Stochastik 2

Von einem Süßwarenhersteller werden Fruchtgummis mit verschiedenen Geschmacksrichtungen und Formen produziert.

$Formula: 18\,\%$ $Formula: 18\,\%$ aller Fruchtgummis haben Kirschgeschmack ( Formula: K ).

$Formula: 42\,\%$ $Formula: 42\,\%$ aller Fruchtgummis haben eine Tierform ( Formula: T ).

$Formula: 35\,\%$ $Formula: 35\,\%$ aller Fruchtgummis haben eine Tierform, aber keinen Kirschgeschmack.

a1)

Stelle den Sachverhalt in einer vollständig ausgefüllten Vierfeldertafel dar.

3 BE

a2)

Untersuche, ob der Anteil der Fruchtgummis mit Tierform unter den Fruchtgummis mit Kirschgeschmack größer ist als der Anteil der Fruchtgummis mit Tierform unter den Fruchtgummis ohne Kirschgeschmack.

3 BE

Alle produzierten Fruchtgummis werden zufällig auf Verpackungen mit einem Inhalt von jeweils Formula: 50 Stück aufgeteilt. Für eine solche Verpackung beschreibt die binomialverteilte Zufallsgröße Formula: X die Anzahl der darin enthaltenen Fruchtgummis mit Kirschgeschmack.

a3)

Berechne $Formula: P_{0{,}18}^{50}(X\gt10).$ $Formula: P_{0{,}18}^{50}(X\gt10).$

2 BE

a4)

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Verpackung weniger Fruchtgummis mit Kirschgeschmack enthält als die Hälfte des Erwartungswerts von Formula: X.

3 BE

In einer bestimmten Verpackung mit Formula: 50 Fruchtgummis befinden sich genau Formula: 6 Fruchtgummis mit Fledermausform. Aus dieser Verpackung sollen ohne Zurücklegen Formula: n Fruchtgummis zufällig entnommen werden.

b1)

Berechne für Formula: n=8 die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau zwei Fruchtgummis mit Fledermausform entnommen werden.

2 BE

b2)

Bestimme den maximalen Wert für Formula: n, so dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens ein Fruchtgummi mit Fledermausform entnommen wird, größer als $Formula: 90\,\%$ $Formula: 90\,\%$ ist.

4 BE

In einer geöffneten Verpackung befinden sich nur noch vier Fruchtgummis, davon genau eines mit Kirschgeschmack. In vier aufeinander folgenden Zügen, Zug 1 bis Zug 4, wird der Verpackung jeweils ein Fruchtgummi zufällig entnommen, so dass diese danach leer ist.

Untersucht werden die folgenden zwei Zufallsgrößen.

Formula: Z: Nummer des Zuges, in dem das Fruchtgummi mit Kirschgeschmack entnommen wird

$Formula: Z^*:\left\{\begin{array}{l}\text { Null, falls das Fruchtgummi mit Kirschgeschmack bereits in Zug } 1 \\\text { entnommen wird } \\\text { Nummer des Zuges vor dem Zug, in dem das Fruchtgummi mit Kirschgeschmack } \\\text { entnommen wird, falls dies in Zug 2, Zug } 3 \text { oder Zug } 4 \text { geschieht }\end{array}\right.$ $Formula: Z^*:\left\{\begin{array}{l}\text { Null, falls das Fruchtgummi mit Kirschgeschmack bereits in Zug } 1 \\\text { entnommen wird } \\\text { Nummer des Zuges vor dem Zug, in dem das Fruchtgummi mit Kirschgeschmack } \\\text { entnommen wird, falls dies in Zug 2, Zug } 3 \text { oder Zug } 4 \text { geschieht }\end{array}\right.$

Formula: Z^*:

Weise rechnerisch für die Erwartungswerte nach, dass Formula: E(Z)=E(Z^*)+1 gilt.

3 BE

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

a1)

	$Formula: \boldsymbol{K}$ $Formula: \boldsymbol{K}$	$Formula: \boldsymbol{\overline K}$ $Formula: \boldsymbol{\overline K}$
$Formula: \boldsymbol{T}$ $Formula: \boldsymbol{T}$	$Formula: 7\,\%$ $Formula: 7\,\%$	$Formula: 35\,\%$ $Formula: 35\,\%$	$Formula: 42\,\%$ $Formula: 42\,\%$
$Formula: \boldsymbol{\overline T}$ $Formula: \boldsymbol{\overline T}$	$Formula: 11\,\%$ $Formula: 11\,\%$	$Formula: 47\,\%$ $Formula: 47\,\%$	$Formula: 58\,\%$ $Formula: 58\,\%$
	$Formula: 18\,\%$ $Formula: 18\,\%$	$Formula: 82\,\%$ $Formula: 82\,\%$	$Formula: 100\,\%$ $Formula: 100\,\%$

a2)

Für den Anteil der Fruchtgummis mit Tierform unter den Fruchtgummis mit Kirschgeschmack folgt mit der Vierfeldertafel:

$Formula: \dfrac{0{,}42-0{,}35}{0{,}18}\approx0{,}389=38,9\,\%$ $Formula: \dfrac{0{,}42-0{,}35}{0{,}18}\approx0{,}389=38,9\,\%$

Für den Anteil der Fruchtgummis mit Tierform unter den Fruchtgummis ohne Kirschgeschmack ergibt sich:

$Formula: \dfrac{0{,}35}{1-0{,}18}\approx0{,}427=42,7\,\%$ $Formula: \dfrac{0{,}35}{1-0{,}18}\approx0{,}427=42,7\,\%$

Der Anteil der Fruchtgummis mit Tierform ist unter den Fruchtgummis mit Kirschgeschmack somit nicht größer als der unter denen ohne Kirschgeschmack.

a3)

$Formula: \begin{array}{rlll} P_{0{,}18}^{50}(X\gt10)&=&1-P_{0{,}18}^{50}(X\leq10) \\[5pt] &\approx&1-0{,}719 \\[5pt] &=&0,281 \\[5pt] &=&28,1\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P_{0{,}18}^{50}(X\gt10)&=&1-P_{0{,}18}^{50}(X\leq10) \\[5pt] &\approx&1-0{,}719 \\[5pt] &=&0,281 \\[5pt] &=&28,1\,\% \end{array}$

a4)

Es gilt $Formula: E(X)=50\cdot0{,}18=9.$ $Formula: E(X)=50\cdot0{,}18=9.$ Für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} P_{0{,}18}^{50}(X\lt4{,}5)&=&P_{0{,}18}^{50}(X\leq4) \\[5pt] &\approx&0{,}040 \\[5pt] &=&4\,\% \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} P_{0{,}18}^{50}(X\lt4{,}5)&=&P_{0{,}18}^{50}(X\leq4) \\[5pt] &\approx&0{,}040 \\[5pt] &=&4\,\% \end{array}$

b1)

$Formula: \dfrac{\binom{44}{6}\cdot\binom62}{\binom{50}{8}}\approx0{,}197=19,7\,\%$ $Formula: \dfrac{\binom{44}{6}\cdot\binom62}{\binom{50}{8}}\approx0{,}197=19,7\,\%$

b2)

Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens ein Fruchtgummi mit Fledermausform entnommen wird, ist durch den folgenden Term gegeben:

$Formula: \dfrac{\binom{44}{n}\cdot\binom60}{\binom{50}{n}}+\dfrac{\binom{44}{n-1}\cdot\binom61}{\binom{50}{n}}$ $Formula: \dfrac{\binom{44}{n}\cdot\binom60}{\binom{50}{n}}+\dfrac{\binom{44}{n-1}\cdot\binom61}{\binom{50}{n}}$

Systematisches Ausprobieren mit dem Taschenrechner liefert:

$Formula: \dfrac{\binom{44}{4}\cdot\binom60}{\binom{50}{4}}+\dfrac{\binom{44}{3}\cdot\binom61}{\binom{50}{4}}\approx0,934\gt0,9$ $Formula: \dfrac{\binom{44}{4}\cdot\binom60}{\binom{50}{4}}+\dfrac{\binom{44}{3}\cdot\binom61}{\binom{50}{4}}\approx0,934\gt0,9$

$Formula: \dfrac{\binom{44}{5}\cdot\binom60}{\binom{50}{5}}+\dfrac{\binom{44}{4}\cdot\binom61}{\binom{50}{5}}\approx0,897\lt0,9$ $Formula: \dfrac{\binom{44}{5}\cdot\binom60}{\binom{50}{5}}+\dfrac{\binom{44}{4}\cdot\binom61}{\binom{50}{5}}\approx0,897\lt0,9$

Daher ist Formula: n=4 der maximale Wert.

Jeder mögliche Wert von Formula: Z bzw. Formula: Z^* tritt mit der gleichen Wahrscheinlichkeit von $Formula: \tfrac14$ $Formula: \tfrac14$ auf. Für Formula: E(Z) ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} E(Z)&=&1\cdot\dfrac14+2\cdot\dfrac14+3\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac14 \\[5pt] &=&2{,}5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} E(Z)&=&1\cdot\dfrac14+2\cdot\dfrac14+3\cdot\dfrac14+4\cdot\dfrac14 \\[5pt] &=&2{,}5 \end{array}$

Für Formula: E(Z^*) gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} E(Z^*)&=&0\cdot\dfrac14+1\cdot\dfrac14+2\cdot\dfrac14+3\cdot\dfrac14 \\[5pt] &=&1{,}5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} E(Z^*)&=&0\cdot\dfrac14+1\cdot\dfrac14+2\cdot\dfrac14+3\cdot\dfrac14 \\[5pt] &=&1{,}5 \end{array}$

Da Formula: 1{,}5+1=2{,}5, gilt somit Formula: E(Z)=E(Z^*)+1.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?