Potenzfunktionen

Funktionen der Form $y=x^2$ und $y=x^3$ (usw.) und dem Definitionsbereich $\mathbb{R}$ werden Potenzfunktionen genannt.

Eigenschaften:

Die Graphen der Funktionen verlaufen durch die markanten Punkte $O(0 \mid 0)$ und $P(1 \mid 1).$

Die Funktionen haben die Nullstelle $x_0=0.$

Die Nullstelle stellt den einzigen Schnittpunkt mit der $y$ -Achse dar.

Der Graph der Funktion $y=x^3$ ist steigend.

Der Graph der Funktion $y=x^2$ ist achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, während der Graph der Funktion $y=x^3$ punktsymmetrisch zum Urpsrung ist.

Potenzfunktionen x2 x3 Sachsen Anhalt Mathe

Die Punkte $(x\mid y)$ gehören zum Graphen der angegebenen Funktion. Vervollständige die Tabellen mit den fehlenden Koordinaten.

$y=x^2:$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$2$
	$16$
$0,2$
	$0$
$-2$
$-4$
$-0,2$

$y=x^3:$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$4$
	$27$
$0,5$
	$0$
$-4$
$-3$
$-0,5$

Zeichne die Graphen der Funktionen mit folgenden Gleichungen und vergleiche ihre Eigenschaften mit den Eigenschaften der Funktionen $y=x^2$ und $y=x^3.$

$y=x^4$

$y=x^5$

$y=x^6$

$y=x^7$

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$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$2$	$4$
$4$	$16$
$0,2$	$0,04$
$0$	$0$
$-2$	$4$
$-4$	$16$
$-0,2$	$0,04$

$\color{#fff}{x}$	$\color{#fff}{y}$
$4$	$16$
$3$	$27$
$0,5$	$0,125$
$0$	$0$
$-4$	$-64$
$-3$	$-27$
$-0,5$	$-0,125$

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Eigenschaften

Es fällt auf, dass sich die Funktionen mit geraden Exponenten ähnlich wie die Funktion $y=x^2$ verhalten und die Funktionen mit ungeraden Exponenten ähnlich wie die Funktion $y=x^3.$ Umso größer der Exponent, desto stärker fällt und/oder steigt der Graph der Funktion.

Alle Funktionen mit geraden Exponenten sind ebenso wie $y=x^2$ achsensymmetrisch zur $y$ -Achse, besitzen ihre einzige Nullstelle bei $O(0\mid 0)$ und verlaufen durch die Punkte $P_1(-1\mid 1)$ und $P_2(1\mid 1).$

Alle Funktionen mit ungeraden Exponenten hingegen sind ebenso wie $y=x^3$ punktsymmetrisch zum Urpsrung, besitzen ihre einzige Nullstelle bei $O(0\mid 0)$ und verlaufen durch die Punkte $P_1(-1\mid -1)$ und $P_2(1\mid 1).$ Die Graphen der Funktionen sind streng monoton steigend.

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