Analysis 2

Eine geschwungene Liege wird mithilfe von zwei Funktionsgraphen in einem Koordinatensystem modelliert, dessen Formula: x -Achse das Bodenniveau beschreibt. Die Funktionswerte geben die Höhe der Liege über dem Boden an.

Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 1\;\mathrm m$ $Formula: 1\;\mathrm m$ in der Wirklichkeit.

Geschwungene Holzliege auf einer Terrasse mit Blick aufs Meer

Im Beinbereich wird die Liege vom Graphen der Funktion Formula: f über dem Intervall Formula: [0;1{,}5] und im Rückenbereich vom Graphen der Funktion Formula: g über dem Intervall Formula: [1{,}5;2{,}6] modelliert. Die folgende Abbildung zeigt diese Modellierung. Der Punkt Formula: P liegt auf beiden Graphen.

Diagramm mit den Funktionen f und g sowie markiertem Punkt P(1,5|0,5625) und Bein- und Rückenbereich.

a1)

Gib anhand der Abbildung die Höhe der Liege an der Stelle Formula: x=1 an sowie diejenige Stelle, an der die Liege ihre Maximalhöhe von etwa $Formula: 1{,}2\;\mathrm m$ $Formula: 1{,}2\;\mathrm m$ erreicht.

2 BE

a2)

Zeichne die Gerade durch $Formula: (0\mid0)$ $Formula: (0\mid0)$ und Formula: P ein und berechne ihre Steigung.

2 BE

Die Funktion Formula: f ist gegeben durch $Formula: f(x)=0{,}8x^3-2{,}65x^2+2{,}55x.$ $Formula: f(x)=0{,}8x^3-2{,}65x^2+2{,}55x.$

b1)

Der Graph von Formula: f hat genau einen Hochpunkt.

Bestimme rechnerisch dessen Koordinaten.

4 BE

b2)

Berechne den Mittelwert der Höhe der Liege im Beinbereich.

3 BE

Die Funktion Formula: g ist gegeben durch $Formula: g(x)=-1{,}25x^3+7{,}5x^2+cx+d$ $Formula: g(x)=-1{,}25x^3+7{,}5x^2+cx+d$ mit zwei reellen Zahlen Formula: c und Formula: d. Für die Ableitungsfunktion Formula: g' gilt $Formula: g'(x)=-3{,}75x^2+15x+c.$ $Formula: g'(x)=-3{,}75x^2+15x+c.$

c1)

Formula: g hat eine Wendestelle.

Berechne diese und interpretiere sie im Sachzusammenhang.

3 BE

c2)

Beim Übergang vom Beinbereich in den Rückenbereich schließen die zugehörigen Graphen im Punkt Formula: P sprung- und knickfrei aneinander an.

Ermittle die Werte von Formula: c und Formula: d.

5 BE

Eine andere Modellierung der Liege im Rückenbereich kann mithilfe des Graphen der Funktion Formula: h mit $Formula: h(x)=0{,}5625+(2x-3)^2\cdot\mathrm e^{-2x+3}$ $Formula: h(x)=0{,}5625+(2x-3)^2\cdot\mathrm e^{-2x+3}$ erfolgen.

d1)

Begründe anhand des gegebenen Funktionsterms Formula: h(x), dass für alle $Formula: x\in\mathbb{R}$ $Formula: x\in\mathbb{R}$ die Aussage $Formula: h(x)\geq h(1{,}5)$ $Formula: h(x)\geq h(1{,}5)$ gilt.

3 BE

d2)

Weise nach, dass die Formula: x -Koordinate jedes Punktes, in dem der Graph von Formula: h eine waagerechte Tangente hat, im Intervall Formula: [1{,}5;2{,}6] liegt.

4 BE

d3)

Für $Formula: x\in[1{,}5;2{,}6]$ $Formula: x\in[1{,}5;2{,}6]$ soll die maximale prozentuale Abweichung $Formula: a_{\mathrm{max}}$ $Formula: a_{\mathrm{max}}$ des Wertes Formula: h(x) vom Wert Formula: g(x) bestimmt werden. Dazu wird die differenzierbare Funktion Formula: r mit

$Formula: r(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)}$ $Formula: r(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)}$ und $Formula: 1{,}5\leq x\leq2{,}6$ $Formula: 1{,}5\leq x\leq2{,}6$

definiert, und es werden die folgenden Rechenschritte durchgeführt:

Formula: (1)

$Formula: r'(x)=0\Leftrightarrow x=1{,}5\vee x=x_0\approx1{,}835\vee x=2{,}5$ $Formula: r'(x)=0\Leftrightarrow x=1{,}5\vee x=x_0\approx1{,}835\vee x=2{,}5$

Formula: (2)

$Formula: \boldsymbol{x}$ $Formula: \boldsymbol{x}$
$Formula: \boldsymbol{r(x)}$ $Formula: \boldsymbol{r(x)}$

Erläutere die Überlegungen, die diesen Rechenschritten zugrunde liegen, und begründe, dass $Formula: a_{\mathrm{max}}\approx9\,\%$ $Formula: a_{\mathrm{max}}\approx9\,\%$ gilt.

4 BE

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a1)

Die Höhe an der Stelle Formula: x=1 beträgt $Formula: 0{,}7\;\mathrm m.$ $Formula: 0{,}7\;\mathrm m.$ Für die Stelle der Maximalhöhe folgt mit der Abbildung Formula: x=2,5.

a2)

Graph mit den Funktionen f und g, Schnittpunkt P(1,5|0,5625) und markierten Grenzen.

Für die gesuchte Steigung folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{0{,}5625-0}{1{,}5-0}&=&\dfrac{0{,}5625}{1{,}5} \\[5pt] &=&0,375 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{0{,}5625-0}{1{,}5-0}&=&\dfrac{0{,}5625}{1{,}5} \\[5pt] &=&0,375 \end{array}$

b1)

Für die erste Ableitung von Formula: f ergibt sich:

$Formula: f'(x)=2{,}4x^2-5{,}3x+2{,}55$ $Formula: f'(x)=2{,}4x^2-5{,}3x+2{,}55$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f'(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 2{,}4x^2-5{,}3x+2{,}55&=&0 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f'(x)&=&0 \\[5pt] 2{,}4x^2-5{,}3x+2{,}55&=&0 \end{array}$

Mit der Formula: abc -Formel ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{5,3\pm\sqrt{(-5,3)^2-4\cdot2,4\cdot2,55}}{2\cdot2,4} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{5,3\pm\sqrt{3,61}}{4,8} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{5,3\pm1,9}{4,8} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{5,3+1,9}{4,8} \\[5pt] &=&1,5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{5,3-1,9}{4,8} \\[5pt] &=&\dfrac{17}{24} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_{1;2}&=&\dfrac{5,3\pm\sqrt{(-5,3)^2-4\cdot2,4\cdot2,55}}{2\cdot2,4} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{5,3\pm\sqrt{3,61}}{4,8} \\[5pt] x_{1;2}&=&\dfrac{5,3\pm1,9}{4,8} \\[5pt] x_1&=&\dfrac{5,3+1,9}{4,8} \\[5pt] &=&1,5 \\[5pt] x_2&=&\dfrac{5,3-1,9}{4,8} \\[5pt] &=&\dfrac{17}{24} \end{array}$

Aus dem Verlauf des Graphen in der Abbildung ergibt sich $Formula: \left(\tfrac{17}{24}\mid f\left(\tfrac{17}{24}\right)\right)$ $Formula: \left(\tfrac{17}{24}\mid f\left(\tfrac{17}{24}\right)\right)$ als Hochpunkt. Es gilt:

$Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\dfrac{17}{24}\right)&=&0{,}8\cdot\left(\dfrac{17}{24}\right)^3-2{,}65\cdot\left(\dfrac{17}{24}\right)^2+2{,}55\cdot\dfrac{17}{24} \\[5pt] &\approx&0,76 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f\left(\dfrac{17}{24}\right)&=&0{,}8\cdot\left(\dfrac{17}{24}\right)^3-2{,}65\cdot\left(\dfrac{17}{24}\right)^2+2{,}55\cdot\dfrac{17}{24} \\[5pt] &\approx&0,76 \end{array}$

Der Hochpunkt hat somit ungefähr die Koordinaten $Formula: \left(\tfrac{17}{24}\mid0{,}76\right).$ $Formula: \left(\tfrac{17}{24}\mid0{,}76\right).$

b2)

Das Integral von Formula: f zwischen Formula: x=0 und Formula: x=1,5 gibt die Summe aller Höhen der Liege im Beinbereich an. Für den Mittelwert der Höhe dort ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{1{,}5}\cdot\displaystyle\int_0^{1{,}5}f(x)\,\mathrm dx&=&\dfrac{2}{3}\cdot\displaystyle\int_0^{1{,}5}(0,8 x^3-2,65 x^2+2,55 x)\,\mathrm dx \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left[0,2x^4-\dfrac{53}{60}x^3+1,275x^2\right]_0^{1{,}5} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left(\left(0,2\cdot1,5^4-\dfrac{53}{60}\cdot1,5^3+1,275\cdot1,5^2\right)-0\right) \\[5pt] &=&0,6\;[\text{m}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \dfrac{1}{1{,}5}\cdot\displaystyle\int_0^{1{,}5}f(x)\,\mathrm dx&=&\dfrac{2}{3}\cdot\displaystyle\int_0^{1{,}5}(0,8 x^3-2,65 x^2+2,55 x)\,\mathrm dx \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left[0,2x^4-\dfrac{53}{60}x^3+1,275x^2\right]_0^{1{,}5} \\[5pt] &=&\dfrac{2}{3}\cdot\left(\left(0,2\cdot1,5^4-\dfrac{53}{60}\cdot1,5^3+1,275\cdot1,5^2\right)-0\right) \\[5pt] &=&0,6\;[\text{m}] \end{array}$

c1)

Für die zweite Ableitung von Formula: g ergibt sich:

Formula: g''(x)=-7{,}5x+15

Anwenden der notwendigen Bedingung für Wendestellen Formula: g''(x)=0 liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} g''(x)&=&0 \\[5pt] -7{,}5x+15&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-15 \\[5pt] -7{,}5x&=&-15 &\quad\scriptsize\mid\;:(-7{,}5) \\[5pt] x&=&2 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} g''(x)&=&0 \\[5pt] -7{,}5x+15&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-15 \\[5pt] -7{,}5x&=&-15 &\quad\scriptsize\mid\;:(-7{,}5) \\[5pt] x&=&2 \end{array}$

Da Formula: g laut Aufgabenstellung eine Wendestelle besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden. Im Sachzusammenhang ergibt sich folgende Interpretation:

An der Stelle Formula: x=2 ist die Liege im Rückenbereich am steilsten.

c2)

Die Bedingungen sprung- und knickfrei werden durch Formula: f(1,5)=g(1,5) und Formula: f'(1,5)=g'(1,5) beschrieben. Damit ergibt sich folgendes lineares Gleichungssystem:

$Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&0,5625&=& 12,65625+1,5c+d \\\text{II}\quad&0&=& 14,0625+c \\\end{array}$ $Formula: \begin{array}{lrll}\text{I}\quad&0,5625&=& 12,65625+1,5c+d \\\text{II}\quad&0&=& 14,0625+c \\\end{array}$

Mit $Formula: \text{I}-1,5\cdot\text{II}$ $Formula: \text{I}-1,5\cdot\text{II}$ ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} 0,5625&=&-8,4375+d &\quad\scriptsize\mid\;+8,4375 \\[5pt] 9&=&d \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 0,5625&=&-8,4375+d &\quad\scriptsize\mid\;+8,4375 \\[5pt] 9&=&d \end{array}$

Gleichung $Formula: \text{II}$ $Formula: \text{II}$ liefert direkt Formula: c=-14,0625.

d1)

Da die beiden Faktoren des hinteren Summanden für alle Werte von Formula: x nicht negativ sind, gilt für alle $Formula: x\in\mathbb{R}:$ $Formula: x\in\mathbb{R}:$

$Formula: \begin{array}{rlll} h(x)&\geq&0{,}5625 \\[5pt] &=&0{,}5625+ (2\cdot1,5-3)^2\cdot \mathrm e^{-2\cdot1,5+3} \\[5pt] &=&h(1,5) \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} h(x)&\geq&0{,}5625 \\[5pt] &=&0{,}5625+ (2\cdot1,5-3)^2\cdot \mathrm e^{-2\cdot1,5+3} \\[5pt] &=&h(1,5) \end{array}$

d2)

Für die erste Ableitung von Formula: h ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} h'(x)&=&2\cdot(2x-3)\cdot2\cdot\mathrm e^{-2x+3}+(2x-3)^2\cdot(-2)\cdot\mathrm e^{-2x+3} \\[5pt] &=&2\cdot(2x-3)\cdot(5-2x)\cdot\mathrm e^{-2x+3} \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} h'(x)&=&2\cdot(2x-3)\cdot2\cdot\mathrm e^{-2x+3}+(2x-3)^2\cdot(-2)\cdot\mathrm e^{-2x+3} \\[5pt] &=&2\cdot(2x-3)\cdot(5-2x)\cdot\mathrm e^{-2x+3} \end{array}$

Da die $Formula: \mathrm e$ $Formula: \mathrm e$ -Funktion stets größer als Null ist, gilt Formula: h'(x)=0 wegen dem Satz des Nullprodukts genau für die folgenden Werte:

$Formula: \begin{array}{rlll} 2x-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 2x&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] x&=&1,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 2x-3&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;+3 \\[5pt] 2x&=&3 &\quad\scriptsize\mid\;:2 \\[5pt] x&=&1,5 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} 5-2x&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] -2x&=&-5 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 5-2x&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-5 \\[5pt] -2x&=&-5 &\quad\scriptsize\mid\;:(-2) \\[5pt] x&=&2,5 \end{array}$

Somit liegen alle Stellen mit waagerechter Tangente im Intervall Formula: [1,5;2,6].

d3)

Durch die Rechenschritte Formula: (1) und Formula: (2) können die globalen Extrema der Funktion Formula: r ermittelt werden, die an Stellen Formula: x mit Formula: r'(x)=0 oder an den Randstellen des betrachteten Intervalls liegen.

Da in der Wertetabelle unter den zugehörigen Funktionswerten der Wert Formula: r(x_0) am stärksten von Formula: 1 abweicht, folgt $Formula: a_{\mathrm{max}}=|r(x_0)-1|\approx0{,}09=9\,\%.$ $Formula: a_{\mathrm{max}}=|r(x_0)-1|\approx0{,}09=9\,\%.$

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