Pool 1

HMF 1 – Analysis

Gegeben ist die Funktion Formula: f mit Formula: f(x)=-2x^2+8x-3.

1.1

Gib die Koordinaten des Punktes an, in dem der Graph von Formula: f die Formula: y -Achse schneidet.

1 BE

1.2

Der Graph von Formula: f besitzt genau einen Extrempunkt.

Berechne die Koordinaten des Extrempunkts und zeige, dass dieser auf der Geraden mit der Gleichung Formula: y=4x-3 liegt.

4 BE

HMF 2 – Analysis

Für $Formula: x\gt0$ $Formula: x\gt0$ ist die Funktion Formula: F gegeben durch $Formula: F(x)=4\cdot\sqrt{x}=4\cdot x^{\tfrac{1}{2}}.$ $Formula: F(x)=4\cdot\sqrt{x}=4\cdot x^{\tfrac{1}{2}}.$

Die Funktion Formula: f ist die Ableitungsfunktion von Formula: F.

2.1

Gib einen Funktionsterm von Formula: f an.

1 BE

2.2

Die Abbildung zeigt den Graphen von Formula: f.

Berechne den Wert $Formula: b\gt1$ $Formula: b\gt1$ so, dass der Inhalt der eingefärbten Fläche den Wert Formula: 8 hat.

Graph einer fallenden Funktion f mit schattierter Fläche zwischen x=1 und x=b.

4 BE

HMF 3 – Analytische Geometrie

Gegeben sind die Gerade $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ $Formula: g:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}-4\\2\\-2\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\-1\\2\end{pmatrix}$ mit $Formula: t\in\mathbb{R}$ $Formula: t\in\mathbb{R}$ und die Ebene Formula: E:-2x_1-x_2+2x_3-2=0.

3.1

Begründe, dass Formula: g senkrecht zu Formula: E steht, und zeige, dass der Punkt $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ $Formula: P(-4\mid2\mid-2)$ in liegt.

2 BE

3.2

Bestimme die Koordinaten eines Punktes auf Formula: g, der zu Formula: E den Abstand Formula: 12 hat.

3 BE

HMF 4 – Stochastik

Betrachtet wird die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X mit den Parametern Formula: n=36 und Formula: p=0{,}5.

4.1

Gib einen Term an, mit dem die Wahrscheinlichkeit Formula: P(X=27) berechnet werden kann.

1 BE

4.2

Die Abbildung zeigt die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Formula: X.

Balkendiagramm: Wahrscheinlichkeitsverteilung P(X=k), glockenförmig, Spitze bei k ≈ 17–18, x-Achse 0–36

Ermittle einen Näherungswert für $Formula: P(\mu-0{,}5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0{,}5\cdot\sigma),$ $Formula: P(\mu-0{,}5\cdot\sigma\leq X\leq\mu+0{,}5\cdot\sigma),$ wobei $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ der Erwartungswert und $Formula: \sigma$ $Formula: \sigma$ die Standardabweichung von Formula: X sind.

4 BE

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HMF 1 – Analysis

1.1

$Formula: (0\mid-3)$ $Formula: (0\mid-3)$

1.2

Für die ersten Ableitung von Formula: f gilt:

Formula: f'(x)=-4x+8

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] -4x+8&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-8 \\[5pt] -4x&=&-8 &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt] x&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] -4x+8&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-8 \\[5pt] -4x&=&-8 &\quad\scriptsize\mid\;:(-4) \\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Da die Funktion genau einen Extrempunkt besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden. Für die Formula: y -Koordinate des Extrempunkts folgt somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(2)&=&-2\cdot2^2+8\cdot2-3 \\[5pt] &=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(2)&=&-2\cdot2^2+8\cdot2-3 \\[5pt] &=&5 \end{array}$

Die Koordinaten des Extrempunkts sind somit durch $Formula: (2\mid5)$ $Formula: (2\mid5)$ gegeben. Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 5&=&4\cdot2-3 \\[5pt] 5&=&5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5&=&4\cdot2-3 \\[5pt] 5&=&5 \end{array}$

Damit liegt der Punkt auf der Geraden.

HMF 2 – Analysis

2.1

$Formula: f(x)=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\tfrac{1}{2}}=2x^{-\tfrac{1}{2}}$ $Formula: f(x)=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\tfrac{1}{2}}=2x^{-\tfrac{1}{2}}$

2.2

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_1^b f(x)\,\mathrm dx&=&8 \\[5pt] \left[4\sqrt{x}\right]_1^b&=&8 \\[5pt] 4\sqrt{b}-4\sqrt{1}&=&8 &\quad\scriptsize\mid\;+4 \\[5pt] 4\sqrt{b}&=&12 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \sqrt{b}&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] b&=&9 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_1^b f(x)\,\mathrm dx&=&8 \\[5pt] \left[4\sqrt{x}\right]_1^b&=&8 \\[5pt] 4\sqrt{b}-4\sqrt{1}&=&8 &\quad\scriptsize\mid\;+4 \\[5pt] 4\sqrt{b}&=&12 &\quad\scriptsize\mid\;:4 \\[5pt] \sqrt{b}&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;^2 \\[5pt] b&=&9 \end{array}$

HMF 3 – Analytische Geometrie

3.1

Lage von $Formula: \boldsymbol{g}$ $Formula: \boldsymbol{g}$ begründen

Der Vektor $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c}-2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ ist sowohl Richtungsvektor von Formula: g als auch Normalenvektor von Formula: E, somit steht senkrecht zu Formula: E.

Lage von $Formula: \boldsymbol{P}$ $Formula: \boldsymbol{P}$ zeigen

Einsetzen der Koordinaten von Formula: P in die Ebenengleichung von Formula: E ergibt:

$Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$ $Formula: -2 \cdot(-4)-2+2 \cdot(-2)-2=0$

Somit liegt Formula: P in Formula: E.

3.2

Der Ortsvektor von Formula: g ergibt sich durch den Punkt Formula: P, der nach Teilaufgabe a in Formula: E liegt. Für die Länge des Richtungsvektors von gilt:

$Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$ $Formula: \left|\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right)\right|=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2+2^2}=3$

Da der Richtungsvektor von Formula: g orthogonal zu Formula: E steht, liefert Formula: t=4 den Ortsvektor eines geeigneten Punktes:

$Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$ $Formula: \left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+4\cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ 2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -12 \\ -2 \\ 6 \end{array}\right)$

Die Koordinaten des gesuchten Punktes sind somit z.B. gegeben durch $Formula: (-12\mid-2\mid6).$ $Formula: (-12\mid-2\mid6).$

HMF 4 – Stochastik

4.1

$Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$ $Formula: \dbinom{36}{27} \cdot 0,5^{27} \cdot 0,5^9$

4.2

Es gilt:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \mu&=&n\cdot p \\[5pt] &=&36\cdot0,5 \\[5pt] &=&18 \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \sigma&=&\sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)} \\[5pt] &=&\sqrt{18\cdot0,5} \\[5pt] &=&3 \end{array}$

Damit ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} P(\mu-0,5 \cdot \sigma \leq X \leq \mu+0,5 \cdot \sigma)&=&P(17 \leq X \leq 19) \\[5pt] &\approx&0,13+2\cdot0,125 \\[5pt] &=&0,38 \\[5pt] &=&38\,\% \end{array}$

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