Vorschlag D — Vom klassischen Atommodell zur Quantenmechanik: Bohr’sche Postulate, Potenzialtopf und Wellenfunktionen

1913 entwickelte Niels Bohr das Atommodell von Ernest Rutherford weiter, indem er es um Postulate ergänzte.

Nenne die Bohr’schen Postulate und erläutere, welche Beobachtung mit dem Atommodell von Bohr erklärt werden konnte.

4 BE

Bohr stellte für das Wasserstoffatom die Bedingung $Formula: r_{n} \cdot m_\text{e} \cdot v_{n} = n \cdot \tfrac{h}{2\pi}$ $Formula: r_{n} \cdot m_\text{e} \cdot v_{n} = n \cdot \tfrac{h}{2\pi}$ auf.

2.1

Die Geschwindigkeit eines Elektrons auf der innersten Bohr’schen Bahn ist $Formula: v_{1} = 2,188 \cdot 10^{6}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$ $Formula: v_{1} = 2,188 \cdot 10^{6}\;\tfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.$

Berechne den Radius $Formula: r_{1}$ $Formula: r_{1}$ der ersten Bohr’schen Bahn und die De-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_{1}$ $Formula: \lambda_{1}$ eines Elektrons mit dem entsprechenden Impuls.

6 BE

2.2

Obwohl das Bohr’sche Atommodell den Wellencharakter der Elektronen nicht berücksichtigt, beträgt der Umfang der Formula: n -ten Bohr’schen Bahn genau De-Broglie-Wellenlängen, sodass sich stehende Wellen ausbilden können. Dies ist in Material 1 veranschaulicht.

Zeige die Gültigkeit dieses Zusammenhangs.

4 BE

Ein einfaches quantenmechanisches Modell für ein gebundenes Elektron ist der eindimensionale Potenzialtopf mit unendlich hohen Wänden und potenzieller Energie im Topf $Formula: E_{\mathrm{pot}}(x) = 0.$ $Formula: E_{\mathrm{pot}}(x) = 0.$

3.1

Beschreibe den Verlauf der potenziellen Energie $Formula: E_{\mathrm{pot}}(x)$ $Formula: E_{\mathrm{pot}}(x)$ innerhalb und außerhalb eines solchen Potenzialtopfs. Beschreibe zwei wesentliche Eigenschaften des Elektrons in diesem Modell, die aus diesem Potenzialverlauf resultieren.

3 BE

3.2

Wie im Bohr’schen Atommodell können auch im Potenzialtopfmodell die diskreten Energiezustände mit der Analogie zu stehenden Wellen berechnet werden, indem davon ausgegangen wird, dass im Innern des Potenzialtopfs der Länge Formula: L stehende Wellen wie bei einer an ihren Enden fest eingespannten Saite auftreten.

3.2.1

Skizziere in Material 2 die Wellenfunktionen mit den Quantenzahlen Formula: n = 1, Formula: 2 und Formula: 3 und zeige, dass für die Wellenlängen $Formula: \lambda_{n}$ $Formula: \lambda_{n}$ im Zustand mit der Quantenzahl gilt:

$Formula: \lambda_{n} = \dfrac{2 \cdot L}{n}$ $Formula: \lambda_{n} = \dfrac{2 \cdot L}{n}$

5 BE

3.2.2

Zeige unter Verwendung des Zusammenhangs aus Aufgabe 3.2.1, dass nur die diskreten Werte

$Formula: E_{\mathrm{kin},n} = n^{2} \cdot \dfrac{h^{2}}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L^{2}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},n} = n^{2} \cdot \dfrac{h^{2}}{8 \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot L^{2}}$

der kinetischen Energien $Formula: E_{\mathrm{kin},n}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},n}$ möglich sind.

6 BE

3.2.3

Berechne die Breite Formula: L eines Potenzialtopfs, bei dem die kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin},1}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},1}$ des Grundzustands mit derjenigen eines Elektrons auf der ersten Bohr’schen Bahn $Formula: E_{\mathrm{kin},\mathrm{B}1} = 13,6\;\mathrm{eV}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},\mathrm{B}1} = 13,6\;\mathrm{eV}$ übereinstimmt.

Vergleiche diese Breite mit dem Durchmesser $Formula: d \approx 10^{-10}\;\mathrm{m}$ $Formula: d \approx 10^{-10}\;\mathrm{m}$ eines Atoms.

4 BE

In der Quantenmechanik werden Quantenobjekten, wie den Elektronen im Atom, nicht nur Wellenlängen zugeordnet, vielmehr werden sie durch eine Wellenfunktion $Formula: \varPsi(x)$ $Formula: \varPsi(x)$ beschrieben.

Die Funktionen

$Formula: \varPsi_{n}(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \cdot \sin\left(\dfrac{n \cdot \pi}{L} \cdot x\right)$ $Formula: \varPsi_{n}(x) = \sqrt{\dfrac{2}{L}} \cdot \sin\left(\dfrac{n \cdot \pi}{L} \cdot x\right)$

sind Wellenfunktionen der Elektronen im Formula: n -ten Energieniveau eines Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden der Breite Formula: L.

4.1

Für die Wellenfunktionen $Formula: \varPsi_{n}(x)$ $Formula: \varPsi_{n}(x)$ gilt:

$Formula: \int_{0}^{L} \varPsi_{n}^{2}(x)\;\mathrm{d}x = 1.$ $Formula: \int_{0}^{L} \varPsi_{n}^{2}(x)\;\mathrm{d}x = 1.$

Erkläre die physikalische Bedeutung dieser Bedingung.

3 BE

4.2

Erwin Schrödinger hat, basierend auf der klassischen Wellengleichung und dem Energieerhaltungssatz, die grundlegende Differenzialgleichung zur Bestimmung der Wellenfunktion $Formula: \varPsi(x)$ $Formula: \varPsi(x)$ eines Systems aufgestellt. Die zeitunabhängige, eindimensionale Schrödinger-Gleichung für das Innere des Potenzialtopfs lautet

$Formula: -\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m} \cdot \varPsi''(x) = E_{\mathrm{kin}} \cdot \varPsi(x).$ $Formula: -\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m} \cdot \varPsi''(x) = E_{\mathrm{kin}} \cdot \varPsi(x).$

Zeige, dass die Funktionen $Formula: \varPsi_{n}(x)$ $Formula: \varPsi_{n}(x)$ Lösungen der Schrödinger-Gleichung für diesen Bereich sind, wenn die Energien $Formula: E_{\mathrm{kin},n}$ $Formula: E_{\mathrm{kin},n}$ durch die Gleichung aus Aufgabe 3.2.2 vorgegeben sind.

5 BE

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Nennen der Bohr'schen Postulate

1. Postulat (Diskrete Energiestufen, Quantenbedingung): Die Energie des Atoms kann nur diskrete Werte annehmen. Der Umlauf der Elektronen erfolgt nur auf bestimmten diskreten Bahnen. Auf diesen Bahnen strahlen die Elektronen keine Energie ab.
2. Postulat (Lichtemission und -absorption): Beim Übergang der Elektronen zwischen zwei Energiestufen wird Energie in Form von elektromagnetischer Strahlung emittiert oder absorbiert. Die Frequenz dieser ausgesandten Strahlung ergibt sich aus der Energiedifferenz zwischen dem Ausgangs- und dem Endzustand.

$Formula: h \cdot f = E_m - E_n$ $Formula: h \cdot f = E_m - E_n$ mit $Formula: m, n \in \mathbb{N}$ $Formula: m, n \in \mathbb{N}$ und )

Erläuterung der durch das Modell erklärten Beobachtung

Mithilfe des Bohr'schen Atommodells ließ sich erstmals die experimentelle Beobachtung erklären, dass Atome charakteristische Spektren mit diskreten Spektrallinien besitzen.

In einem klassischen Modell, das sich am Planetenmodell orientiert, wären prinzipiell alle möglichen Bahnen für die Elektronen um den Kern erlaubt. Wäre dies der Fall, würden Atome elektromagnetische Strahlung in allen erdenklichen Frequenzen emittieren. Die von Bohr eingeführten Postulate schränken die erlaubten Zustände ein und verhindern dies. Dadurch wird das theoretische Atommodell an die tatsächlich beobachteten experimentellen Ergebnisse angepasst.

Alternativ lässt sich durch das Modell auch das Problem der Stabilität von Atomen klären. Nach der klassischen Physik würden kreisende Elektronen durch eine dauerhafte Energieabgabe stetig an Energie verlieren und letztlich in den Atomkern stürzen. Die Annahme der strahlungsfreien Bahnen erklärt, weshalb Atome stabil bleiben.

2.1

Berechnung des Radius der ersten Bohr'schen Bahn

Zunächst wird die gegebene Bedingung nach dem Radius Formula: r_n umgestellt, damit ergibt sich für den Radius der ersten Bahn ( Formula: n = 1 ):

$Formula: \begin{array}[t]{rll}r_n \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_n & = & n \cdot \dfrac{h}{2\pi} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{m_{\mathrm{e}} \cdot v_n} \\[5pt] r_1 & = & \dfrac{1 \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_1}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}r_n \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_n & = & n \cdot \dfrac{h}{2\pi} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{m_{\mathrm{e}} \cdot v_n} \\[5pt] r_1 & = & \dfrac{1 \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_1}\end{array}$

Das Einsetzen der gegebenen Geschwindigkeit $Formula: v_1 = 2,188 \cdot 10^6 \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ $Formula: v_1 = 2,188 \cdot 10^6 \;\mathrm{\tfrac{m}{s}}$ liefert den gesuchten Radius:

$Formula: r_1 = \frac{1 \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot 2,188 \cdot 10^6 \;\mathrm{\frac{m}{s}}} = 5,29 \cdot 10^{-11} \;\mathrm{m}$ $Formula: r_1 = \frac{1 \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot 2,188 \cdot 10^6 \;\mathrm{\frac{m}{s}}} = 5,29 \cdot 10^{-11} \;\mathrm{m}$

Berechnung der De-Broglie-Wellenlänge

Die zugehörige De-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_1$ $Formula: \lambda_1$ berechnet sich über den Impuls $Formula: p_{\mathrm{e}} = m_{\mathrm{e}} \cdot v_1$ $Formula: p_{\mathrm{e}} = m_{\mathrm{e}} \cdot v_1$ des Elektrons:

$Formula: \lambda_1 = \frac{h}{p_{\mathrm{e}}} = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot v_1}$ $Formula: \lambda_1 = \frac{h}{p_{\mathrm{e}}} = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot v_1}$

Das Einsetzen der entsprechenden Werte ergibt:

$Formula: \lambda_1 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot 2,188 \cdot 10^6 \;\mathrm{\frac{m}{s}}} = 3,32 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}$ $Formula: \lambda_1 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot 2,188 \cdot 10^6 \;\mathrm{\frac{m}{s}}} = 3,32 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}$

2.2

Der Umfang Formula: U_n der Formula: n -ten Bohr'schen Kreisbahn ist allgemein durch die geometrische Formel für den Kreisumfang gegeben:

$Formula: U_n = 2\pi \cdot r_n$ $Formula: U_n = 2\pi \cdot r_n$

Für den Radius Formula: r_n gilt aus Teilaufgabe 2.1:

$Formula: r_n = \frac{n \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_n}$ $Formula: r_n = \frac{n \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_n}$

Wird dieser Ausdruck für Formula: r_n nun in die anfängliche Formel für den Kreisumfang eingesetzt, ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}U_n & = & 2\pi \cdot \dfrac{n \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_n} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{2\pi} \\[5pt] U_n & = & n \cdot \dfrac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot v_n}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}U_n & = & 2\pi \cdot \dfrac{n \cdot h}{2\pi \cdot m_{\mathrm{e}} \cdot v_n} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{2\pi} \\[5pt] U_n & = & n \cdot \dfrac{h}{m_{\mathrm{e}} \cdot v_n}\end{array}$

Da das Produkt aus der Masse $Formula: m_{\mathrm{e}}$ $Formula: m_{\mathrm{e}}$ und der Geschwindigkeit Formula: v_n exakt dem Impuls Formula: p_n des Elektrons entspricht und der Quotient $Formula: \tfrac{h}{p_n}$ $Formula: \tfrac{h}{p_n}$ der De-Broglie-Wellenlänge $Formula: \lambda_n$ $Formula: \lambda_n$ entspricht, lässt sich die Gleichung abschließend zusammenfassen:

$Formula: U_n = n \cdot \frac{h}{p_n} = n \cdot \lambda_n$ $Formula: U_n = n \cdot \frac{h}{p_n} = n \cdot \lambda_n$

Damit ist mathematisch nachgewiesen, dass der Umfang der Kreisbahn exakt einem ganzzahligen Vielfachen der zugehörigen De-Broglie-Wellenlänge entspricht, wodurch die Bedingung für die Ausbildung einer stehenden Welle erfüllt ist.

3.1

Im Modell des eindimensionalen Potenzialtopfs mit unendlich hohen Wänden lässt sich der Verlauf der potenziellen Energie $Formula: E_{\mathrm{pot}}(x)$ $Formula: E_{\mathrm{pot}}(x)$ wie folgt beschreiben:

Innerhalb des Potenzialtopfs (zwischen und ) beträgt die potenzielle Energie null.
Außerhalb des Potenzialtopfs ( oder ) ist die potenzielle Energie unendlich groß.

Aus diesem Potenzialverlauf resultieren zwei wesentliche Eigenschaften für das Elektron in diesem Modell:

Das Elektron kann sich im Inneren des Potenzialtopfs völlig frei bewegen.
Aufgrund der unendlich hohen Wände ist es dem Elektron unmöglich, den Potenzialtopf zu verlassen.

3.2

3.2.1

Skizzieren der Wellenfunktionen

Grafik einer Wellenfunktion ψ_n(x) für n=3, sinusförmige Kurve über der x-Achse, Nullpunkt bei 0, gestrichelte vertikale Linie bei L.

Plot einer Wellenfunktion ψ_n(x) für n=2, mit positiver Spitze und negativem Minimum, Achsen und gestrichelter Linie bei x=L.

Graph von ψ_n(x) (n=1): gebogene Kurve, beginnt bei 0, steigt an und fällt wieder zu 0 bei x = L.

Zeigen der Gleichung

Im Potenzialtopf bilden sich stehende Wellen mit zwei festen Enden bei Formula: x = 0 und Formula: x = L. Aufgrund der Knoten an den Enden müssen stets ganzzahlige Vielfache der halben Wellenlänge exakt in den Potenzialtopf der Länge Formula: L passen:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}L & = & n \cdot \dfrac{\lambda_n}{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{n} \\[5pt] \lambda_n & = & \dfrac{2L}{n}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}L & = & n \cdot \dfrac{\lambda_n}{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{2}{n} \\[5pt] \lambda_n & = & \dfrac{2L}{n}\end{array}$

3.2.2

Die kinetische Energie $Formula: E_{\mathrm{kin,n}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin,n}}$ lässt sich über den Impuls $Formula: p_{n}$ $Formula: p_{n}$ des Elektrons ausdrücken:

$Formula: E_{\mathrm{kin,n}} =\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \cdot {v}_n^2= \frac{p_{n}^{2}}{2m_{\mathrm{e}}}$ $Formula: E_{\mathrm{kin,n}} =\frac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \cdot {v}_n^2= \frac{p_{n}^{2}}{2m_{\mathrm{e}}}$

Aus der De-Broglie-Beziehung $Formula: \lambda_{n} = \tfrac{h}{p_{n}}$ $Formula: \lambda_{n} = \tfrac{h}{p_{n}}$ ergibt sich für den Impuls $Formula: p_{n} = \tfrac{h}{\lambda_{n}}.$ $Formula: p_{n} = \tfrac{h}{\lambda_{n}}.$ Hier kann nun der Zusammenhang aus Aufgabe 3.2.1 ( $Formula: \lambda_{n} = \tfrac{2L}{n}$ $Formula: \lambda_{n} = \tfrac{2L}{n}$ ) eingesetzt werden, somit ergibt sich für den Impuls:

$Formula: p_{n} = \frac{h \cdot n}{2L}$ $Formula: p_{n} = \frac{h \cdot n}{2L}$

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in die Formel für die kinetische Energie ergibt sich:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{1}{2m_{\mathrm{e}}} \cdot \left( \dfrac{h \cdot n}{2L} \right)^{2} \\[5pt] & = & \dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot L^{2}} \cdot n^{2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{1}{2m_{\mathrm{e}}} \cdot \left( \dfrac{h \cdot n}{2L} \right)^{2} \\[5pt] & = & \dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot L^{2}} \cdot n^{2}\end{array}$

3.2.3

Berechnen der Breite eines Potenzialtopfes

Für den Grundzustand ( Formula: n = 1 ) soll die kinetische Energie mit der Energie des Elektrons auf der ersten Bohr’schen Bahn ( $Formula: E_{\mathrm{kin,B1}} = 13,6 \;\mathrm{eV}\approx 2,18 \cdot 10^{-18} \;\mathrm{J}$ $Formula: E_{\mathrm{kin,B1}} = 13,6 \;\mathrm{eV}\approx 2,18 \cdot 10^{-18} \;\mathrm{J}$ ) übereinstimmen.

Die Formel für die kinetische Energie aus Aufgabe 3.2.2 wird nach der Breite Formula: L umgestellt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{kin}, 1} & = & \dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot L^{2}} \cdot 1^{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot L^{2} \cdot \dfrac{1}{E_{\mathrm{kin}, 1}} \\[5pt] L^{2} & = & \dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot E_{\mathrm{kin}, 1}} &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] L & = & \sqrt{\dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot E_{\mathrm{kin}, 1}}}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}E_{\mathrm{kin}, 1} & = & \dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot L^{2}} \cdot 1^{2} &\quad\scriptsize\mid\, \cdot L^{2} \cdot \dfrac{1}{E_{\mathrm{kin}, 1}} \\[5pt] L^{2} & = & \dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot E_{\mathrm{kin}, 1}} &\quad\scriptsize\mid\, \sqrt{\;} \\[5pt] L & = & \sqrt{\dfrac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot E_{\mathrm{kin}, 1}}}\end{array}$

Das Einsetzen der Werte liefert:

$Formula: L = \sqrt{\frac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot 2,18 \cdot 10^{-18} \;\mathrm{J}}} = 1,66 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}$ $Formula: L = \sqrt{\frac{h^{2}}{8m_{\mathrm{e}} \cdot 2,18 \cdot 10^{-18} \;\mathrm{J}}} = 1,66 \cdot 10^{-10} \;\mathrm{m}$

Vergleichen der Breite mit dem Durchmesser eines Atoms

Die berechnete Breite Formula: L des Potenzialtopfs liegt in der Größenordnung von $Formula: 10^{-10} \;\mathrm{m}$ $Formula: 10^{-10} \;\mathrm{m}$ und liegt damit im Bereich des Atomdurchmessers.

4.1

Allgemein gibt das Quadrat der Wellenfunktion $Formula: \Psi(x)$ $Formula: \Psi(x)$ die Antreffwahrscheinlichkeitsdichte eines Quantenobjektes (hier des Elektrons) an einem bestimmten Ort Formula: x an.

Das in der Aufgabenstellung angegebene Integral liefert somit die Wahrscheinlichkeit, das Elektron im gesamten Inneren des Potenzialtopfs – also zwischen den Integrationsgrenzen Formula: 0 und Formula: L – anzutreffen. Da das Elektron den Potenzialtopf aufgrund der unendlich hohen Wände nicht verlassen kann, muss es sich zwingend irgendwo in diesem definierten Bereich aufhalten. Folglich beträgt die Antreffwahrscheinlichkeit für das gesamte Innere des Potenzialtopfs exakt Formula: 1.

4.2

Um nachzuweisen, dass die gegebene Wellenfunktion $Formula: \Psi_{{n}}(x)$ $Formula: \Psi_{{n}}(x)$ die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung erfüllt, wird diese zunächst zweimal nach der Ortsvariablen Formula: x abgeleitet.

Die Wellenfunktion lautet:

$Formula: \Psi_{{n}}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cdot \sin\left(n \cdot \frac{\pi}{L} \cdot x\right)$ $Formula: \Psi_{{n}}(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cdot \sin\left(n \cdot \frac{\pi}{L} \cdot x\right)$

Daraus folgt für die erste Ableitung:

$Formula: \Psi_{{n}}'(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cdot n \cdot \frac{\pi}{L} \cdot \cos\left(n \cdot \frac{\pi}{L} \cdot x\right)$ $Formula: \Psi_{{n}}'(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \cdot n \cdot \frac{\pi}{L} \cdot \cos\left(n \cdot \frac{\pi}{L} \cdot x\right)$

Daraus folgt für die zweite Ableitung:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}\Psi_{n}''(x) & = & -\sqrt{\dfrac{2}{L}} \cdot \left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \sin\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L} \cdot x\right) \\[5pt] & = & -\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \Psi_{n}(x)\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}\Psi_{n}''(x) & = & -\sqrt{\dfrac{2}{L}} \cdot \left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \sin\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L} \cdot x\right) \\[5pt] & = & -\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \Psi_{n}(x)\end{array}$

Nun wird diese zweite Ableitung in die aus der Aufgabenstellung bekannte Schrödinger-Gleichung eingesetzt:

$Formula: \begin{array}[t]{rll}-\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \Psi_{n}''(x) & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) \\[5pt] -\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left[ -\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \Psi_{n}(x) \right] & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{\Psi_{n}(x)} \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8L^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot n^{2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}-\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \Psi_{n}''(x) & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) \\[5pt] -\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left[ -\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \Psi_{n}(x) \right] & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) &\quad\scriptsize\mid\, \cdot \dfrac{1}{\Psi_{n}(x)} \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8L^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot n^{2}\end{array}$

$Formula: \begin{array}[t]{rll}-\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \Psi_{n}''(x) & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) \\[5pt] -\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left[ -\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \Psi_{n}(x) \right] & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8L^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot n^{2}\end{array}$ $Formula: \begin{array}[t]{rll}-\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \Psi_{n}''(x) & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) \\[5pt] -\dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left[ -\left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \cdot \Psi_{n}(x) \right] & = & E_{\mathrm{kin}, n} \cdot \Psi_{n}(x) \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8\pi^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot \left(n \cdot \dfrac{\pi}{L}\right)^{2} \\[5pt] E_{\mathrm{kin}, n} & = & \dfrac{h^{2}}{8L^{2} \cdot m_{\mathrm{e}}} \cdot n^{2}\end{array}$

Dieses Resultat entspricht exakt der kinetischen Energie $Formula: E_{\mathrm{kin,n}},$ $Formula: E_{\mathrm{kin,n}},$ die bereits in Aufgabe 3.2.2 hergeleitet wurde. Damit ist mathematisch der Nachweis erbracht, dass der Ansatz $Formula: \Psi_{{n}}(x)$ $Formula: \Psi_{{n}}(x)$ eine gültige Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Innere des Potenzialtopfs darstellt.

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Vorschlag D — Vom klassischen Atommodell zur Quantenmechanik: Bohr’sche Postulate, Potenzialtopf und Wellenfunktionen

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Material 1 Stehende Welle auf einer Kreisbahn

Material 2: Koordinatensysteme zum Skizzieren der Wellenfunktionen

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