Oberflächeninhalt einer Pyramide
Der Oberflächeninhalt 
(kurz Oberfläche) einer Pyramide mit der Grundfläche 
und der Mantelfläche 
lässt sich wie folgt berechnen:
Um die Längen bei Pyramiden zu berechnen, müssen geeignete rechtwinklige Dreiecke gesucht werden.
Beispiel
Gegeben ist eine quadratische Pyramide mit der Grundkante 
und der Seitenkante 
Berechnet werden soll die Höhe 
der Pyramide.
Dazu werden die zwei Hilfsdreiecke betrachtet:
Hilfsdreieck 
Mit diesem Dreieck kann die Seite 
mit Hilfe der Seite 
und der halben Grundseite 
berechnet werden.
Hilfsdreieck 
Mit diesem Dreieck kann die Höhe mit Hilfe der Seite und der halben Grundseite berechnet werden.
1. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&s^2 \quad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\[5pt]
h_s^2&=&s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,}\\[5pt]
h_s&=&\sqrt{s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(7,1\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{6\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt]
h_s&=&6,4\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/d80261ee6f81e1fceec19c6e32daf73234767fa361ac30048b0521deca25c14d?color=5a5a5a)
2. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=& h_s^2 \quad \scriptsize \mid\;-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \\[5pt]
h^2&=&h_s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h&=&\sqrt{h_s^2-\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(6,4\,\text{cm})^2-\left(\dfrac{6\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt]
h&=&5,7\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b65f22898497e7862790892ff04b22c682bd833b99b8ac0eeda581242b60387f?color=5a5a5a)
1
Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide.
a)
b)
2
Berechne den Oberflächeninhalt der quadratischen Pyramide.
; 
; 
a)
b)
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1
a)
1. Schritt: Länge der Seitenhöhe berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=&(6,5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h_s&=&\sqrt{(6,5\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2}\\[5pt]
h_s&\approx& 7,2\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/7db900e9c9d670b1785d3be4f77c48772b7509aeaaa3752b5bde23d340e0242d?color=5a5a5a)
2. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_O&=& A_G+A_M \\[5pt]
&=& (6\,\text{cm})^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 6\,\text{cm}\cdot 7,2\,\text{cm} \\[5pt]
&=& 36\,\text{cm}^2+86,4\,\text{cm}^2\\[5pt]
A_O&=& 122,4\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/4fb43b551d920ebd56e52e103b945d555686fe3667a432463371bea9c40ca7b7?color=5a5a5a)
b)
2
a)
1. Schritt: Länge von berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
h_s^2&=&h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
h_s&=&\sqrt{h^2+\left(\dfrac{a}{2}\right)^2}\\[5pt]
&=&\sqrt{(7,4\,\text{cm})^2+\left(\dfrac{2,5\,\text{cm}}{2}\right)^2}\\[5pt]
h_s&\approx&7,5\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/b685beba9946a098e55c6faaec6feba332128185a8de30ff55367170a7c6e58f?color=5a5a5a)
2. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_O&=& A_G+A_M\\[5pt]
&=&(2,5\,\text{cm})^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 2,5\,\text{cm}\cdot 7,5\,\text{cm}\\[5pt]
&=& 6,25\,\text{cm}^2+37,5\,\text{cm}^2\\[5pt]
A_O&=& 43,75\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/6d133f827125cb924d7cbb72430edb1d607c4dce3b0de49439c832ff4d6f6507?color=5a5a5a)
b)
1. Schritt: Länge von 
berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
\left(\dfrac{a}{2}\right)^2&=&s^2-h_s^2 \quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\,\,\,} \\[5pt]
\dfrac{a}{2}&=&\sqrt{s^2-h_s^2}\quad \scriptsize \mid\;\cdot 2\\[5pt]
a&=&2\sqrt{s^2-h_s^2}\\[5pt]
&=&2\sqrt{(15\,\text{cm})^2-(12\,\text{cm})^2}\\[5pt]
a&=&18\,\text{cm}
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/a9e74c1a643b81fc25a65f5ef481471740e218a46de3a615739fe7ab897e4827?color=5a5a5a)
2. Schritt: Oberflächeninhalt berechnen
![\(\begin{array}[t]{rll}
A_O&=& A_G+A_M\\[5pt]
&=&(18\,\text{cm})^2+4\cdot \dfrac{1}{2}\cdot 18\,\text{cm}\cdot 12\,\text{cm}\\[5pt]
&=& 324\,\text{cm}^2+432\,\text{cm}^2\\[5pt]
A_O&=& 756\,\text{cm}^2
\end{array}\)](https://mathjax.schullv.de/06313fbf919de4312bdf86e2c063116bca3cbe97b4b51274563883275cc69e7a?color=5a5a5a)