Analysis 2

Für die virtuelle Realität eines Computerspiels wurde eine Spielwelt entwickelt. Diese Spielwelt hat eine ebene, quadratische Fläche mit einer Seitenlänge von $Formula: 600\;\mathrm m$ $Formula: 600\;\mathrm m$ und wird durch eine Mauer in zwei Gebiete Formula: A und Formula: B geteilt.

Die Abbildung stellt diese Situation als Landkarte dar. Im Koordinatensystem beschreibt die Formula: x -Achse die West-Ost-Richtung und die Formula: y -Achse die Süd-Nord-Richtung.

Eine Längeneinheit entspricht $Formula: 100\;\mathrm m$ $Formula: 100\;\mathrm m$ in der Spielwelt.

Diagramm mit zwei Kurven f und g sowie beschrifteten Achsen x und y.

Der Graph der auf $Formula: \mathbb R$ $Formula: \mathbb R$ definierten Funktion Formula: f mit

$Formula: f(x)=\dfrac{13}{180}\cdot x^4-\dfrac{53}{60}\cdot x^3+\dfrac{587}{180}\cdot x^2-\dfrac{59}{20}\cdot x+2$ $Formula: f(x)=\dfrac{13}{180}\cdot x^4-\dfrac{53}{60}\cdot x^3+\dfrac{587}{180}\cdot x^2-\dfrac{59}{20}\cdot x+2$

modelliert für $Formula: 0\leq x\leq6$ $Formula: 0\leq x\leq6$ die Verlaufslinie der Mauer.

a1)

Auf der Verlaufslinie der Mauer gibt es eine Position, deren Abstand vom westlichen Rand der Spielwelt $Formula: 300\;\mathrm m$ $Formula: 300\;\mathrm m$ beträgt.

Zeichne den Punkt Formula: Q, der diese Position beschreibt, in die Abbildung ein.

1 BE

a2)

Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Punkte, die die nördlichste und die südlichste Position auf der Verlaufslinie der Mauer beschreiben.

4 BE

a3)

Zeige, dass der Flächeninhalt von Gebiet Formula: A um mehr als $Formula: 20\,\%$ $Formula: 20\,\%$ größer ist als der von Gebiet Formula: B.

3 BE

a4)

Es gibt genau ein Paar reeller Zahlen Formula: r und Formula: s mit $Formula: 0\lt r\lt s\lt6,$ $Formula: 0\lt r\lt s\lt6,$ so dass die folgende Aussage gilt:

$Formula: \int_0^r f(x)\,\mathrm dx=\int_r^s f(x)\,\mathrm dx=\int_s^6 f(x)\,\mathrm dx.$ $Formula: \int_0^r f(x)\,\mathrm dx=\int_r^s f(x)\,\mathrm dx=\int_s^6 f(x)\,\mathrm dx.$

Berechne Formula: r und Formula: s.

4 BE

Es gibt zwei Durchgänge in der Mauer.

Die Position des Durchgangs Formula: D_1 wird durch die Koordinaten $Formula: (0{,}5\mid f(0{,}5))$ $Formula: (0{,}5\mid f(0{,}5))$ beschrieben.

Die Position des Durchgangs Formula: D_2 wird durch die Koordinaten $Formula: (3{,}5\mid f(3{,}5))$ $Formula: (3{,}5\mid f(3{,}5))$ beschrieben.

b1)

Berechne den Wert des Terms $Formula: \sqrt{\bigl(f(3{,}5)-f(0{,}5)\bigr)^2+(3{,}5-0{,}5)^2}$ $Formula: \sqrt{\bigl(f(3{,}5)-f(0{,}5)\bigr)^2+(3{,}5-0{,}5)^2}$ und interpretiere diesen Wert im Sachzusammenhang der Spielwelt.

2 BE

Die Länge Formula: L des Graphen einer differenzierbaren Funktion Formula: h über dem Intervall Formula: [a;b] lässt sich berechnen durch $Formula: L=\int_a^b\sqrt{1+(h'(x))^2}\,\mathrm dx.$ $Formula: L=\int_a^b\sqrt{1+(h'(x))^2}\,\mathrm dx.$

b2)

Zwei Figuren starten zum gleichen Zeitpunkt und bewegen sich gleich schnell. Figur 1 startet an der Position, die durch den Punkt $Formula: P_1(3{,}5\mid0)$ $Formula: P_1(3{,}5\mid0)$ beschrieben wird, und geht geradlinig zum Durchgang Formula: D_2. Figur 2 befindet sich beim Durchgang Formula: D_1 oben auf der Mauer. Sie geht auf der Mauer entlang zum Durchgang

Untersuche, welche Figur den Durchgang Formula: D_2 zuerst erreicht.

4 BE

b3)

Eine dritte Figur bewegt sich von der Position, die durch den Punkt $Formula: P_2(3{,}5\mid6)$ $Formula: P_2(3{,}5\mid6)$ beschrieben wird, geradlinig genau in Richtung Süden. Sie bewegt sich weiter, solange sie den Durchgang Formula: D_1 sehen kann. Die Figur kann dabei weder durch die Mauer noch darüber hinweg sehen.

Berechne die Länge der Strecke, die die Figur in der Spielwelt zurücklegt.

5 BE

c1)

Betrachtet wird die Funktion Formula: v mit $Formula: v(x)=p\cdot\sin(x)+q$ $Formula: v(x)=p\cdot\sin(x)+q$ mit zwei reellen Zahlen Formula: p und Formula: q. Die Punkte $Formula: (0\mid3)$ $Formula: (0\mid3)$ und $Formula: (2\mid1)$ $Formula: (2\mid1)$ liegen auf dem Graphen von Formula: v.

Berechne Formula: p und Formula: q.

3 BE

c2)

Für jede reelle Zahl Formula: u ist die Funktion Formula: w_u mit $Formula: w_u(x)=\sin(x+u)$ $Formula: w_u(x)=\sin(x+u)$ gegeben.

Untersuche, ob es einen Wert von Formula: u gibt, so dass die beiden Wendestellen von Formula: f auch Wendestellen von Formula: w_u sind.

4 BE

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?

a1)

Koordinatensystem mit dem Graphen der Funktion f und dem markierten Punkt Q bei (3; 4,5).

a2)

Die Abbildung zeigt, dass die südlichste und nördlichste Position durch den Tief- bzw. Hochpunkt des Graphen im betrachteten Intervall gegeben ist. Mit dem CAS ergibt sich für die erste Ableitung von Formula: f:

$Formula: f'(x)=\dfrac{13}{45} \cdot x^3-\frac{53}{20} \cdot x^2+\frac{587}{90} \cdot x-\frac{59}{20}$ $Formula: f'(x)=\dfrac{13}{45} \cdot x^3-\frac{53}{20} \cdot x^2+\frac{587}{90} \cdot x-\frac{59}{20}$

Anwenden der notwendigen Bedingung für Extremstellen Formula: f'(x)=0 und auflösen nach Formula: x mit dem CAS liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&\approx&0,58 \\[5pt] x_2&\approx&3,36 \\[5pt] x_3&\approx&5,23 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&\approx&0,58 \\[5pt] x_2&\approx&3,36 \\[5pt] x_3&\approx&5,23 \end{array}$

Aus dem Verlauf des Graphen von Formula: f ergeben sich die Stellen $Formula: x_1\approx0,58$ $Formula: x_1\approx0,58$ und $Formula: x_2\approx3,36.$ $Formula: x_2\approx3,36.$ Mit dem CAS ergibt sich:

$Formula: \begin{array}{rlll} f(0,58)&=&\dfrac{13}{180} \cdot 0{,}58^4-\dfrac{53}{60} \cdot 0{,}58^3+\dfrac{587}{180} \cdot 0{,}58^2-\dfrac{59}{20} \cdot 0{,}58+2 \\[5pt] &\approx&1,22 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(0,58)&=&\dfrac{13}{180} \cdot 0{,}58^4-\dfrac{53}{60} \cdot 0{,}58^3+\dfrac{587}{180} \cdot 0{,}58^2-\dfrac{59}{20} \cdot 0{,}58+2 \\[5pt] &\approx&1,22 \end{array}$

$Formula: \begin{array}{rlll} f(3,36)&=& \dfrac{13}{180} \cdot 3{,}36^4-\dfrac{53}{60} \cdot 3{,}36^3+\dfrac{587}{180} \cdot 3{,}36^2-\dfrac{59}{20} \cdot 3{,}36+2 \\[5pt] &\approx&4,60 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} f(3,36)&=& \dfrac{13}{180} \cdot 3{,}36^4-\dfrac{53}{60} \cdot 3{,}36^3+\dfrac{587}{180} \cdot 3{,}36^2-\dfrac{59}{20} \cdot 3{,}36+2 \\[5pt] &\approx&4,60 \end{array}$

Damit ergeben sich die gesuchten Koordinaten als $Formula: S(0{,}58\mid1{,}22)$ $Formula: S(0{,}58\mid1{,}22)$ und $Formula: N(3{,}36\mid4{,}60).$ $Formula: N(3{,}36\mid4{,}60).$

a3)

Für das Gebiet Formula: A folgt mit dem CAS:

$Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx&=&\displaystyle\int_0^6 \left(\dfrac{13}{180} \cdot x^4-\dfrac{53}{60} \cdot x^3+\dfrac{587}{180} \cdot x^2-\dfrac{59}{20} \cdot x+2\right)\,\mathrm dx \\[5pt] &=&19{,}82 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx&=&\displaystyle\int_0^6 \left(\dfrac{13}{180} \cdot x^4-\dfrac{53}{60} \cdot x^3+\dfrac{587}{180} \cdot x^2-\dfrac{59}{20} \cdot x+2\right)\,\mathrm dx \\[5pt] &=&19{,}82 \end{array}$

Das gesamte Gebiet ist ein Quadrat mit Seitenlänge Formula: 6. Damit ergibt sich für Gebiet Formula: B:

$Formula: 6\cdot6-19{,}82=16{,}18$ $Formula: 6\cdot6-19{,}82=16{,}18$

Wegen $Formula: 1{,}2\cdot16{,}18\approx19{,}42\lt19{,}82$ $Formula: 1{,}2\cdot16{,}18\approx19{,}42\lt19{,}82$ gilt die Aussage somit.

a4)

Die Aussage gilt genau dann, wenn jedes der drei Integrale genau $Formula: \tfrac{1}{3}$ $Formula: \tfrac{1}{3}$ der gesamten Fläche zwischen Formula: x=0 und Formula: x=6 ausmacht, die unter dem Graphen von Formula: f liegt. Somit muss gelten:

$Formula: \displaystyle\int_0^r f(x)\,\mathrm dx=\dfrac{1}{3}\cdot\displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx$ $Formula: \displaystyle\int_0^r f(x)\,\mathrm dx=\dfrac{1}{3}\cdot\displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx$

Auflösen nach Formula: r mit dem CAS liefert:

$Formula: r\approx2,75$ $Formula: r\approx2,75$

Zudem muss gelten:

$Formula: \displaystyle\int_s^6 f(x)\,\mathrm dx=\dfrac{1}{3}\cdot\displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx$ $Formula: \displaystyle\int_s^6 f(x)\,\mathrm dx=\dfrac{1}{3}\cdot\displaystyle\int_0^6 f(x)\,\mathrm dx$

Auflösen nach Formula: s mit dem CAS liefert:

$Formula: s\approx4,23$ $Formula: s\approx4,23$

b1)

Wert des Terms berechnen

Mit dem CAS ergibt sich:

$Formula: \sqrt{(f(3,5)-f(0,5))^2+(3,5-0,5)^2}=4,5$ $Formula: \sqrt{(f(3,5)-f(0,5))^2+(3,5-0,5)^2}=4,5$

Wert im Sachzusammenhang interpretieren

Da eine Längeneinheit Formula: 100 Meter entspricht, bedeutet der Term, dass die beiden Durchgänge einen Abstand von etwa $Formula: 450\;\mathrm m$ $Formula: 450\;\mathrm m$ Luftlinie haben.

b2)

Mit der Aufgabenstellung folgt für Figur 2 mit Hilfe des CAS:

$Formula: \int_{0{,}5}^{3{,}5}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm dx\approx4{,}76$ $Formula: \int_{0{,}5}^{3{,}5}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm dx\approx4{,}76$

Figur 1 steht direkt unter dem Durchgang Formula: D_2. Die zugehörige Länge ergibt sich somit als $Formula: f(3{,}5)\approx4{,}59.$ $Formula: f(3{,}5)\approx4{,}59.$ Wegen $Formula: 4,59\lt4,76$ $Formula: 4,59\lt4,76$ erreicht Figur 1 den Durchgang somit zuerst.

b3)

Die Figur kann den Durchgang immer sehen, außer ein Teil der Mauer fängt an die Sicht zu versperren. Wenn die Koordinaten dieses Punktes der Mauer mit $Formula: (x_0\mid f(x_0))$ $Formula: (x_0\mid f(x_0))$ beschrieben werden, ist die letzte freie Sichtlinie durch die Tangente an den Graphen von Formula: f im Punkt $Formula: (x_0\mid f(x_0))$ $Formula: (x_0\mid f(x_0))$ für $Formula: 0{,}5\lt x_0\leq3{,}5$ $Formula: 0{,}5\lt x_0\leq3{,}5$ gegeben, die durch den Punkt $Formula: (0{,}5\mid f(0{,}5))$ $Formula: (0{,}5\mid f(0{,}5))$ verläuft. Für die Steigung dieser ergibt sich:

$Formula: f'(x_0)=\dfrac{f(x_0)-f(0{,}5)}{x_0-0{,}5}$ $Formula: f'(x_0)=\dfrac{f(x_0)-f(0{,}5)}{x_0-0{,}5}$

Einsetzen der Funktionsgleichung und auflösen nach Formula: x_0 mit dem CAS liefert:

$Formula: x_0\approx2,43$ $Formula: x_0\approx2,43$

Somit ist $Formula: t(x)=f'(2{,}429)\cdot(x-2{,}429)+f(2{,}429)$ $Formula: t(x)=f'(2{,}429)\cdot(x-2{,}429)+f(2{,}429)$ näherungsweise ein Funktionsterm der Tangente. Die Formula: y -Koordinate, an der die Figur zum letzten Mal den Durchgang sehen kann, ist durch Formula: t(3,5) gegeben. Die zurückgelegte Länge $Formula: \ell$ $Formula: \ell$ ergibt sich somit wie folgt:

$Formula: \begin{array}{rlll} \ell&=&100\cdot(6-t(3,5)) \\[5pt] &=&100\cdot(6-(f'(2{,}429)\cdot(3,5-2{,}429)+f(2{,}429))) \\[5pt] &\approx&57,3\;[\text{m}] \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} \ell&=&100\cdot(6-t(3,5)) \\[5pt] &=&100\cdot(6-(f'(2{,}429)\cdot(3,5-2{,}429)+f(2{,}429))) \\[5pt] &\approx&57,3\;[\text{m}] \end{array}$

c1)

Einsetzen der Koordinaten $Formula: (0\mid3)$ $Formula: (0\mid3)$ liefert:

$Formula: \begin{array}{rlll} 3&=&p\cdot\sin(0)+q \\[5pt] 3&=&q \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 3&=&p\cdot\sin(0)+q \\[5pt] 3&=&q \end{array}$

Mit Formula: q=3 folgt durch Einsetzen der anderen Koordinaten:

$Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&p\cdot\sin(2)+3 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -2&=&p\cdot\sin(2) &\quad\scriptsize\mid\;:\sin(2) \\[5pt] \dfrac{-2}{\sin(2)}&=&p \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} 1&=&p\cdot\sin(2)+3 &\quad\scriptsize\mid\;-3 \\[5pt] -2&=&p\cdot\sin(2) &\quad\scriptsize\mid\;:\sin(2) \\[5pt] \dfrac{-2}{\sin(2)}&=&p \end{array}$

c2)

Für die zweite Ableitung von Formula: f ergibt sich mit dem CAS:

$Formula: f''(x)=\dfrac{13}{15} \cdot x^2-\frac{53}{10} \cdot x+\frac{587}{90}$ $Formula: f''(x)=\dfrac{13}{15} \cdot x^2-\frac{53}{10} \cdot x+\frac{587}{90}$

Anwenden der notwendigen Bedigung für Wendestellen Formula: f''(x)=0 liefert mit dem solve-Befehl des CAS:

$Formula: \begin{array}{rlll} x_1&\approx&1,7 \\[5pt] x_2&\approx&4,4 \end{array}$ $Formula: \begin{array}{rlll} x_1&\approx&1,7 \\[5pt] x_2&\approx&4,4 \end{array}$

Da Formula: f laut Aufgabenstellung zwei Wendestellen besitzt, kann auf die Überprüfung der hinreichenden Bedingung verzichtet werden.

Zwei aufeinander folgende Wendestellen der Sinusfunktion haben einen Abstand von $Formula: \pi.$ $Formula: \pi.$ Da der Graph von Formula: w_u aus dem Graphen der Sinusfunktion durch Verschiebung in Formula: x -Richtung hervorgeht, gilt dies auch für die Wendestellen von Formula: w_u. Für den Abstand der beiden Wendestellen von Formula: f gilt:

$Formula: 4,4-1,7=2,7\lt \pi$ $Formula: 4,4-1,7=2,7\lt \pi$

Somit gibt es keinen Wert von Formula: u mit der beschriebenen Eigenschaft.

Weiter lernen mit SchulLV Plus!

monatlich kündbarSchulLV Plus-Vorteile im ÜberblickDu hast bereits einen Account?