Analytische Geometrie 1
Für ein Hausdach wird eine Gaube geplant. Diese Gaube wird in einem geeigneten Koordinatensystem durch einen Körper modelliert, dessen Eckpunkte die Koordinaten 
haben (siehe Abbildung 1).
Eine Längeneinheit im Modell entspricht einem Meter in der Wirklichkeit.
Abbildung 1
Begründe, dass die Gerade 
durch die Punkte 
und 
parallel zur 
-Achse verläuft, und gib eine Gleichung dieser Geraden an.
Berechne die Größe des Innenwinkels des Dreiecks 
bei Punkt 
Die drei Dachflächen der Gaube, die durch das Rechteck 
und die beiden kongruenten Dreiecke und 
modelliert werden, sollen mit Dachpfannen eingedeckt werden.
Berechne den gesamten Flächeninhalt dieser einzudeckenden Dachflächen der Gaube.
Gegeben ist die Ebene 
Weise nach, dass die Punkte 
und 
in der Ebene 
liegen.
Die Planung der Gaube wird nun verändert. Dafür werden die Punkte und durch zwei neue Punkte 
und 
ersetzt.
Die Punkte und liegen in 
und das Viereck 
ist wieder ein Rechteck. Die 
-Koordinaten von und sind größer als die -Koordinaten von und 
Die Gerade 
durch 
und schneidet die 
-Ebene; der zugehörige Schnittwinkel 
hat die Größe 
Das Modell der Gaube wird von der Seite betrachtet; die Blickrichtung wird durch den Vektor 
beschrieben. Abbildung 2 stellt diese Sichtweise dar.
-
Skizziere in Abbildung 2 die Gerade
den Winkel und den Punkt 
-
Berechne die Koordinaten des Punktes
Abbildung 2
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monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?Die Punkte und unterscheiden sich nur in der -Koordinate und dort um 
Somit verläuft die Gerade parallel zur -Achse. Mit dem Ortsvektor von als Stützvektor ergibt sich für die Geradengleichung:
![Formula: \begin{array}{rlll}
\cos(\varphi)&=&\dfrac{\overrightarrow{QP}\circ\overrightarrow{QR}}{\left|\overrightarrow{QP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QR}\right|} \\[5pt]
\cos(\varphi)&=&\dfrac{\pmatrix{-1-(-1)\\9-8\\1,2-3}\circ\pmatrix{-3,5-(-1)\\8-8\\4,2-3}}{\left|\pmatrix{-1-(-1)\\9-8\\1,2-3}\right|\cdot\left|\pmatrix{-3,5-(-1)\\8-8\\4,2-3}\right|} \\[5pt]
\cos(\varphi)&=&\dfrac{-2,16}{\tfrac{\sqrt{106}}5\cdot\tfrac{\sqrt{769}}{10}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\varphi&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{-2,16}{\tfrac{\sqrt{106}}5\cdot\tfrac{\sqrt{769}}{10}}\right) \\[5pt]
\varphi&\approx&112,2^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c64ad9dc26ed247bf0d2c1af11720a315def913875d53ddd0c6db007a8dbca11_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\cos(\varphi)&=&\dfrac{\overrightarrow{QP}\circ\overrightarrow{QR}}{\left|\overrightarrow{QP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QR}\right|} \\[5pt]
\cos(\varphi)&=&\dfrac{\pmatrix{-1-(-1)\\9-8\\1,2-3}\circ\pmatrix{-3,5-(-1)\\8-8\\4,2-3}}{\left|\pmatrix{-1-(-1)\\9-8\\1,2-3}\right|\cdot\left|\pmatrix{-3,5-(-1)\\8-8\\4,2-3}\right|} \\[5pt]
\cos(\varphi)&=&\dfrac{-2,16}{\tfrac{\sqrt{106}}5\cdot\tfrac{\sqrt{769}}{10}} &\quad\scriptsize\mid\;\cos^{-1} \\[5pt]
\varphi&=&\cos^{-1}\left(\dfrac{-2,16}{\tfrac{\sqrt{106}}5\cdot\tfrac{\sqrt{769}}{10}}\right) \\[5pt]
\varphi&\approx&112,2^\circ
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c64ad9dc26ed247bf0d2c1af11720a315def913875d53ddd0c6db007a8dbca11_dark.svg)
Für den Flächeninhalt der Dreiecke gilt jeweils:![Formula: \begin{array}{rlll}A_D&=&\dfrac12\cdot\left|\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}\right| \\[5pt]&=&\dfrac12\cdot\left|\pmatrix{0\\1\\-1{,}8}\times\pmatrix{-2{,}5\\0\\1{,}2}\right| \\[5pt]&=&\dfrac12\cdot\left|\pmatrix{1\cdot1{,}2-0\\(-1,8)\cdot(-2,5)-0\\0-1\cdot(-2{,}5)}\right| \\[5pt]&\approx&2{,}64\;[\text{m}^2]\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c59337883202941515a919d3f03e9c1edb1390a584f7b949fcf7d93dfbea1bfc_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}A_D&=&\dfrac12\cdot\left|\overrightarrow{QP}\times\overrightarrow{QR}\right| \\[5pt]&=&\dfrac12\cdot\left|\pmatrix{0\\1\\-1{,}8}\times\pmatrix{-2{,}5\\0\\1{,}2}\right| \\[5pt]&=&\dfrac12\cdot\left|\pmatrix{1\cdot1{,}2-0\\(-1,8)\cdot(-2,5)-0\\0-1\cdot(-2{,}5)}\right| \\[5pt]&\approx&2{,}64\;[\text{m}^2]\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/c59337883202941515a919d3f03e9c1edb1390a584f7b949fcf7d93dfbea1bfc_dark.svg)
Für den Flächeninhalt des Rechtecks ergibt sich:
![Formula: \begin{array}{rlll}
A_{TQRU}&=&\left|\overrightarrow{QT}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QR}\right| \\[5pt]
&=&\left|\pmatrix{-1-(-1)\\4-8\\3-3}\right|\cdot\left|\pmatrix{-2{,}5\\0\\1{,}2}\right| \\[5pt]
&=&\sqrt{(-4)^2}\cdot\sqrt{(-2{,}5)^2+1{,}2^2} \\[5pt]
&\approx&11,09\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/855ab77e4cb8a1cc44c3c236e1b6d4714144a8e9461fb38de08a90ca6cc779be_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
A_{TQRU}&=&\left|\overrightarrow{QT}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QR}\right| \\[5pt]
&=&\left|\pmatrix{-1-(-1)\\4-8\\3-3}\right|\cdot\left|\pmatrix{-2{,}5\\0\\1{,}2}\right| \\[5pt]
&=&\sqrt{(-4)^2}\cdot\sqrt{(-2{,}5)^2+1{,}2^2} \\[5pt]
&\approx&11,09\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/855ab77e4cb8a1cc44c3c236e1b6d4714144a8e9461fb38de08a90ca6cc779be_dark.svg)
Für den gesuchten gesamten Flächeninhalt folgt somit:
![Formula: \begin{array}{rlll}
A&=&2\cdot A_D+A_{TQRU} \\[5pt]
&\approx&2\cdot2{,}64+11{,}09 \\[5pt]
&=&16{,}4\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6753db3f62200e966fd3ab41ab7c8d78408964bb0e43e1c4380eea75f6df38fe_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
A&=&2\cdot A_D+A_{TQRU} \\[5pt]
&\approx&2\cdot2{,}64+11{,}09 \\[5pt]
&=&16{,}4\;[\text{m}^2]
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/6753db3f62200e966fd3ab41ab7c8d78408964bb0e43e1c4380eea75f6df38fe_dark.svg)
Einsetzen der Koordinaten von liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
6\cdot(-1)+5\cdot1{,}2&=&0 \\[5pt]
0&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a125363336ef5869503962c5d1cb2e53d703c5d71389f4a626c898c88b6c5477_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
6\cdot(-1)+5\cdot1{,}2&=&0 \\[5pt]
0&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/a125363336ef5869503962c5d1cb2e53d703c5d71389f4a626c898c88b6c5477_dark.svg)
Einsetzen der Koordinaten von und liefert jeweils:
![Formula: \begin{array}{rlll}
6\cdot(-3{,}5)+5\cdot4{,}2&=&0 \\[5pt]
0&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfc3513c7dfe35917a59993af71a0ce16f03d700e6fd248cb5909aed917c2dfe_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
6\cdot(-3{,}5)+5\cdot4{,}2&=&0 \\[5pt]
0&=&0
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/bfc3513c7dfe35917a59993af71a0ce16f03d700e6fd248cb5909aed917c2dfe_dark.svg)
Somit liegen alle drei Punkte in der Ebene 
Mit 
folgt für einen Richtungsvektor von 
Mit dem Ortsvektor von als Stützvektor ergibt sich somit folgende Geradengleichung:
Einsetzen der allgemeinen Koordinaten der Geraden in die Ebenengleichung von liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
6\cdot(-1-t)+5\cdot\left(3+\dfrac{\sqrt3}{3}t\right)&=&0 \\[5pt]
\left(\dfrac{5}{\sqrt{3}}-6\right)t+9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt]
\left(\dfrac{5}{\sqrt{3}}-6\right)t&=&-9 &\quad\scriptsize\mid\;:\left(\tfrac{5}{\sqrt{3}}-6\right) \\[5pt]
t&\approx&2,89
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/aecd537a72f17df29b901494436a8b4cc18894c0e4fd68017ca77746ef32f80a_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
6\cdot(-1-t)+5\cdot\left(3+\dfrac{\sqrt3}{3}t\right)&=&0 \\[5pt]
\left(\dfrac{5}{\sqrt{3}}-6\right)t+9&=&0 &\quad\scriptsize\mid\;-9 \\[5pt]
\left(\dfrac{5}{\sqrt{3}}-6\right)t&=&-9 &\quad\scriptsize\mid\;:\left(\tfrac{5}{\sqrt{3}}-6\right) \\[5pt]
t&\approx&2,89
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/aecd537a72f17df29b901494436a8b4cc18894c0e4fd68017ca77746ef32f80a_dark.svg)
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{OR'}&=&\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+2,89\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\\tfrac{\sqrt3}{3}\end{pmatrix} \\[5pt]
&=&\pmatrix{-3,89\\8\\4,67}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/45a09efecb7c5b378b1a8d45cb110ee0e7fa74c008b12d6b6ac3c3b34a31534b_light.svg)
![Formula: \begin{array}{rlll}
\overrightarrow{OR'}&=&\begin{pmatrix}-1\\8\\3\end{pmatrix}+2,89\cdot\begin{pmatrix}-1\\0\\\tfrac{\sqrt3}{3}\end{pmatrix} \\[5pt]
&=&\pmatrix{-3,89\\8\\4,67}
\end{array}](https://www.schullv.de/resources/formulas/45a09efecb7c5b378b1a8d45cb110ee0e7fa74c008b12d6b6ac3c3b34a31534b_dark.svg)
Damit ergeben sich die Koordinaten von ungefähr als 
