)$ , $Formula: B(4\mid 4\mid 0),$ $Formula: B(4\mid 4\mid 0),$ Formula: C, D, E, F und $Formula: G(0\mid 4\mid 5)$ $Formula: G(0\mid 4\mid 5)$ gegeben (vgl. Abbildung 1).

Die Fläche Formula: OABC ist quadratisch.

3D-Kubus mit Koordinatenachsen und beschrifteten Eckpunkten

Abb. 1

Der Ortsvektor des Punktes Formula: R ist durch $Formula: \overrightarrow{O R}=\tfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{O A}+\tfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B F}$ $Formula: \overrightarrow{O R}=\tfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{O A}+\tfrac{1}{2} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B F}$ gegeben. Zeichne den Punkt Formula: R in Abbildung 1 ein.

2 BE

Genau eine der folgenden Gleichungen Formula: (1) bis Formula: (3) beschreibt eine Symmetrieebene des Quaders.

Formula: (1) $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ mit $Formula: t, s \in \mathbb{R}$ $Formula: t, s \in \mathbb{R}$

Formula: (2) $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ mit $Formula: t, s \in \mathbb{R}$ $Formula: t, s \in \mathbb{R}$

Formula: (3) $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ mit $Formula: t, s \in \mathbb{R}$ $Formula: t, s \in \mathbb{R}$

Entscheide, welche Gleichung dies ist, und begründe für eine der anderen Gleichungen, dass die durch sie beschriebene Ebene keine Symmetrieebene des Quaders ist.

3 BE

Der Punkt $Formula: S(2\mid 2\mid 3)$ $Formula: S(2\mid 2\mid 3)$ ist die Spitze der Pyramide Formula: OABCS (vgl. Abbildung 2).

Geometrische Zeichnung eines Würfels mit markierten Punkten und eingezeichnetem Körper im Inneren

Abb. 2

Berechne die Größe des Winkels, den die Kanten $Formula: \overline{AS}$ $Formula: \overline{AS}$ und $Formula: \overline{AB}$ $Formula: \overline{AB}$ einschließen.

3 BE

Gib eine Gleichung der Gerade an, die durch die Punkte Formula: A und Formula: G verläuft.

Zeige, dass Formula: S nicht auf dieser Gerade liegt.

3 BE

Für $Formula: 0 \leq k<2$ $Formula: 0 \leq k<2$ werden die Pyramiden Formula: OABCS_k mit Spitze $Formula: S_k(2\mid 2\mid 3-k)$ $Formula: S_k(2\mid 2\mid 3-k)$ und $Formula: DEFGQ_{k}$ $Formula: DEFGQ_{k}$ mit Spitze $Formula: Q_k(2\mid 2\mid 3+k)$ $Formula: Q_k(2\mid 2\mid 3+k)$ betrachtet.

Bestimme den Wert von Formula: k, für den die Summe der Volumen der beiden zugehörigen Pyramiden $Formula: 25\, \%$ $Formula: 25\, \%$ des Volumens des Quaders beträgt.

4 BE

Aufgabe 3B

Abbildung 1 zeigt die zur $Formula: xz\text{-}$ $Formula: xz\text{-}$ Ebene symmetrische Pyramide Formula: ABCDS mit $Formula: A( 0 \mid −2 \mid 0),$ $Formula: A( 0 \mid −2 \mid 0),$ $Formula: B(5 \mid -1 \mid 0),$ $Formula: B(5 \mid -1 \mid 0),$ $Formula: C( 5 \mid 1 \mid 0 ),$ $Formula: C( 5 \mid 1 \mid 0 ),$ $Formula: D \left( 0 \mid 2 \mid 0 \right)$ $Formula: D \left( 0 \mid 2 \mid 0 \right)$ und $Formula: S(2 \mid 0 \mid 4).$ $Formula: S(2 \mid 0 \mid 4).$

Dreidimensionale Pyramide mit Spitze S, Basis B‑C‑D, Innenpunkten A und O sowie x-, y- und z-Achsen.

Abb. 1

Zeige, dass die Grundfläche Formula: ABCD ein Trapez ist, und berechne ihren Flächeninhalt.

3 BE

Bestimme die Größe des Winkels, den die Kanten $Formula: \overline{CD}$ $Formula: \overline{CD}$ und $Formula: \overline{CS}$ $Formula: \overline{CS}$ einschließen.

3 BE

Die folgenden Gleichungen $Formula: \text{I}$ $Formula: \text{I}$ und $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefern gemeinsam die Koordinaten eines Punktes Formula: P.

$Formula: \begin{aligned} \mathrm{I}\quad & \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t \cdot \overrightarrow{CS} \\ \mathrm{II}\quad & \overrightarrow{DP} \circ \overrightarrow{CS} = 0 \end{aligned}$ $Formula: \begin{aligned} \mathrm{I}\quad & \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + t \cdot \overrightarrow{CS} \\ \mathrm{II}\quad & \overrightarrow{DP} \circ \overrightarrow{CS} = 0 \end{aligned}$

Beschreibe die Lage des Punktes Formula: P im Zusammenhang mit den betrachteten geometrischen Objekten.

3 BE

Die Ebene Formula: F hat die Gleichung $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$ mit $Formula: t, s \in \mathbb{R}.$ $Formula: t, s \in \mathbb{R}.$

Die Punkte $Formula: T, U, V(3,5 \mid0,5 \mid 2)$ $Formula: T, U, V(3,5 \mid0,5 \mid 2)$ und $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ sind die Schnittpunkte der Seitenkanten der Pyramide Formula: A B C D S mit der Ebene Formula: F (vgl. Abbildung 2).

Dreidimensionale Pyramide mit gestrichelten Innenkanten, beschrifteten Punkten und Koordinatenachsen x,y,z

Abb. 2

Zeige, dass der Punkt Formula: W der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{DS}$ $Formula: \overline{DS}$ ist, und gib die Koordinaten von Formula: T an.

2 BE

Die Trapeze Formula: TUVW und Formula: BUVC sind bezüglich einer Ebene Formula: H symmetrisch zueinander.

Bestimme eine Gleichung von Formula: H.

4 BE

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Lösung 3A

3D-Geometrie eines Quaders mit markierten Punkten und Achsen

Gleichung Formula: (2) beschreibt eine Symmetrieebene des Quaders.

Die zu Gleichung Formula: (3) gehörende Ebene schneidet die Kante $Formula: \overline{AE}$ $Formula: \overline{AE}$ nicht in deren Mittelpunkt.

Die Vektoren $Formula: \overrightarrow{AS}$ $Formula: \overrightarrow{AS}$ und $Formula: \overrightarrow{AB}$ $Formula: \overrightarrow{AB}$ berechnen sich mit:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AS}&=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right) \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AB}&=& \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \\[5pt] &=& \left(\begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 0 \end{array}\right) \end{array}$

Damit folgt für die Länge der Vektoren:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{AS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-2)^2+2^2+3^2} \\[5pt] &=& \sqrt{17} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{AS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-2)^2+2^2+3^2} \\[5pt] &=& \sqrt{17} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{AB} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ 0^2+4^2+0^2} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{AB} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ 0^2+4^2+0^2} \\[5pt] &=& 4 \end{array}$

Für das Skalarprodukt gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AS} \circ \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AS} \circ \overrightarrow{AB} &=& \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& (-2) \cdot 0 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 0 \\[5pt] &=& 8 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{AS}\circ\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{8}{\sqrt{17} \cdot 4} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{17}}\right) \\[5pt] \alpha &\approx&61^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{AS}\circ\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AS}\right|\cdot\left|\overrightarrow{AB}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{8}{\sqrt{17} \cdot 4} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt] \alpha &=&\cos^{-1}\left(\dfrac{2}{\sqrt{17}}\right) \\[5pt] \alpha &\approx&61^\circ \end{array}$

Geradengleichung angeben

$Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right),$ $Formula: \overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+t \cdot\left(\begin{array}{c} -4 \\ 4 \\ 5 \end{array}\right),$ $Formula: t \in \mathbb{R}$ $Formula: t \in \mathbb{R}$

Lage zeigen

Das Einsetzen von Formula: S in die Geradengleichung liefert:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\\[5pt] \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 -4t \\ 4t \\ 5t\end{array}\right) \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+\mathrm{t} \cdot\left(\begin{array}{c}-4 \\ 4 \\ 5\end{array}\right)\\[5pt] \left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)&=&\left(\begin{array}{l}4 -4t \\ 4t \\ 5t\end{array}\right) \end{array}$

Die erste und zweite Zeile liefern $Formula: t=\tfrac{1}{2}.$ $Formula: t=\tfrac{1}{2}.$ Einsetzen in die dritte Zeile liefert dann allerdings $Formula: 3=\tfrac{5}{2},$ $Formula: 3=\tfrac{5}{2},$ was nicht stimmt. Somit besitzt die Gleichung keine Lösung und Formula: S liegt nicht auf der Geraden.

Für das Volumen des Quaders gilt:

$Formula: V_Q=4^2 \cdot 5=80$ $Formula: V_Q=4^2 \cdot 5=80$

Die Summe des Volumens der Pyramiden beträgt somit $Formula: 0,25 \cdot 80 = 20.$ $Formula: 0,25 \cdot 80 = 20.$

Es folgt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_1 +\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_2 &=&20 \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(3-k)+\dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(5-(3+k))&=&20 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{16} \\[5pt] 3-k+5-(3+k)&=&\dfrac{30}{8} &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] -2k&=&-\dfrac{10}{8} &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] k&=&\dfrac{5}{8} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_1 +\dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h_2 &=&20 \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(3-k)+\dfrac{1}{3} \cdot 4^2 \cdot(5-(3+k))&=&20 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\dfrac{3}{16} \\[5pt] 3-k+5-(3+k)&=&\dfrac{30}{8} &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] -2k&=&-\dfrac{10}{8} &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] k&=&\dfrac{5}{8} \end{array}$

Lösung 3B

Nachweis des Trapezes

Für die in der Grundfläche Formula: ABCD gegenüberliegenden Seiten Formula: AD und Formula: BC gilt:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{AD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OA} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{BC} &=& \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{BC} &=& \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{array}$

Die Vektoren $Formula: \overrightarrow{AD}$ $Formula: \overrightarrow{AD}$ und $Formula: \overrightarrow{BC}$ $Formula: \overrightarrow{BC}$ sind kollinear, denn es gilt $Formula: \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}.$ $Formula: \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{BC}.$ Daher sind die Seiten Formula: AD und Formula: BC parallel und die Grundfläche Formula: ABCD ein Trapez.

Berechnung des Flächeninhalts

Die Längen der parallelen Seiten betragen

$Formula: \left| \overrightarrow{AD} \right| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{16} \; \text{LE} = 4 \; \text{LE}$ $Formula: \left| \overrightarrow{AD} \right| = \sqrt{0^2 + 4^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{16} \; \text{LE} = 4 \; \text{LE}$

und

$Formula: \left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{4} \; \text{LE} = 2 \; \text{LE}.$ $Formula: \left| \overrightarrow{BC} \right| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} \; \text{LE} = \sqrt{4} \; \text{LE} = 2 \; \text{LE}.$

Der Abstand dieser beiden parallelen Seiten und damit die Höhe des Trapezes beträgt $Formula: 5 \; \text{LE}.$ $Formula: 5 \; \text{LE}.$ Somit folgt für den Flächeninhalt des Trapezes:

$Formula: A = \dfrac{1}{2} \cdot ( 4 \; \text{LE} + 2 \; \text{LE} ) \cdot 5 \; \text{LE} = 15 \; \text{FE}$ $Formula: A = \dfrac{1}{2} \cdot ( 4 \; \text{LE} + 2 \; \text{LE} ) \cdot 5 \; \text{LE} = 15 \; \text{FE}$

Die Vektoren $Formula: \overrightarrow{CD}$ $Formula: \overrightarrow{CD}$ und $Formula: \overrightarrow{CS}$ $Formula: \overrightarrow{CS}$ berechnen sich mit:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} &=& \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CS} &=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CS} &=& \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OC} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \end{array}$

Damit folgt für die Länge der Vektoren:

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CD} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-5)^2+1^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CD} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-5)^2+1^2+0^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-3)^2+(-1)^2+4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \left| \overrightarrow{CS} \right| &=& \left| \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \right| \\[5pt] &=& \sqrt{ (-3)^2+(-1)^2+4^2} \\[5pt] &=& \sqrt{26} \end{array}$

Für das Skalarprodukt gilt somit:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{CS} &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& (-5) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 \\[5pt] &=& +15 - 1 + 0 \\[5pt] &=& 14 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{CD} \circ \overrightarrow{CS} &=& \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix} \\[5pt] &=& (-5) \cdot (-3) + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 4 \\[5pt] &=& +15 - 1 + 0 \\[5pt] &=& 14 \end{array}$

Daraus folgt für den eingeschlossenen Winkel:

$Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CS}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{14}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{26}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{7}{13} &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{7}{13}\right)\\[5pt] \alpha&\approx&57{,}42^\circ \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll}\cos(\alpha)&=&\dfrac{\overrightarrow{CD}\circ\overrightarrow{CS}}{\left|\overrightarrow{CD}\right|\cdot\left|\overrightarrow{CS}\right|}\\[5pt] \cos(\alpha) &=&\dfrac{14}{\sqrt{26}\cdot\sqrt{26}}\\[5pt] \cos(\alpha)&=&\dfrac{7}{13} &\quad \mid \cos^{-1} \\[5pt] \alpha&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{7}{13}\right)\\[5pt] \alpha&\approx&57{,}42^\circ \end{array}$

Die Gleichung $Formula: \mathrm{I}$ $Formula: \mathrm{I}$ beschreibt, dass der Punkt Formula: P auf der Geraden durch die Punkte Formula: C und Formula: S liegt. Die Gleichung $Formula: \mathrm{II}$ $Formula: \mathrm{II}$ bedeutet, dass der Vektor $Formula: \overrightarrow{DP}$ $Formula: \overrightarrow{DP}$ senkrecht zum Richtungsvektor $Formula: \overrightarrow{CS}$ $Formula: \overrightarrow{CS}$ steht. Damit ist Formula: P der Fußpunkt des Lotes von Formula: D auf die Gerade durch Formula: C und Formula: S.

Der Ortsvektor des Mittelpunkts $Formula: M_{\overline{DS}}$ $Formula: M_{\overline{DS}}$ der Strecke $Formula: \overline{DS}$ $Formula: \overline{DS}$ ist wie folgt gegeben:

$Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{OM_{\overline{DS}}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OS} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} \overrightarrow{OM_{\overline{DS}}} &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OS} \right) \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot \left( \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \right) \\[5pt] &=& \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{array}$

Also ist $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ $Formula: W(1 \mid 1 \mid 2)$ der Mittelpunkt der Strecke $Formula: \overline{DS}.$ $Formula: \overline{DS}.$ Da die Pyramide symmetrisch zur Formula: xz -Ebene liegt, gilt $Formula: T(1\mid-1\mid2).$ $Formula: T(1\mid-1\mid2).$

Die Punkte Formula: C und Formula: W sind bezüglich der Ebene Formula: H symmetrisch zueinander. Ein Normalenvektor der Ebene ist somit wie folgt gegeben:

$Formula: \overrightarrow{CW} = \overrightarrow{OW} - \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{CW} = \overrightarrow{OW} - \overrightarrow{OC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

Damit wird Formula: H durch eine Gleichung der Form Formula: -4x+2z=d beschrieben.

Da der Punkt $Formula: U(3{,}5 \mid 0{,}5 \mid 2)$ $Formula: U(3{,}5 \mid 0{,}5 \mid 2)$ in der Symmetrieebene Formula: H liegt, wird dieser Punkt in die Gleichung eingesetzt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} d&=& -4 \cdot 3,5 + 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& -14 + 4 \\[5pt] &=& -10 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} d&=& -4 \cdot 3,5 + 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& -14 + 4 \\[5pt] &=& -10 \end{array}$

Damit lautet eine Gleichung der Ebene Formula: H{:}-4x+2z=-10.

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