Stochastik

Aufgabe 2A

Eine Supermarktkette bietet für Personen, die bei ihr einkaufen, ein Treuepunktsystem an. Diese Personen werden im Folgenden als Kundenkreis bezeichnet. $Formula: 75\, \%$ $Formula: 75\, \%$ der Personen aus dem Kundenkreis der Supermarktkette sammeln Treuepunkte.

Aus dem Kundenkreis werden Formula: 10 Personen zufällig ausgewählt. Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der ausgewählten Personen, die Treuepunkte sammeln. Es soll davon ausgegangen werden, dass binomialverteilt ist.

Gib für die Platzhalter Formula: a, b und Formula: c in der folgenden Gleichung jeweils eine reelle Zahl an, sodass eine wahre Aussage über die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses im Sachzusammenhang entsteht, und beschreibe dieses Ereignis.

$Formula: P(X=a)=\binom{b}{3} \cdot c^3 \cdot 0,25^7$ $Formula: P(X=a)=\binom{b}{3} \cdot c^3 \cdot 0,25^7$

2 BE

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass weniger als Formula: 8 der ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

2 BE

Abbildung 1 zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße Formula: Y mit den Parametern Formula: n=10 und Formula: p=0,25.

Erläutere, wie man mithilfe von Abbildung 1 die Wahrscheinlichkeit dafür ermitteln kann, dass genau Formula: 6 der Formula: 10 ausgewählten Personen Treuepunkte sammeln.

Histogramm der Wahrscheinlichkeitsverteilung P(Y = k) mit höchsten Balken bei k = 2 und k = 3.

Abb. 1

2 BE

Von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, sind $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ weiblich. Der Anteil der weiblichen Personen unter den Personen aus dem Kundenkreis, die keine Treuepunkte sammeln, wird mit Formula: a bezeichnet. Das Baumdiagramm in Abbildung 2 stellt den Sachverhalt dar.

Aus dem Kundenkreis wird eine Person zufällig ausgewählt.

Baumdiagramm mit T/T̄ und Verzweigungen zu w/w̄; P(T)=75%, P(w|T)=80%, P(w|T̄)=a

Untersuche, ob die folgende Aussage wahr ist:

Unter der Annahme, dass gilt, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person weiblich ist und Treuepunkte sammelt, sechsmal so groß wie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die ausgewählte Person nicht weiblich ist und keine Treuepunkte sammelt.

3 BE

Der Anteil der nicht weiblichen Personen aus dem Kundenkreis beträgt $Formula: 30\,\%.$ $Formula: 30\,\%.$ Berechne den Anteil Formula: a.

3 BE

Ein Jahr später stellt sich der Sachverhalt wie folgt dar:

Weiterhin sammeln $Formula: 75\,\%$ $Formula: 75\,\%$ der Personen aus dem Kundenkreis Treuepunkte.
Weiterhin sind von den Personen aus dem Kundenkreis, die Treuepunkte sammeln, $Formula: 80\,\%$ $Formula: 80\,\%$ weiblich.
Der Wert von ist im Vergleich zum Vorjahr gestiegen.

Beurteile folgende Aussage:

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine aus dem Kundenkreis zufällig ausgewählte nicht weibliche Person Treuepunkte sammelt, ist größer als vor einem Jahr.

3 BE

Aufgabe 2B

Eine Playlist besteht aus einer großen Anzahl von Liedern, von denen $Formula: 32 \, \%$ $Formula: 32 \, \%$ Hip-Hop-Songs sind. Von allen Liedern der Playlist haben $Formula: 40 \, \%$ $Formula: 40 \, \%$ eine Länge von mindestens Minuten.

Ein Lied aus der Playlist wird zufällig ausgewählt. Folgende Ereignisse werden betrachtet:

$Formula: H{:}\;$ $Formula: H{:}\;$	„Das Lied ist ein Hip-Hop-Song.“
$Formula: L{:}\;$ $Formula: L{:}\;$	„Das Lied ist mindestens 4 Minuten lang.“

Ergänze die fehlenden Wahrscheinlichkeiten in der abgebildeten Vierfeldertafel.

	$Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{H}}$
$Formula: \boldsymbol{L}$ $Formula: \boldsymbol{L}$	$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$	$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$
$Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$ $Formula: \boldsymbol{\overline{L}}$
$Formula: \quad\quad$ $Formula: \quad\quad$

2 BE

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens Formula: 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist.

2 BE

Aus der Playlist werden Formula: 20 Lieder zufällig ausgewählt und nacheinander abgespielt. Die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter den ausgewählten Liedern kann durch eine binomialverteilte Zufallsgröße beschrieben werden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als Formula: 5 dieser Lieder Hip-Hop-Songs sind.

2 BE

Beschreibe die Bedeutung der folgenden mathematischen Aussage im Sachzusammenhang:

$Formula: \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$ $Formula: \displaystyle\sum_{k=0}^{8} \binom{20}{k} \cdot 0{,}32^k \cdot 0{,}68^{20-k} \approx 0{,}843$

3 BE

Die Längen der ersten fünf Lieder sind in der folgenden Tabelle dargestellt. So hat beispielsweise das erste Lied eine Länge von Formula: 4 Minuten und Formula: 45 Sekunden.

$Formula: {}\hspace{0.7em}$ $Formula: {}\hspace{0.7em}$ Nummer $Formula: {}\hspace{0.7em}$ $Formula: {}\hspace{0.7em}$
Länge

Die ersten sechs Lieder haben eine durchschnittliche Länge von Formula: 4 Minuten und Formula: 5 Sekunden. Bestimme die Länge des sechsten Liedes.

3 BE

Die fünf Lieder, deren Längen in der Tabelle dargestellt sind, sollen in veränderter Reihenfolge abgespielt werden, jedes Lied genau einmal. Dabei soll die folgende Regel gelten: Lieder, die eine Länge von weniger als Formula: 4 Minuten haben, werden nicht direkt nacheinander abgespielt.

Ermittle die Anzahl der Möglichkeiten, diese fünf Lieder unter Einhaltung der Regel abzuspielen.

3 BE

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Lösung 2A

Für Formula: a=3, Formula: b=10 und Formula: c=0{,}75 ergibt sich das Ereignis, dass genau drei Personen Treuepunkte sammeln.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_{0,75}^{10}(X\lt8)&=&P_{0,75}^{10}(X\leq7) \\[5pt] &\approx&0{,}474 \\[5pt] &=& 47{,}4 \% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_{0,75}^{10}(X\lt8)&=&P_{0,75}^{10}(X\leq7) \\[5pt] &\approx&0{,}474 \\[5pt] &=& 47{,}4 \% \end{array}$

Wegen $Formula: P_{0,75}^{10}(X=6)=P_{0,25}^{10}(Y=4)$ $Formula: P_{0,75}^{10}(X=6)=P_{0,25}^{10}(Y=4)$ entspricht in der Abbildung 1 der Wert für Formula: k=4 der gesuchten Wahrscheinlichkeit.

Für die Wahrscheinlichkeit, dass die ausgewählte Person weiblich ist und Treuepunkte sammelt, gilt:

$Formula: 0{,}75\cdot0{,}8=0{,}6$ $Formula: 0{,}75\cdot0{,}8=0{,}6$

Mit Formula: a=0{,}6 ergibt sich für die andere Wahrscheinlichkeit:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} (1-0{,}75)\cdot(1-a)&=&0{,}25\cdot(1-0{,}6) \\[5pt] &=& 0{,}1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} (1-0{,}75)\cdot(1-a)&=&0{,}25\cdot(1-0{,}6) \\[5pt] &=& 0{,}1 \end{array}$

Da $Formula: 6\cdot0{,}1=0{,}6$ $Formula: 6\cdot0{,}1=0{,}6$ gilt, ist die Aussage somit wahr.

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0{,}75 \cdot 0{,}2+(1-0{,}75)\cdot(1-a)&=&0{,}3 \\[5pt] 0{,}4-0{,}25a&=&0{,}3 &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}4\\[5pt] -0{,}25a&=&-0{,}1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\,(-4)\\[5pt] a&=&0{,}4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} 0{,}75 \cdot 0{,}2+(1-0{,}75)\cdot(1-a)&=&0{,}3 \\[5pt] 0{,}4-0{,}25a&=&0{,}3 &\quad\scriptsize\mid\;-0{,}4\\[5pt] -0{,}25a&=&-0{,}1 &\quad\scriptsize\mid\;\cdot\,(-4)\\[5pt] a&=&0{,}4 \end{array}$

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P(\overline{w}\cap T)}{P(\overline{w})} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}75 \cdot 0{,}2}{0{,}75 \cdot 0{,}2+0{,}25 \cdot(1-a)} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}15}{0{,}4-0{,}25a} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P_\overline{w}(T)&=&\dfrac{P(\overline{w}\cap T)}{P(\overline{w})} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}75 \cdot 0{,}2}{0{,}75 \cdot 0{,}2+0{,}25 \cdot(1-a)} \\[5pt] &=&\dfrac{0{,}15}{0{,}4-0{,}25a} \end{array}$

Wenn der Wert von Formula: a steigt, dann nimmt der Wert des Nenners ab und daher der Wert des Quotienten zu. Somit ist die Aussage wahr.

Lösung 2B

$Formula: \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \phantom{00000} & \phantom{00}H\phantom{00} & \phantom{00}\overline{H}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline L & 0{,}14 & 0{,}26 & 0{,}40 \\ \hline \overline{L} & 0{,}18 & 0{,}42 & 0{,}60 \\ \hline & 0{,}32 & 0{,}68 & 1 \\ \hline\end{array}$ $Formula: \begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \phantom{00000} & \phantom{00}H\phantom{00} & \phantom{00}\overline{H}\phantom{00} & \phantom{00000} \\ \hline L & 0{,}14 & 0{,}26 & 0{,}40 \\ \hline \overline{L} & 0{,}18 & 0{,}42 & 0{,}60 \\ \hline & 0{,}32 & 0{,}68 & 1 \\ \hline\end{array}$

$Formula: \begin{array}{rcll} P_{H}(L) &=& \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \\[5pt] &\approx& 0{,}438 \\[5pt] &=& 43,8\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P_{H}(L) &=& \dfrac{P(L \cap H)}{P(H)} \\[5pt] &=& \dfrac{0{,}14}{0{,}32} \\[5pt] &\approx& 0{,}438 \\[5pt] &=& 43,8\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das ausgewählte Lied mindestens Formula: 4 Minuten lang ist, wenn bekannt ist, dass es ein Hip-Hop-Song ist, beträgt ungefähr $Formula: 43{,}8 \, \%.$ $Formula: 43{,}8 \, \%.$

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Anzahl der Hip-Hop-Songs unter Formula: 20 zufällig ausgewählten Liedern und ist binomialverteilt mit Formula: n=20 und Formula: p=0,32. Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}32}^{20}(X > 5) &=& 1 - P_{0{,}32}^{20}(X \leq 5) \\[5pt] &\approx& 1 - 0{,}343 \\[5pt] &=& 0{,}657 \\[5pt] &=& 65,7\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rcll} P_{0{,}32}^{20}(X > 5) &=& 1 - P_{0{,}32}^{20}(X \leq 5) \\[5pt] &\approx& 1 - 0{,}343 \\[5pt] &=& 0{,}657 \\[5pt] &=& 65,7\,\% \end{array}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mehr als Formula: 5 der zufällig ausgewählten Lieder Hip-Hop-Songs sind, beträgt also ungefähr $Formula: 65{,}7 \, \%.$ $Formula: 65{,}7 \, \%.$

Die Aussage beschreibt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den Formula: 20 ausgewählten Liedern höchstens Formula: 8 Hip-Hop-Songs sind, ungefähr $Formula: 84{,}3 \, \%$ $Formula: 84{,}3 \, \%$ beträgt.

Die ersten fünf Lieder haben zusammen die folgende Länge in Minuten:

Formula: 4{:}45 + 3{:}56 + 3{:}35 + 4{:}36 + 4{:}08 = 21{:}00

Das entspricht $Formula: 21 \cdot 60 = 1260$ $Formula: 21 \cdot 60 = 1260$ Sekunden. Da die ersten sechs Lieder eine durchschnittliche Länge von Formula: 4{:}05 Minuten haben, entsprechen die ersten sechs Lieder insgesamt $Formula: 6 \cdot (4\cdot60+5) = 1470$ $Formula: 6 \cdot (4\cdot60+5) = 1470$ Sekunden. Die Länge des sechsten Liedes beträgt daher Formula: 1470 - 1260 = 210 Sekunden. Das entspricht $Formula: \tfrac{210}{60} = 3{,}5$ $Formula: \tfrac{210}{60} = 3{,}5$ Minuten bzw. Formula: 3{:}30 Minuten.

Von den fünf Liedern sind genau zwei kürzer als Formula: 4 Minuten. Diese beiden kurzen Lieder dürfen nicht direkt nacheinander abgespielt werden. Zunächst werden die drei längeren Lieder in einer Reihenfolge angeordnet. Dafür gibt es $Formula: 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ $Formula: 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ Möglichkeiten.

Durch die drei längeren Lieder entstehen vier mögliche Plätze für die beiden kurzen Lieder: vor dem ersten langen Lied, zwischen dem ersten und zweiten langen Lied, zwischen dem zweiten und dritten langen Lied sowie nach dem dritten langen Lied. Damit die beiden kurzen Lieder nicht direkt nebeneinander stehen, müssen sie auf zwei verschiedene dieser Plätze verteilt werden. Die Anzahl der Möglichkeiten ergibt sich wie folgt:

$Formula: \binom{4}{2} = {24}{4} = 6$ $Formula: \binom{4}{2} = {24}{4} = 6$

Da die beiden kurzen Lieder untereinander noch vertauscht werden können, gibt es für ihre Reihenfolge $Formula: 2! = 2 \cdot 1 = 2$ $Formula: 2! = 2 \cdot 1 = 2$ Möglichkeiten. Insgesamt ergeben sich somit $Formula: 6 \cdot 6 \cdot 2 = 72$ $Formula: 6 \cdot 6 \cdot 2 = 72$ Möglichkeiten.

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