Vorschlag B — Der Hall-Effekt: Materialeigenschaften und Drehwinkelmessung

Der Hall-Effekt erlaubt neben der Vermessung von Magnetfeldern auch die Untersuchung mikroskopischer Materialeigenschaften wie der Beweglichkeit von Ladungsträgern in Leitern. Eine weitere praktische Anwendung des Hall-Effekts ist die Messung von Drehwinkeln.

Zwischen den beiden in Material 1 grau markierten Stirnseiten eines quaderförmigen Metallplättchens mit dem Widerstand Formula: R wird eine konstante Spannung $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ angelegt. Das Plättchen wird von einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte(*) Formula: B senkrecht durchsetzt. Zwischen den Kontakten an der oberen und unteren Seitenfläche wird die Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ gemessen. Das Plättchen wird gekühlt, um seinen Widerstand konstant zu halten.

(*) Die magnetische Flussdichte wird in manchen Lehrbüchern auch als magnetische Feldstärke bezeichnet

1.1

Beschreibe anhand von Material 1 die Vorgänge, die zur Entstehung einer konstanten Hall-Spannung führen.

Zeichne die bei konstanter Hall-Spannung auf das Elektron wirkenden Kräfte als Pfeile und die Polung der Hall-Spannung in Material 1 ein.

5 BE

1.2

Im Folgenden werden die Driftgeschwindigkeit Formula: v und die Dichte Formula: n der Leitungselektronen untersucht.

1.2.1

Leite die Formel $Formula: v = \tfrac{U_{\mathrm{H}}}{b \cdot B}$ $Formula: v = \tfrac{U_{\mathrm{H}}}{b \cdot B}$ für die Driftgeschwindigkeit her.

3 BE

1.2.2

Wird die Anzahl der Leitungselektronen durch das Volumen dividiert, ergibt sich die Dichte Formula: n der Leitungselektronen. In Material 2 wird die Formel $Formula: n = \tfrac{U_{0}}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v}$ $Formula: n = \tfrac{U_{0}}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v}$ hergeleitet.

Erläutere die einzelnen Schritte und physikalischen Überlegungen der Herleitung.

7 BE

1.3

Um die Abhängigkeit der Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ von der Spannung $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ zu untersuchen, wurde die Messreihe in Material 3 aufgenommen und bereits teilweise ausgewertet. $Formula: E_{0}$ $Formula: E_{0}$ ist die Stärke des als homogen anzunehmenden elektrischen Felds, das aufgrund der Spannung $Formula: U_{0}$ $Formula: U_{0}$ zwischen den in Material 4 grau markierten Stirnseiten des Metallplättchens entsteht.

1.3.1

Berechne die fehlenden Werte in Material 3 unter Verwendung der Versuchsdaten in Material 4.

Gib anhand von Material 3 an, wie die Dichte Formula: n der Leitungselektronen von der Feldstärke $Formula: E_{0}$ $Formula: E_{0}$ abhängt.

[zur Kontrolle: $Formula: n_{2} = 1,19 \cdot 10^{29}\;\mathrm{m}^{-3};$ $Formula: n_{2} = 1,19 \cdot 10^{29}\;\mathrm{m}^{-3};$ $Formula: v_{3} = 50,5 \cdot 10^{-3}\; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ $Formula: v_{3} = 50,5 \cdot 10^{-3}\; \tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ ]

7 BE

1.3.2

Stelle die Driftgeschwindigkeit Formula: v als Funktion der Feldstärke $Formula: E_{0}$ $Formula: E_{0}$ grafisch dar.

Begründe anhand deiner Darstellung, dass zwischen den beiden Größen ein proportionaler Zusammenhang besteht.

Der Proportionalitätsfaktor $Formula: \mu = \tfrac{v}{E_{0}}$ $Formula: \mu = \tfrac{v}{E_{0}}$ wird Ladungsträgerbeweglichkeit genannt.

Bestimme die Ladungsträgerbeweglichkeit für das verwendete Plättchen unter Einbeziehung aller Messwerte.

8 BE

Zwei identische Hall-Sonden $Formula: S_{1}$ $Formula: S_{1}$ und $Formula: S_{2}$ $Formula: S_{2}$ sind im rechten Winkel zueinander auf eine drehbare Scheibe montiert (Material 5). Die Anordnung befindet sich in einem homogenen Magnetfeld. Wird die Hall-Spannung an beiden Sonden gemessen, so kann der Drehwinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ der Scheibe bestimmt werden.

2.1

Material 6 zeigt die Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}_1}$ $Formula: U_{\mathrm{H}_1}$ an der Sonde $Formula: S_{1}$ $Formula: S_{1}$ als Funktion des Drehwinkels $Formula: \alpha.$ $Formula: \alpha.$

Begründe, dass der Betrag der Hall-Spannung für $Formula: \alpha = 0^{\circ}$ $Formula: \alpha = 0^{\circ}$ maximal und für $Formula: \alpha = 90^{\circ}$ $Formula: \alpha = 90^{\circ}$ gleich null ist.

3 BE

2.2

Skizziere in Material 6 den Verlauf der an der Hall-Sonde $Formula: S_{2}$ $Formula: S_{2}$ gemessenen Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}_2}$ $Formula: U_{\mathrm{H}_2}$ und erläutere deine Skizze.

Begründe, dass die zweite Sonde $Formula: S_{2}$ $Formula: S_{2}$ notwendig ist, um den Drehwinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ im Bereich von $Formula: 0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$ $Formula: 0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$ ( $Formula: \alpha \neq 180^{\circ}$ $Formula: \alpha \neq 180^{\circ}$ ) eindeutig bestimmen zu können.

7 BE

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Material 1: Metallplättchen im Magnetfeld

Schematische Zeichnung eines rechteckigen Leiters mit Stromquelle, Magnetfeld, Hall-Spannungsmessung und Maßen (l, b, d).

$Formula: e^{-}$ $Formula: e^{-}$ bezeichnet ein Elektron.

Material 2: Herleitung der Formel für die Dichte $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{n}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{n}}$ der Leitungselektronen

$Formula: (1)\quad$ $Formula: (1)\quad$	$Formula: n = \dfrac{N}{V}$ $Formula: n = \dfrac{N}{V}$
$Formula: (2)\quad$ $Formula: (2)\quad$	$Formula: n = \dfrac{Q}{e \cdot V}$ $Formula: n = \dfrac{Q}{e \cdot V}$
$Formula: (3)\quad$ $Formula: (3)\quad$	$Formula: n = \dfrac{I \cdot t}{e \cdot V}$ $Formula: n = \dfrac{I \cdot t}{e \cdot V}$
$Formula: (4)\quad$ $Formula: (4)\quad$	$Formula: n = \dfrac{U_{0} \cdot t}{e \cdot R \cdot V}$ $Formula: n = \dfrac{U_{0} \cdot t}{e \cdot R \cdot V}$
$Formula: (5)\quad$ $Formula: (5)\quad$	$Formula: n = \dfrac{U_{0} \cdot t}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot l}$ $Formula: n = \dfrac{U_{0} \cdot t}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot l}$
$Formula: (6)\quad$ $Formula: (6)\quad$	$Formula: n = \dfrac{U_{0}}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot \tfrac{l}{t}}$ $Formula: n = \dfrac{U_{0}}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot \tfrac{l}{t}}$
$Formula: (7)\quad$ $Formula: (7)\quad$	$Formula: n = \dfrac{U_{0}}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v}$ $Formula: n = \dfrac{U_{0}}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v}$

Material 3: Messreihe zur Abhängigkeit der Hall-Spannung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_\text{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_\text{H}}}$ von der Spannung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_\text{0}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_\text{0}}}$ mit teilweiser Auswertung

	1. Messung	2. Messung	3. Messung	4. Messung
$Formula: \boldsymbol{U_0}$ $Formula: \boldsymbol{U_0}$ in $Formula: \boldsymbol{\text{mV}}$ $Formula: \boldsymbol{\text{mV}}$
$Formula: \boldsymbol{U_{\text{H}}}$ $Formula: \boldsymbol{U_{\text{H}}}$ in $Formula: \boldsymbol{\mu\text{V}}$ $Formula: \boldsymbol{\mu\text{V}}$
$Formula: \boldsymbol{v}$ $Formula: \boldsymbol{v}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{-3} \tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{-3} \tfrac{\text{m}}{\text{s}}}$
$Formula: \boldsymbol{n}$ $Formula: \boldsymbol{n}$ in $Formula: \boldsymbol{10^{29} \tfrac{1}{\text{m}^3}}$ $Formula: \boldsymbol{10^{29} \tfrac{1}{\text{m}^3}}$
$Formula: \boldsymbol{E_0 }$ $Formula: \boldsymbol{E_0 }$ in $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\text{V}}{\text{m}}}$ $Formula: \boldsymbol{\tfrac{\text{V}}{\text{m}}}$

In den Bezeichnungen der Aufgabe 1.3 wird die Nummer der Messung als Index verwendet, damit ergibt sich z.B. $Formula: n_{1} = 1,13 \cdot 10^{29}\;\tfrac{1}{\mathrm{m}^{3}}.$ $Formula: n_{1} = 1,13 \cdot 10^{29}\;\tfrac{1}{\mathrm{m}^{3}}.$

Material 4: Metallplättchen im Magnetfeld mit elektrischem Feld $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\vec{E}_0}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\vec{E}_0}}$

Schematisches Diagramm eines rechteckigen Blocks mit elektrischen und magnetischen Feldern, Anschlüssen, Messgerät und Batterie.

Versuchsdaten: $Formula: R = 11\;\mathrm{m}\Omega;$ $Formula: R = 11\;\mathrm{m}\Omega;$ $Formula: B = 0,75\;\mathrm{T};$ $Formula: B = 0,75\;\mathrm{T};$ $Formula: b = 0,40\;\mathrm{mm};$ $Formula: b = 0,40\;\mathrm{mm};$ $Formula: d = 0,02\;\mathrm{mm};$ $Formula: d = 0,02\;\mathrm{mm};$ $Formula: l = 5,00\;\mathrm{mm}$ $Formula: l = 5,00\;\mathrm{mm}$

Material 5: Anordnung zur Messung des Drehwinkels $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\alpha}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\alpha}}$ mit zwei Hall-Sonden

Schaubild: Kreisförmige Rotation mit zwei Sensoren, Spannungsquellen, Winkel α und Richtung eines Magnetfelds nach rechts.

Die Hall-Spannung wird jeweils zwischen denjenigen Seitenflächen der gezeigten Hall-Sonden Formula: S_1 und Formula: S_2 gemessen, die ober- und unterhalb der Zeichenebene liegen. Die jeweilige Mitte der Hall-Sonden soll sich in der Zeichenebene befinden, die Hall-Sonden sind parallel zur Zeichenebene ausgerichtet.

Material 6: Hall-Spannung $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_{\text{H}_1}}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{U_{\text{H}_1}}}$ an der Sonde $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{S_1}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{S_1}}$ als Funktion des Drehwinkels $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\alpha}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\alpha}}$

Sinusförmige Kurve U_H über Winkel α, Achsen beschriftet mit 90°, 180°, 270°, 360°

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1.1

Beschreiben der Vorgänge, die zur Entstehung einer konstanten Hall-Spannung führen

Wegen der angelegten Spannung $Formula: U_{\mathrm{0}}$ $Formula: U_{\mathrm{0}}$ fließt ein elektrischer Strom durch das Metallplättchen. Aufgrund ihrer Bewegung senkrecht zu den Magnetfeldlinien erfahren die Leitungselektronen im Magnetfeld eine Lorentzkraft, die sie zur unteren Seitenfläche des Plättchens ablenkt. Dadurch entsteht an der unteren Seitenfläche ein Elektronenüberschuss und an der oberen Seitenfläche ein Elektronenmangel.

Diese Ladungsverschiebung erzeugt im Plättchen ein elektrisches Feld, sodass auf die Elektronen eine elektrische Kraft entgegengesetzt zur Lorentzkraft wirkt. Die Ladungstrennung erreicht einen Gleichgewichtszustand, wenn die Beträge der elektrischen Kraft und der Lorentzkraft gleich groß sind. In diesem Moment bleibt auch die messbare Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ konstant.

Einzeichnen in das Material

Schematische Zeichnung eines rechteckigen Leiters mit Magnetfeld, Hall-Spannung, Batterie und eingezeichneten Kräften.

1.2

1.2.1

Im beschriebenen Gleichgewichtszustand sind die Beträge der Lorentzkraft und der elektrische Kraft identisch ( $Formula: F_{\mathrm{L}} = F_{\mathrm{el}}$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = F_{\mathrm{el}}$ ). Mit den Formeln $Formula: F_{\mathrm{L}} = e \cdot v \cdot B$ $Formula: F_{\mathrm{L}} = e \cdot v \cdot B$ und $Formula: F_{\mathrm{el}} = e \cdot E = e \cdot \tfrac{U_{\mathrm{H}}}{b}$ $Formula: F_{\mathrm{el}} = e \cdot E = e \cdot \tfrac{U_{\mathrm{H}}}{b}$ ergibt sich somit:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{el}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B & = & e \cdot \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{b} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{e\cdot B} \\[5pt] v & = & \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{b \cdot B} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} F_{\mathrm{L}} & = & F_{\mathrm{el}} \\[5pt] e \cdot v \cdot B & = & e \cdot \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{b} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{e\cdot B} \\[5pt] v & = & \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{b \cdot B} \end{array}$

1.2.2

Die einzelnen Schritte der Herleitung aus Material 2 lassen sich wie folgt begründen:

Schritt (1): Die Dichte der Leitungselektronen ist definiert als ihre Anzahl pro Volumen
Schritt (2): Die Anzahl der Leitungselektronen lässt sich berechnen, indem die Gesamtladung der Leitungselektronen durch die Elementarladung dividiert wird. Dadurch wird in der Formel ersetzt.
Schritt (3): Die Gesamtladung die in der Zeit durch das Metallplättchen fließt, entspricht dem Produkt aus der Stromstärke und der Zeit
Schritt (4): Gemäß dem Ohmschen Gesetz wird die Stromstärke durch den Quotienten $Formula: \tfrac{U_{\mathrm{0}}}{R}$ $Formula: \tfrac{U_{\mathrm{0}}}{R}$ ersetzt.
Schritt (5): Das Volumen des quaderförmigen Plättchens ergibt sich aus dem Produkt seiner drei Kantenlängen und
Schritt (6): Durch eine Termumformung wird die Variable in den Nenner des Gesamtbruchs gebracht.
Schritt (7): Der resultierende Quotient $Formula: \tfrac{l}{t}$ $Formula: \tfrac{l}{t}$ entspricht der Driftgeschwindigkeit der Elektronen, wodurch die finale Formel entsteht.

1.3

1.3.1

Berechnung der fehlenden Werte

Feldstärke $Formula: E_{\mathrm{0,1}}$ $Formula: E_{\mathrm{0,1}}$ für die 1. Messung:

$Formula: E_{\mathrm{0,1}} = \frac{U_{\mathrm{0}}}{l} = \frac{3 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V}}{5 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{m}} = 6,0 \;\mathrm{\frac{V}{m}}$ $Formula: E_{\mathrm{0,1}} = \frac{U_{\mathrm{0}}}{l} = \frac{3 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V}}{5 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{m}} = 6,0 \;\mathrm{\frac{V}{m}}$

Berechnung der Elektronendichte $Formula: n_{\mathrm{2}}$ $Formula: n_{\mathrm{2}}$ für die 2. Messung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} n_2 & = & \dfrac{U_0}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v} \\[5pt] & = & 1,19 \cdot 10^{29} \;\mathrm{\frac{1}{m^3}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} n_2 & = & \dfrac{U_0}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v} \\[5pt] & = & 1,19 \cdot 10^{29} \;\mathrm{\frac{1}{m^3}} \end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll} n_2 & = & \dfrac{U_0}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v} \\[5pt] & = & \dfrac{6 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V}}{e \cdot 1,1 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{\Omega} \cdot 4 \cdot 10^{-4} \;\mathrm{m} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{m} \cdot 35,8 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\frac{m}{s}}} \\[5pt] & = & 1,19 \cdot 10^{29} \;\mathrm{\frac{1}{m^3}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} n_2 & = & \dfrac{U_0}{e \cdot R \cdot b \cdot d \cdot v} \\[5pt] & = & \dfrac{6 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{V}}{e \cdot 1,1 \cdot 10^{-2} \;\mathrm{\Omega} \cdot 4 \cdot 10^{-4} \;\mathrm{m} \cdot 2 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{m} \cdot 35,8 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\frac{m}{s}}} \\[5pt] & = & 1,19 \cdot 10^{29} \;\mathrm{\frac{1}{m^3}} \end{array}$

Berechnung der Driftgeschwindigkeit $Formula: v_{\mathrm{3}}$ $Formula: v_{\mathrm{3}}$ für die 3. Messung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll} v_3 & = & \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{b \cdot B} \\[5pt] & = & \dfrac{15,15 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{V}}{4 \cdot 10^{-4} \;\mathrm{m} \cdot 0,75 \;\mathrm{T}} \\[5pt] & = & 50,5 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll} v_3 & = & \dfrac{U_{\mathrm{H}}}{b \cdot B} \\[5pt] & = & \dfrac{15,15 \cdot 10^{-6} \;\mathrm{V}}{4 \cdot 10^{-4} \;\mathrm{m} \cdot 0,75 \;\mathrm{T}} \\[5pt] & = & 50,5 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\dfrac{m}{s}} \end{array}$

Angeben der Abhängigkeit

Anhand der Tabelle in Material 3 ist ersichtlich, dass die Elektronendichte Formula: n unabhängig von der angelegten Spannung nahezu konstant bleibt. Folglich hängt die Dichte der Leitungselektronen nicht von der elektrischen Feldstärke $Formula: E_{\mathrm{0}}$ $Formula: E_{\mathrm{0}}$ ab.

1.3.2

Graphisch Darstellen

Diagramm: v (10^-3 m/s) gegen E0 (V/m), Punkte mit linearer Ausgleichsgerade.

Begründen des proportionalen Zusammenhangs

Durch die Messwerte lässt sich eine Ausgleichsgerade legen, die durch den Ursprung geht, auf der die Messwerte in guter Näherung liegen. Daraus folgt, dass zwischen der Driftgeschwindigkeit und der elektrischen Feldstärke ein proportionaler Zusammenhang besteht.

Bestimmen der Ladungsträgerbeweglichkeit

Die Ladungsträgerbeweglichkeit $Formula: \mu$ $Formula: \mu$ entspricht dem Proportionalitätsfaktor, also der Steigung dieser Ausgleichsgeraden. Durch das Ablesen geeigneter Punkte für ein Steigungsdreieck (beispielsweise bei $Formula: E_{\mathrm{0}} = 20 \;\mathrm{\tfrac{V}{m}}$ $Formula: E_{\mathrm{0}} = 20 \;\mathrm{\tfrac{V}{m}}$ und $Formula: v = 58 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v = 58 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ ) ergibt sich folgender Wert:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\mu & = & \dfrac{v}{E_{0}} \\[5pt] & = & \dfrac{58 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{20 \;\mathrm{\tfrac{V}{m}}} \\[5pt] & = & 2,9 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\dfrac{m^{2}}{V \cdot s}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\mu & = & \dfrac{v}{E_{0}} \\[5pt] & = & \dfrac{58 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}}{20 \;\mathrm{\tfrac{V}{m}}} \\[5pt] & = & 2,9 \cdot 10^{-3} \;\mathrm{\dfrac{m^{2}}{V \cdot s}}\end{array}$

2.1

Bei einem Drehwinkel von $Formula: \alpha = 0^{\circ}$ $Formula: \alpha = 0^{\circ}$ verlaufen die Magnetfeldlinien exakt orthogonal zur Bewegungsrichtung der Elektronen durch die erste Hall-Sonde $Formula: S_{\mathrm{1}}.$ $Formula: S_{\mathrm{1}}.$ In dieser Ausrichtung erreicht die auf die Elektronen wirkende Lorentzkraft ihr Maximum, wodurch folglich auch der Betrag der gemessenen Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H}}$ $Formula: U_{\mathrm{H}}$ maximal wird.

Beträgt der Drehwinkel hingegen $Formula: \alpha = 90^{\circ},$ $Formula: \alpha = 90^{\circ},$ verlaufen die Magnetfeldlinien parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen durch die Sonde $Formula: S_{\mathrm{1}}.$ $Formula: S_{\mathrm{1}}.$ In diesem Fall wirkt überhaupt keine Lorentzkraft auf die Elektronen, weshalb der Betrag der Hall-Spannung auf null sinkt.

2.2

Skizzieren der Hall Spannung in Material 6

Diagramm zweier phasenverschobener sinusförmiger Spannungen U_H1 (durchgezogen) und U_H2 (gestrichelt) gegen Winkel α (°).

Erläutern der Skizze

Der Verlauf der Hall-Spannung $Formula: U_{\mathrm{H_{2}}}$ $Formula: U_{\mathrm{H_{2}}}$ an der zweiten Sonde $Formula: S_{\mathrm{2}}$ $Formula: S_{\mathrm{2}}$ entspricht dem Verlauf der Spannung an der ersten Sonde $Formula: S_{\mathrm{1}},$ $Formula: S_{\mathrm{1}},$ ist jedoch im Graphen um $Formula: 90^{\circ}$ $Formula: 90^{\circ}$ nach links verschoben. Diese Verschiebung entsteht, weil die Ausrichtung relativ zu den Magnetfeldlinien an der Sonde $Formula: S_{\mathrm{2}}$ $Formula: S_{\mathrm{2}}$ genau derjenigen an der Sonde $Formula: S_{\mathrm{1}}$ $Formula: S_{\mathrm{1}}$ bei einem um $Formula: 90^{\circ}$ $Formula: 90^{\circ}$ zurückgedrehten Zustand der Scheibe entspricht.

Begründung der Notwendigkeit der zweiten Sonde:

Betrachtet wird der Bereich $Formula: 0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$ $Formula: 0^{\circ} < \alpha < 360^{\circ}$ mit Ausnahme von $Formula: \alpha = 180^{\circ}.$ $Formula: \alpha = 180^{\circ}.$ In diesem Intervall tritt jeder gemessene Wert der Hall-Spannung an einer einzelnen Sonde bei genau zwei verschiedenen Winkeln auf. Dadurch ist eine eindeutige Zuordnung des exakten Drehwinkels anhand nur einer einzigen Spannung nicht möglich. Die zweite Hall-Sonde $Formula: S_{\mathrm{2}}$ $Formula: S_{\mathrm{2}}$ löst dieses Problem: Da sich die zugehörigen Spannungswerte an der zweiten Sonde für die beiden fraglichen Winkel stets voneinander unterscheiden, lässt sich der Drehwinkel $Formula: \alpha$ $Formula: \alpha$ durch die Kombination beider Messwerte jederzeit eindeutig bestimmen.

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Vorschlag B — Der Hall-Effekt: Materialeigenschaften und Drehwinkelmessung

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Material 1: Metallplättchen im Magnetfeld

Material 2: Herleitung der Formel für die Dichte der Leitungselektronen

Material 3: Messreihe zur Abhängigkeit der Hall-Spannung von der Spannung mit teilweiser Auswertung

Material 4: Metallplättchen im Magnetfeld mit elektrischem Feld

Material 5: Anordnung zur Messung des Drehwinkels mit zwei Hall-Sonden

Material 6: Hall-Spannung an der Sonde als Funktion des Drehwinkels

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Material 2: Herleitung der Formel für die Dichte $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{n}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{n}}$ der Leitungselektronen

Material 4: Metallplättchen im Magnetfeld mit elektrischem Feld $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\vec{E}_0}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\vec{E}_0}}$

Material 5: Anordnung zur Messung des Drehwinkels $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\alpha}}$ $Formula: \boldsymbol{\color{#287882}{\alpha}}$ mit zwei Hall-Sonden