Pool 2

HMF 5 – Analysis

Die Abbildung zeigt den Graphen der Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\mathrm e^{-0{,}5x}$ $Formula: f(x)=\mathrm e^{-0{,}5x}$ und $Formula: x\in\mathbb{R}.$ $Formula: x\in\mathbb{R}.$

Die Graphen der Funktionen Formula: g, Formula: h und Formula: k entstehen durch Spiegelungen des Graphen von Formula: f an den Koordinatenachsen.

Schattierte Fläche zwischen den Graphen f, g, h und k im Koordinatensystem.

5.1

Gib einen Funktionsterm von Formula: g an.

1 BE

5.2

Die grau markierte, unendlich ausgedehnte Fläche wird von den vier Graphen von Formula: f, Formula: g, Formula: h und Formula: k begrenzt.

Berechne den Inhalt dieser Fläche.

4 BE

HMF 6 – Analysis

Gegeben ist die Funktion Formula: f mit $Formula: f(x)=\sin(x)+\cos(2x)$ $Formula: f(x)=\sin(x)+\cos(2x)$ und $Formula: x\in\mathbb{R}.$ $Formula: x\in\mathbb{R}.$

6.1

Gib $Formula: f(\pi)$ $Formula: f(\pi)$ an.

1 BE

6.2

Es gibt natürliche Zahlen Formula: n, sodass der Graph von Formula: f im Punkt $Formula: P\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\mid f\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)\right)$ $Formula: P\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\mid f\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)\right)$ eine waagerechte Tangente hat.

Ermittle alle diese Zahlen Formula: n.

4 BE

HMF 7 – Analytische Geometrie

Gegeben sind die Punkte $Formula: A(1\mid1\mid1)$ $Formula: A(1\mid1\mid1)$ und $Formula: B(0\mid2\mid5)$ $Formula: B(0\mid2\mid5)$ sowie für jedes $Formula: k\in\mathbb{R}$ $Formula: k\in\mathbb{R}$ die Gerade

$Formula: g_k:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\k\end{pmatrix}$ $Formula: g_k:\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\k\end{pmatrix}$ mit $Formula: t\in\mathbb{R}.$ $Formula: t\in\mathbb{R}.$

7.1

Es gibt einen Wert für Formula: k, so dass der Punkt Formula: A auf der Geraden Formula: g_k liegt.

Ermittle diesen Wert.

2 BE

7.2

Im Weiteren ist Formula: k=4.

Berechne die Koordinaten eines Punktes Formula: C auf Formula: g_4, so dass das Dreieck Formula: ABC im Punkt Formula: B rechtwinklig ist.

3 BE

HMF 8 – Analytische Geometrie

Betrachtet werden die Dreiecke Formula: AB_sC_t mit $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: A(0\mid0\mid0),$ $Formula: B_s(4s\mid3s\mid0)$ $Formula: B_s(4s\mid3s\mid0)$ und $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ $Formula: C_t(0\mid0\mid t)$ mit $Formula: s\gt0$ $Formula: s\gt0$ und $Formula: t\gt0.$ $Formula: t\gt0.$

8.1

Begründe, dass jedes Dreieck Formula: AB_sC_t im Punkt rechtwinklig ist.

2 BE

8.2

Zu jedem Wert von Formula: s gibt es einen Wert von Formula: t, so dass das Dreieck Formula: AB_sC_t gleichschenklig ist.

Zeige, dass die zugehörigen Punkte $Formula: (s\mid t)$ $Formula: (s\mid t)$ auf der in der Abbildung dargestellten Geraden liegen.

3 BE

HMF 9 – Stochastik

In einem Behälter befinden sich fünf Kugeln, die jeweils mit einer natürlichen Zahl beschriftet sind. Auf drei der Kugeln steht die Zahl Formula: a, auf den beiden anderen Kugeln die Zahl Formula: b. Die Summe von und ist Formula: 17. Es werden zwei Kugeln gleichzeitig zufällig entnommen.

9.1

Gib im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit mit dem Term $Formula: 1-\tfrac25\cdot\tfrac14$ $Formula: 1-\tfrac25\cdot\tfrac14$ berechnet werden kann.

1 BE

9.2

Die Zufallsgröße Formula: X beschreibt die Summe der Zahlen auf den beiden entnommenen Kugeln. Der Erwartungswert von ist Formula: 16.

Bestimme Formula: a und Formula: b.

4 BE

HMF 10 – Stochastik

Die Abbildung zeigt die Netze zweier Würfel Formula: A und Formula: B.

Kreuzförmige Anordnung weißer Quadrate mit grauen Zahlen 3 und 5

Würfel Formula: A

Würfelnetz aus sechs Quadraten, vier mit Zahl 4, zwei mit Zahl 1.

Würfel Formula: B

Bei einem Spiel wird pro Runde jeder der beiden Würfel einmal geworfen.

10.1

Es werden zwei Runden gespielt.

Ermittle die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei beiden Runden mit Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt wird als mit Würfel Formula: B.

3 BE

10.2

Nun werden vier Runden gespielt. Für jede Runde wird die Summe der beiden erzielten Zahlen berechnet. Betrachtet wird das Ereignis „Alle vier Summen sind untereinander verschieden.“

Gib jeweils eine natürliche Zahl für Formula: v und Formula: w an, sodass mit dem Term $Formula: v\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^w\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^2$ $Formula: v\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^w\cdot\left(\tfrac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\tfrac{2}{3}\right)^2$ die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses berechnet werden kann.

2 BE

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HMF 5 – Analysis

5.1

$Formula: g(x)=\mathrm e^{-0{,}5\cdot(-x)}=\mathrm e^{0{,}5x}$ $Formula: g(x)=\mathrm e^{-0{,}5\cdot(-x)}=\mathrm e^{0{,}5x}$

5.2

Da die Graphen der Funktionen Formula: g,h und Formula: k durch Spiegelungen des Graphen von Formula: f entstehen, ergibt sich die gesuchte Fläche durch die Symmetrien wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} A&=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(\displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm dx\right) \\[5pt] &=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(\displaystyle\int_0^a \mathrm e^{-0{,}5x}\,\mathrm dx\right) \\[5pt] &=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(\left[-2\mathrm e^{-0{,}5x}\right]_0^a\right) \\[5pt] &=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(-2\mathrm e^{-0{,}5a}-(-2\mathrm e^{-0{,}5\cdot0})\right) \\[5pt] &=&4\cdot(0+2) \\[5pt] &=&8\;[\text{FE}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} A&=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(\displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm dx\right) \\[5pt] &=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(\displaystyle\int_0^a \mathrm e^{-0{,}5x}\,\mathrm dx\right) \\[5pt] &=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(\left[-2\mathrm e^{-0{,}5x}\right]_0^a\right) \\[5pt] &=&4\cdot \lim\limits_{a\to\infty}\left(-2\mathrm e^{-0{,}5a}-(-2\mathrm e^{-0{,}5\cdot0})\right) \\[5pt] &=&4\cdot(0+2) \\[5pt] &=&8\;[\text{FE}] \end{array}$

HMF 6 – Analysis

6.1

$Formula: \begin{array}{rlll} f(\pi)&=&\sin(\pi)+\cos(2\cdot\pi) \\[5pt] &=&0+1 \\[5pt] &=&1 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(\pi)&=&\sin(\pi)+\cos(2\cdot\pi) \\[5pt] &=&0+1 \\[5pt] &=&1 \end{array}$

6.2

Für die erste Ableitung von Formula: f gilt:

$Formula: f'(x)=\cos(x)-2\cdot\sin(2x)$ $Formula: f'(x)=\cos(x)-2\cdot\sin(2x)$

Nullsetzen der Steigung im Punkt Formula: P liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)&=&0 \\[5pt] \cos\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)-2\sin(n\pi)&=&0 \\[5pt] \cos\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)&=&0 \\[5pt] \cos\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)-2\sin(n\pi)&=&0 \\[5pt] \cos\left(n\cdot\tfrac{\pi}{2}\right)&=&0 \end{array}$

Das gilt genau dann, wenn Formula: n ungerade ist, das heißt nur für diese Werte besitzt der Graph von Formula: f dort eine waagerechte Tangente.

HMF 7 – Analytische Geometrie

7.1

Gleichsetzen des Ortsvektors von Formula: A mit der Geradengleichung liefert drei Gleichungen der einzelnen Koordinaten. Die Formula: x -Koordinate liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&2+2t &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -1&=&2t &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] -0,5&=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&2+2t &\quad\scriptsize\mid\;-2 \\[5pt] -1&=&2t &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] -0,5&=&t \end{array}$

Einsetzen in die Formula: y -Koordinate liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&3+4\cdot(-0,5) &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -2&=&-2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&3+4\cdot(-0,5) &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -2&=&-2 \end{array}$

Dieser Wert von Formula: t ist also passend für die ersten beiden Koordinaten. Mit der Formula: z -Koordinate folgt dann für Formula: k:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&3-0,5k &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -2&=&-0,5k &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] 4&=&k \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&3-0,5k &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -2&=&-0,5k &\quad\scriptsize\mid\;\cdot(-2) \\[5pt] 4&=&k \end{array}$

Der Punkt Formula: A liegt somit für Formula: k=4 auf der Geraden.

7.2

Mit den allgemeinen Koordinaten eines Punktes auf Formula: g_4 folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{BC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{0-1\\2-1\\5-1}\circ\pmatrix{2+2t-0\\3+4t-2\\3+4t-5}&=&0 \\[5pt] -2-2t+1+4t-8+16t&=&0 \\[5pt] 18t-9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+9 \\[5pt] 18t&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;:18 \\[5pt] t&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \overrightarrow{AB}\circ\overrightarrow{BC}&=&0 \\[5pt] \pmatrix{0-1\\2-1\\5-1}\circ\pmatrix{2+2t-0\\3+4t-2\\3+4t-5}&=&0 \\[5pt] -2-2t+1+4t-8+16t&=&0 \\[5pt] 18t-9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+9 \\[5pt] 18t&=&9 &\quad\scriptsize\mid\;:18 \\[5pt] t&=&\dfrac{1}{2} \end{array}$

Einsetzen in die Geradengleichung liefert:

$Formula: \overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}+\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\\5\end{pmatrix}$ $Formula: \overrightarrow{OC}=\begin{pmatrix}2\\3\\3\end{pmatrix}+\dfrac12\cdot\begin{pmatrix}2\\4\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\5\\5\end{pmatrix}$

Die gesuchten Koordinaten von Formula: C betragen somit $Formula: C(3\mid5\mid5).$ $Formula: C(3\mid5\mid5).$

HMF 8 – Analytische Geometrie

8.1

Die Seite $Formula: \overline{AB_s}$ $Formula: \overline{AB_s}$ liegt in der Formula: xy -Ebene und die Seite $Formula: \overline{AC_t}$ $Formula: \overline{AC_t}$ liegt auf der Formula: z -Achse.

8.2

Es kann aus der Abbildung abgelesen werden, dass die Gerade die Gleichung Formula: t=5s hat. Für die folgenden Werte ist das Dreieck gleichschenklig:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll}\left\vert\overline{AB_s}\right\vert&=&\left\vert\overline{AC_t}\right\vert \\[5pt] \sqrt{(4 s)^2+(3 s)^2}&=&t \\[5pt] \sqrt{25s^2}&=&t \\[5pt] 5s &=&t \end{array}$

Somit liegen die Punkte auf der dargestellten Geraden.

HMF 9 – Stochastik

9.1

Es wird höchstens eine Kugel mit der Zahl Formula: b entnommen.

9.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 2 a+2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{4} \cdot 17+\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} \cdot 2b&=&16 \\[5pt] \dfrac{12}{20}a +17\cdot \dfrac{12}{20}+\dfrac{1}{5}\cdot(17-a)&=&16 \quad\scriptsize\mid\;\cdot 5\\[5pt] 2a+68&=&80 \quad\scriptsize\mid\;-68 \\[5pt] 2a&=& 12 \quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] a &=& 6 \end{array}$

Damit ergibt sich Formula: b=17-6=11.

HMF 10 – Stochastik

10.1

Würfel Formula: A erzielt immer eine größere Zahl als der Würfel Formula: B, wenn dieser eine Formula: 1 erzielt. Wenn der Würfel allerdings eine Formula: 4 erzielt, dann benötigt der Würfel eine Formula: 5, um eine größere Zahl zu erzielen. Für den ersten Wurf ergibt sich somit für die Wahrscheinlichkeit, dass Würfel Formula: A eine größere Zahl erzielt als Würfel Formula: B:

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} \dfrac{2}{6}\cdot1+\dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{6}&=&\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3} \end{array}$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit als $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$ $Formula: \left(\tfrac{2}{3}\right)^2=\tfrac{4}{9}.$

10.2

$Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rlll} v&=&24 \\[5pt] w&=&4 \end{array}$

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