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Sachsen-AnhaltSekundarschule

Lerninhalte in Mathe

Gleichungen lösen

Um eine Gleichung zu lösen wird sie so umgestellt, dass die Variable isoliert ist. Ziel ist es also, dass die Variable allein auf einer Seite der Gleichung steht.

Gleichungen umformen

  • Additions- und Subtraktionsregel
    Die Lösung einer Gleichung verändert sich nicht, wenn auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addiert oder subtrahiert wird.
    Beispiel:
    \(\begin{array}[t]{rll} x+3&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\; -3 \\[5pt] x&=& 4 \end{array}\)
  • Multiplikations- und Divisionsregel
    Die Lösung einer Gleichung verändert sich nicht, wenn beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl ungleich 0 multipliziert werden oder durch dieselbe Zahl ungleich 0 dividiert werden.
    Beispiel:
    \(\begin{array}[t]{rll} 5x&=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] x&=& -2 \end{array}\)
  • Klammern
    Enthält eine Gleichung eine Klammer, so muss diese zunächst aufgelöst werden, bevor die Gleichung anschließend umgeformt wird.
    Beispiel:
    \(\begin{array}[t]{rll} 24-(2x-4)&=& 10 \\[5pt] 24-2x+4&=& 10 \\[5pt] 28-2x&=& 10 \quad \scriptsize \mid\; -28 \\[5pt] -2x&=& -18 \quad \scriptsize \mid\; :(-2) \\[5pt] x&=& 9 \end{array}\)

Sonderfälle

  • Eine Gleichung hat unendlich viele Lösungen:
    Beispiel:
    \(\begin{array}[t]{rll} 6x-2x&=& 4x \\[5pt] 4x&=& 4x \end{array}\)
    Für jede Zahl gilt \(4x=4x.\)
  • Eine Gleichung hat keine Lösung:
    Beispiel:
    \(\begin{array}[t]{rll} x-3&=& x+3 &\quad \scriptsize \mid\;+3 \\[5pt] x&=& x+6 \end{array}\)
    Für keine Zahl gilt \(x=x+6.\)